Program & Abstracts

 [DR I] の主定理である (f-支配的な) 3 重積 p 進 L 関数に対する Gross−Zagier 型公式を紹介し，証明の方針を概観する．時間が許せば [DR II] との (技術的な) 差異についても簡単に言及したい．

前半の講演で用いられる諸概念について，主に [DR I] の Section 2 に基づいて解説する．特に，主要な役割を演じる概正則保型形式 (nearly holomorphic modular form) と概過収束保型形式 (nearly overconvergent modular form) の幾何的な定義について，両者を対比させながら詳しく紹介する予定である．

前半の講演で用いられる諸概念について，主に [DR I] の Section 2 に基づいて解説する．特に，主要な役割を演じる概正則保型形式 (nearly holomorphic modular form) と概過収束保型形式 (nearly overconvergent modular form) の幾何的な定義について，両者を対比させながら詳しく紹介する予定である．

不均衡的重さにある保型形式の三つ組に対する3重積 p 進 L 関数の構成を [DR I] の Section 4 に沿って解説する．3重積 L 関数についての市野公式や構成に必要な適切な試験関数の選択について，構成の技術的な側面を議論する．

不均衡3重積 p 進 L 関数の均衡的領域における特殊値を対角的サイクルの Abel−Jacobi 写像の像で表す公式 (p 進 Gross−Zagier 公式， [DR I, 定理5.1]) を紹介する．公式の証明には，対角的サイクルの構成，およびその Abel−Jacobi 像を p 進保型形式を用いて表す公式 ([DR I, 定理3.14]) が必要とされる．この講演では p 進保型形式と p 進 L 関数との関係に焦点を当て，[DR I, 定理3.14] を用いた p 進 Gross−Zagier 公式の証明を解説する．なお [DR I, 定理3.14] の証明は石井氏，大下氏，坂本氏の各講演で詳しく論じられるため，本講演ではその概略に触れるに留める．

 [DR I] の 3.1 節に基づき，久賀−佐藤多様体を用いて構成される多様体上に一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルを定義し，その簡単な性質を述べる．また，当該論文の次節以降で重要となる p 進 Abel−Jacobi 写像を導入する．

 [DR I] の 3.2 節に基づき，p 進 Abel−Jacobi 写像による一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルの像を de Rham コホモロジーの Poincaré 双対性を用いて表示する公式を述べる．なお公式の証明には，Besser による p 進 Abel−Jacobi 写像を Coleman 積分を用いて表示する公式が用いられる．

石井氏の講演で述べられた「p 進 Abel−Jacobi 写像の Coleman 積分公式」の

証明における重要な道具立てである有限多項式コホモロジーの理論を紹介する．この講演では特に，有限多項式コホモロジーと種々のコホモロジー理論の関係，Poincaré  双対性，Coleman 積分および Abel–Jacobi 写像との関係等について触れる予定である．

[DR I] の 3.3 節の内容を解説する:  一般化 Gross–Kudla−Schoen サイクルの Abel–Jacobi 写像による像を有限多項式コホモロジーの理論を用いて計算することで，石井氏の講演で述べられた「p 進 Abel−Jacobi 写像の Coleman 積分公式」の証明を行う．

[DR I] の 3.4 節の解説を行う．具体的には，午前中の石井氏の講演で導入された rigid one-form の p 通常部分を計算し，p 進 Abel−Jacobi 写像による一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルの像と保型形式の Petersson 内積との関係を証明する．

[DR II]の主結果BSDについて, 主張とその証明の概要を解説する.

 [DR II] の Section 1 に基づき，twisted diagonal cycle を導入し，このサイクルやこれが定める種々のコホモロジー類の諸性質を概観する．

 [DR II] の Section 1 に基づき，twisted diagonal cycle を導入し，このサイクルやこれが定める種々のコホモロジー類の諸性質を概観する．

[DR II] Section 2 に従い，第一章にて構成された大域コホモロジー類から階数1のラムダ加群に値を持つ局所コホモロジー類を構成する．

[DR II] Section 2 に従い，(i) において構成した局所コホモロジー類の重さ 2 への特殊化と対角サイクルのサントミックレギュレータを結びつける．

本講演では局所体上の semistable curve のドラームコホモロジーをリジッド解析を用いて明示的に記述できることを解説する．さらにそれを踏まえた syntomic Abel−Jacobi 写像の計算方法について紹介する．

[DRII] の Section 4.1 の解説．局所体上の semistable curve のドラームコホモロジーのリジッド解析を用いた明示的な記述を，p べきレベル構造に関するモジュラー曲線の semistable モデルに対して適用する．応用として，そのようなモジュラー曲線のドラームコホモロジーにおいて，primitive という性質を満たす保型形式と同じ Hecke 作用を持つ部分空間が，特別なカスプ成分のドラームコホモロジーによって記述できる，という Coleman の結果を紹介する． この結果によって，diagonal cycleに 関する様々な性質の証明をカスプにおける明示的な計算に帰着することができるようになる．

[DR II] の Section 2 で導入された局所ラムダ進コホモロジー類の重さ2における特殊化を考察する．特に，その Bloch−Kato 対数写像による像を [DR II] の Section 3 で与えられる p 進サントミック Abel−Jacobi 写像の計算レシピに従って計算する．さらに，この計算結果が Garrett−Hida p 進 L 関数の特殊値と簡単な因子の差を除いて一致することを示す．これらは [DR II] の Section 5 で示される明示的相互法則への重要なステップとなる．

[DR II] の Section 5, 6 の内容について解説する．まず，Coleman 写像に関する基本事項の復習をする．その後，3重積 p 進 L 関数と diagonal cycle を Coleman 写像により結びつける “explicit reciprocity law” について解説する．最後に，これまでの結果を用いて，BSD予想へのいくつかの応用について解説する．