Program & Abstracts

 [DR I] の主定理である (f-支配的な) 3 重積 p 進 L 関数に対する Gross−Zagier 型公式を紹介し，証明の方針を概観する．時間が許せば [DR II] との (技術的な) 差異についても簡単に言及したい．

前半の講演で用いられる諸概念について，主に [DR I] の Section 2 に基づいて解説する．特に，主要な役割を演じる概正則保型形式 (nearly holomorphic modular form) と概過収束保型形式 (nearly overconvergent modular form) の幾何的な定義について，両者を対比させながら詳しく紹介する予定である．

不均衡的重さにある保型形式の三つ組に対する3重積 p 進 L 関数の構成を [DR I] の Section 4 に沿って解説する．3重積 L 関数についての市野公式や構成に必要な適切な試験関数の選択について，構成の技術的な側面を議論する．

不均衡3重積 p 進 L 関数の均衡的領域における特殊値を対角的サイクルの Abel−Jacobi 写像の像で表す公式 (p 進 Gross−Zagier 公式， [DR I, 定理5.1]) を紹介する．公式の証明には，対角的サイクルの構成，およびその Abel−Jacobi 像を p 進保型形式を用いて表す公式 ([DR I, 定理3.14]) が必要とされる．この講演では p 進保型形式と p 進 L 関数との関係に焦点を当て，[DR I, 定理3.14] を用いた p 進 Gross−Zagier 公式の証明を解説する．なお [DR I, 定理3.14] の証明は石井氏，大下氏，坂本氏の各講演で詳しく論じられるため，本講演ではその概略に触れるに留める．

 [DR I] の 3.1 節に基づき，久賀−佐藤多様体を用いて構成される多様体上に一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルを定義し，その簡単な性質を述べる．また，当該論文の次節以降で重要となる p 進 Abel−Jacobi 写像を導入する．

 [DR I] の 3.2 節に基づき，p 進 Abel−Jacobi 写像による一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルの像を de Rham コホモロジーの Poincaré 双対性を用いて表示する公式を述べる．なお公式の証明には，Besser による p 進 Abel−Jacobi 写像を Coleman 積分を用いて表示する公式が用いられる．

[DR I] の 3.4 節の解説を行う．具体的には，午前中の石井氏の講演で導入された rigid one-form の p 通常部分を計算し，p 進 Abel−Jacobi 写像による一般化 Gross−Kudla−Schoen サイクルの像と保型形式の Petersson 内積との関係を証明する．

 [DR II] の Section 1 に基づき，twisted diagonal cycle を導入し，このサイクルやこれが定める種々のコホモロジー類の諸性質を概観する．

 [DR II] の Section 1 に基づき，twisted diagonal cycle を導入し，このサイクルやこれが定める種々のコホモロジー類の諸性質を概観する．

本講演では局所体上の semistable curve のドラームコホモロジーをリジッド解析を用いて明示的に記述できることを解説する．さらにそれを踏まえた syntomic Abel−Jacobi 写像の計算方法について紹介する．

[DR II] の Section 2 で導入された局所ラムダ進コホモロジー類の重さ2における特殊化を考察する．特に，その Bloch−Kato 対数写像による像を [DR II] の Section 3 で与えられる p 進サントミック Abel−Jacobi 写像の計算レシピに従って計算する．さらに，この計算結果が Garrett−Hida p 進 L 関数の特殊値と簡単な因子の差を除いて一致することを示す．これらは [DR II] の Section 5 で示される明示的相互法則への重要なステップとなる．