El valor de 0! es 1, de acuerdo con el convenio para un producto vacío . ^{[ 1 ]}

Se encuentra La operación factorial en muchas áreas de las matemáticas, en particular en la combinatoria , el álgebra y análisis matemático . Su aparición más básico es el hecho de que hay n ! maneras de arreglar n objetos distintos en una secuencia (es decir, las permutaciones del conjunto de objetos). Este hecho era conocido por lo menos desde el siglo 12, a los estudiosos de la India. ^{[ 2 ]} La notación n ! fue presentado por el cristiano Kramp en 1808. ^{[ 3 ]}

La definición de la función factorial se puede también extender a los argumentos no enteros , mientras que conserva sus propiedades más importantes; esto implica matemáticas más avanzadas, en particular las técnicas de análisis matemático.

La función factorial está definido formalmente por el producto

o por la relación de recurrencia

La función factorial también se puede definir mediante el uso de la regla de la potencia como

^{[ 4 ]}

Todas las definiciones anteriores incorporan la instancia

en el primer caso por la convención de que el producto de ningún número en absoluto . es 1 Esto es conveniente porque:

• No es exactamente una permutación de objetos cero (sin nada que permutar, "todo" se deja en su lugar).

• La relación de recurrencia ( n + 1)! = n ! × ( n + 1) , válido para n > 0, se extiende a n = 0.

• Se permite la expresión de muchas fórmulas, tales como la función exponencial , como una serie de potencias:

• Tiene muchas identidades en la combinatoria válidos para todos los tamaños aplicables. El número de maneras de elegir 0 elementos del conjunto vacío es

• . Más en general, el número de maneras de elegir (todos) n elementos de entre un conjunto de n es

.

La función factorial se puede también definir para valores no enteros utilizando las matemáticas más avanzadas, que se detallan en la sección de abajo . Esta definición más generalizada es utilizado por avanzadas calculadoras y software matemático como el arce o Mathematica .

Hay n ! diferentes maneras de organizar n objetos distintos en una secuencia, las permutaciones de esos objetos.Aunque la función factorial tiene sus raíces en la combinatoria , fórmulas que impliquen factoriales ocurrir en muchas áreas de las matemáticas.

• A menudo factoriales aparecen en el denominador de una fórmula para tener en cuenta el hecho de que el pedido es para ser ignorado. Un ejemplo clásico es contar k - combinaciones(subconjuntos de k elementos) de un conjunto con n elementos. Se puede obtener una combinación de este tipo por la elección de un K -permutación: seleccionar sucesivamente y la eliminación de un elemento del conjunto, k veces, para un total de

posibilidades. Sin embargo, esto produce los k -combinaciones en un orden particular, que uno desea hacer caso omiso; ya que cada k se obtiene en combinación- k ! diferentes maneras, el número correcto de k -combinaciones es

Este número se conoce como el coeficiente binomial

, porque también es el coeficiente de X ^k en (1 + X ) ⁿ .

• Los factoriales se producen en el álgebra , por diversas razones, tales como a través de los coeficientes de los ya mencionados fórmula binomial , oa través de un promedio de más depermutaciones de simetrización de ciertas operaciones.

• Los factoriales también a su vez en el cálculo ; por ejemplo, se producen en los denominadores de los términos de la fórmula de Taylor , donde se utilizan como términos de compensación debido a la n -ésima derivada de x ⁿ es equivalente a n !.

• Los factoriales también se utilizan ampliamente en la teoría de probabilidad .

• Los factoriales pueden ser útiles para facilitar la manipulación de expresión. Por ejemplo, el número de k -permutaciones de n se puede escribir como

mientras que esto es ineficaz como un medio para calcular dicho número, que puede servir para probar una propiedad de simetría de los coeficientes binomiales:

Teoría de los números

Los factoriales tienen muchas aplicaciones en la teoría de números . En particular, n ! es necesariamente divisible por todos los números primos hasta e incluyendo n . Como consecuencia,n > 5 es un número compuesto si y sólo si

Un resultado más fuerte es el teorema de Wilson , que establece que

si y sólo si p es primo.

