Embedded Files
El número de plástico, primo descuidado de la proporción áurea
1 Nota matemática
La proporción áurea puede definirse como la proporción característica de un rectángulo que satisface una determinada propiedad. Una pequeña modificación de esta propiedad define un número relacionado y mucho menos conocido llamado número plástico. En esta nota, En esta nota, se nos muestra los paralelos entre estos dos números primos
Dos problemas, dos soluciones, dos números Considere los siguientes dos problemas:
Problema 1
Hallar un cuadrilátero Q tal que si pegamos un cuadrado en uno de sus lados, encontremos un cuadrilátero Q0 semejante a Q.
Problema 2
Hallar un pentágono P tal que si pegamos un triángulo equilátero en uno de sus lados, nos encontramos con un pentágono P 0 similar a P. Estos dos problemas relacionados generan dos soluciones.
Veremos que el problema 1 tiene como solución el rectángulo áureo (Figura 1, parte izquierda) y está ligado a la sucesión de Fibonacci.
El problema 2 tiene como solución el pentágono plástico (Figura 1, parte derecha) y está relacionado con la sucesión de Padovan.
El Rectángulo Dorado y la Secuencia de Fibonacci
Para que el rectángulo BCDE sea similar al rectángulo AF CD (Figura 2), basta que ϕ sea un número real positivo tal que ϕ /1 = (1+ϕ) /ϕ, que es equivalente a ϕ² = ϕ + 1. Ahora, esta ecuación tiene una sola solución positiva, la proporción áurea: ϕ = (1+√5) / 2
La condición requerida para una solución al problema 1 se puede establecer en términos de un punto fijo. Por lo tanto, es natural buscar una solución por iteraciones. Si partimos de un cuadrado de 1 × 1 (Figura 3) sobre el que vamos pegando sucesivamente un cuadrado de lado mayor y girando en sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos rectángulos cuyas longitudes de lado forman la sucesión de Fibonacci que corresponde a la relación de recurrencia Fn+2 = Fn+1 +Fn así como en las condiciones iniciales F0 = 0 y F1 = 1. En el siguiente teorema mostramos que la razón de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a ϕ.
Teorema 1
1. Eso es ϕ = (1+√ 5) / 2 y ϕ' = (1− √ 5) / 2 . Entonces1. Fn = 1 / √5 (ϕn − (ϕ' )n ; (formula de Binet)
2. |ϕ / ϕ' | < 1 ;
3. limn→∞ (Fn+1) Fn = ϕ.
Demostración
1. El polinomio característico de la fórmula de recurrencia Fn+2 = Fn+1 +Fn es x2 = x+ 1.Las raíces de este polinomio son
Entonces existen constantes a y b tales que Fn = aϕn + b(ϕ’)n para cualquier número entero no negativo n. Estas constantes deben satisfacer las condiciones iniciales .F0 = 0 y F1 = 1. Es decir,
El pentágono plástico y la secuencia de Padovan
En esta sección mostramos que la Figura 1, parte izquierda, construida con el número plástico ψ constituye una solución al problema 2. Proposición 1 El polinomio z³ = z + 1 tiene una raíz real r0 y dos raíces complejas conjugadas, r1 y r2 dadas por:
La raíz real r0 se llama número plástico y se denota:
Demonstración
Realizamos la sustitución de Viète z = w + 1/(3w).
donde u es una raíz cúbica de la unidad, son las tres soluciones complejas de la ecuación z3 = z + 1 . De estos, la única solución real es:
Teorema 2
El pentágono de la figura 1, parte derecha, constituye una solución al problema
2. Demostración Partamos del paralelogramo BB0EF cuyos lados tienen longitudes 1 + ψ, ψ 2 + ψ, ψ 3 = 1 + ψ, ψ 4 = ψ 2 + ψ y cuyo ángulo EF B es de 60◦ (Figura 4, parte izquierda). Entonces los ángulos en B y E son 120◦ y el ángulo en B' es 60◦. Ahora coloque el punto C en la línea BB' a la distancia 1 de B. De manera similar, coloque el punto D en la línea EB' a la distancia ψ 2 de E (Figura 4, lado derecho). Como el triángulo CB'D es isósceles y tiene un ángulo de 60◦, necesariamente es equilátero. Entonces, los ángulos BCD y CDE miden 120◦ y el segmento CD tiene una longitud ψ.
Ahora bien, si pegamos al pentágono F BCDE un triángulo equilátero de lado F B, obtenemosel polígono ABCDEF (Figura 5). Siendo suplementarios los dos ángulos en B, el polígono ABCDEF es por lo tanto el pentágono ACDEF. Este último, como el pentágono F BCDE, ambos tienen un ángulo de 60◦ y 4 ángulos de 120◦. Además, los pares de segmentos (F B, AC), (BC, CD), (CD, DE), (DE, EF) y (EF, F A) están en proporción 1: ψ. pentágonos F BCDE y ACDEF son por lo tanto similares. ✷
La condición requerida para una solución al problema 2 se puede establecer en términos de un punto fijo.Por lo tanto, es natural buscar una solución por iteraciones. Si empezamos con un triangulo equilátero del lado 1 (Figura 6) sobre el que pegamos sucesivamente un triángulo equilátero sobre lado más largo y girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces obtenemos triángulos cuyo las longitudes de los lados forman la sucesión de Padovan que satisface la relación de recurrencia Pn+3 = Pn+1 +Pn así como en las condiciones iniciales P0 = P1 = P2 = 1 . En el siguiente teorema, mostramos que la razón de dos términos consecutivos de la sucesión de Padovan tiende a ψ.
Teorema 3
Sean r0 , r1 y r2 como se definen en la Proposición 1. Entonces:
Demostración
El polinomio característico de la fórmula de recurrencia Pn+3 = Pn+1 +Pn es x 3 = x+ 1. Las raíces de este polinomio son r1, r2 y r3 . Entonces existen constantes a, b y c tales que Pn = arn 0 + brn 1 + crn 2 cualquiera que sea el entero no negativo n. Estas constantes deben satisfacer las condiciones iniciales P0 = P1 = P2 = 1. Es decir:
Al aislar a, b y c con la regla de Cramer, encontramos los cocientes de Vandermonde.
Conclusión y conjetura de familia
Es notable notar, por un lado, la fuerte relación entre el número áureo y el número plástico, y por otro lado, la gran popularidad del número áureo en comparación con el número plástico. Esto es lo que hizo que el matemático Ian Stewart [1] dijera que el número plástico es el primo olvidado de la proporción áurea. Esta disparidad se debe en parte a las edades respectivas de estos dos números. De hecho, los historiadores a veces sitúan la paternidad de la proporción áurea en la escuela pitagórica (580 - 490 a. C.) [2]. El número plástico, por su parte, nació recientemente con el monje benedictino y arquitecto holandés Hans Van der Laan (1904-1991). Es a este último al que debemos el nombre de número plástico, ciertamente menos noble que el del número áureo.
Terminemos con el enunciado de una conjetura del autor que, de demostrarse, establecería que el número áureo y el número plástico son, no sólo dos miembros de una misma familia, sino los dos únicos miembros de esta familia. .
Conjetura de familia Sea P un polígono para el que existe un polígono regular Q tal que si pegamos Q a uno de los lados de P, encontramos un polígono R similar a P. Entonces P es un rectángulo áureo o un pentágono de plástico
Page updated
Google Sites
Report abuse