Dans nos jours, toute le monde pensent (pense) qu' ils (il) peuvent (peut) faire ce qui leur (lui) plaît.
Explication : L'erreur provient du fait que "monde" est singulier, même s'il représente plusieurs personnes, comme les mots "groupe", "équipe", "foule"...
le sujet du verbe penser (tout le monde) est singulier, même s'il exprime l'idée de collectivité, donc le verbe penser se conjugue à la 3e personne du singulier (il).
Les pronoms de reprise (ils et leur) doivent aussi être au singulier. = (il et lui)
Le verbe pouvoir se conjugue à la 3e personne du singulier (il) : il peut
Phrase correcte : De nos jours, tout le monde pense qu'il peut faire ce qui lui plaît.