Adrien-Marie Legendre encontró que la multiplicidad de la flor p ocurre en la factorización prima de n ! se puede expresar exactamente como se

Este hecho se basa en contar el número de factores de p de los números enteros de 1 a n . El número de múltiplos de p en los números 1 a n vienen dados por ; Sin embargo, esta fórmula cuenta esos números con dos factores de p sólo una vez. Por lo tanto otros factores de p se deben contar también. Del mismo modo para tres, cuatro, cinco factores, hasta el infinito. La suma es finita ya que p ⁱ sólo puede ser menor o igual que n para un número finito de valores de i , y las funciones piso resultados en 0 cuando se aplica para los p ⁱ > n .

La única factorial que también es un número primo es 2, pero hay muchos primos de la forma n ! ± 1, llamada primos factoriales .

Todos los factoriales superiores a 1! son incluso , como lo son todos los múltiplos de 2. Además, todos los factoriales de 5! hacia arriba son múltiplos de 10 (y por lo tanto tener un cero finalcomo su dígito final), debido a que son múltiplos de 5 y 2.

Serie de las recíprocas

Los recíprocos de los factoriales producen una serie convergente : (ver correo )

Aunque la suma de esta serie es un número irracional , es posible multiplicar los factoriales por números enteros positivos para producir una serie convergente con una suma racional:

La gráfica de la función f ( n ) = log n ! se muestra en la figura a la derecha. Parece aproximadamente lineal para todos los valores razonables de n , pero esta intuición es falsa. Tenemos una de las aproximaciones más simples para log n ! por que delimita la suma con un integrante desde arriba y abajo de la siguiente manera:

Por lo tanto iniciar n ! es Θ ( n log n ) (ver Grandes O notación ). Este resultado juega un papel clave en el análisis de la complejidad computacional de algoritmos de ordenación (vercomparación de orden ). A partir de los límites en log n ! deducido anteriormente tenemos que

A veces es práctico utilizar estimaciones más débiles pero más simples. Utilizando la fórmula anterior se demuestra fácilmente que para todo n tenemos

, y para toda n ≥ 6 tenemos

.

Para grandes n obtenemos una mejor estimación para el número n ! usando la aproximación de Stirling :

De hecho, se puede demostrar que para todo n tenemos

Otra aproximación para log n ! viene dado por Srinivasa Ramanujan ( Ramanujan 1988 )

Por lo tanto, es incluso más pequeño que el próximo término de corrección

de la fórmula de Stirling.

Computación

Si la eficiencia no es una preocupación, los factoriales de computación es trivial desde el punto de vista algorítmico: multiplicando sucesivamente una variable inicializada en 1 por los números enteros 2 hasta n (si los hay) se computará n , siempre y cuando el resultado se ajusta a la variable!. En los lenguajes funcionales, la definición recursiva a menudo se implementa directamente para ilustrar las funciones recursivas.

La principal dificultad práctica en el cálculo de factoriales es el tamaño del resultado. Para asegurar que el resultado exacto cabrá para todos los valores legales de incluso el tipo integral utilizada más pequeño (de 8 bits enteros con signo) requeriría más de 700 bits, por lo hay especificación razonable de una función factorial utilizando tipos de tamaño fijo puede evitar preguntas de desbordamiento. Los valores de 12! y 20! son los mayores factoriales, que pueden almacenarse en, respectivamente, los enteros de 32 bits y 64 bits de uso común en los ordenadores personales . coma flotante representación de un resultado aproximado permite ir un poco más lejos, pero esto también queda muy limitada por posible desbordamiento . La mayoría de las calculadoras utilizan la notación científica con exponentes decimales de 2 dígitos, y el mayor factorial que se ajusta es entonces 69!, porque 69! <10 ¹⁰⁰ <70!. Calculadoras que utilizan exponentes de 3 dígitos se pueden calcular los factoriales mayores, de hasta, por ejemplo, 253! ≈ 5,2 × 10 ⁴⁹⁹ en HP calculadoras y 449! ≈ 3,9 × 10 ⁹⁹⁷ en la TI-86 . La calculadora se ve en Mac OS X , Microsoft Excel y Google calculadora , así como la Calculadora del freeware Fox, puede manejar factoriales hasta 170!, que es el mayor factorial cuya aproximación de punto flotante se puede representar como una de 64 bits IEEE 754 de punto flotante de valor. La calculadora científica en Windows 7 y Windows 8 es capaz de calcular los factoriales hasta 3248!.

La mayoría de las aplicaciones de software se calculará pequeñas factoriales por multiplicación directa o tabla de consulta. Valores factoriales grandes pueden ser aproximadas mediante la fórmula de Stirling . Wolfram Alpha puede calcular resultados exactos para la función de techo y la función del suelo aplicado a la binaria , naturales y logaritmo decimal de n ! para valores de n hasta 249.999, y hasta 20 millones! para los números enteros.

Si se necesitan los valores exactos de las grandes factoriales, se pueden calcular utilizando la aritmética de precisión arbitraria . En vez de hacer las multiplicaciones sucesivas

Su relación con los factoriales es que para cualquier número natural n

Una notación alternativa, originalmente introducida por Gauss , a veces se utiliza. La función PI , denota Π ( z ) para los números reales z no menos de 0, se define por

En términos de la función Gamma es

Realmente se extiende el factorial en que

Además de esto, la función Pi satisface la misma recurrencia como factoriales hacen, pero en cada valor complejo z donde se define

De hecho, esto ya no es una relación de recurrencia, pero una ecuación funcional . Expresado en términos de la función Gamma esta ecuación funcional toma la forma

Desde el factorial se extiende por la función de Pi, para cada valor complejo z donde se define, se puede escribir:

Los valores de estas funciones en un medio-enteros , por tanto, los valores se determinan por un solo uno de ellos; uno tiene

de donde se sigue que, para n ∈ N ,

Por ejemplo,

También se deduce que para n ∈ N ,

Por ejemplo,

La función Pi ciertamente no es la única manera de extender factoriales a una función definida en casi todos los valores complejos, y ni siquiera la única que es analítica dondequiera que se define. No obstante, se considera por lo general la manera más natural de extender los valores de los factoriales de una función compleja. Por ejemplo, el teorema de Bohr-Mollerupestablece que la función Gamma es la única función que toma el valor 1 a 1, satisface la ecuación funcional Γ ( n + 1) = n Γ ( n ), es meromórfica sobre los números complejos, y se log-convexa en el eje real positivo. Una declaración similar se mantiene para la función pi también, usando el Π ( n ) = n Π ( n - 1) ecuación funcional.

Sin embargo, existen funciones complejas que son probablemente más simple en el sentido de la teoría función analítica y que interpolar los valores factoriales. Por ejemplo, de Hadamard'Gamma'-función ( Hadamard 1894 ) que, a diferencia de la función gamma, es una función entera . ^{[ 9 ]}

Euler también desarrolló una aproximación producto convergente para los factoriales no enteros, que puede ser visto como equivalente a la fórmula de la función gamma por encima de:

Sin embargo, esta fórmula no proporciona un medio práctico para el cálculo de la función Gamma Pi o, como su velocidad de convergencia es lenta.

Aplicaciones de la función gamma

El volumen de un n -dimensional hiperesfera de radio R es

. Varios niveles de módulo constante (amplitud)

y de fase constante se muestran. La red cubre gama ,

con escalón unitario. La línea rayada muestra el nivel .

Las líneas finas indican niveles intermedios de módulo constante y fase constante. En los polos

, de fase y de amplitud no se definen. Equilines son densos en las proximidades de las singularidades a lo largo de valores enteros negativos del argumento.

Para

, las expansiones de Taylor se pueden utilizar:

Los primeros coeficientes de esta expansión son

es la constante de Euler y es la función zeta de Riemann . sistemas de álgebra computacional como Sage (Software de matemáticas) pueden generar muchos términos de esta expansión.

Aproximaciones de factorial

Para los grandes valores del argumento, factorial se puede aproximar a través de la integral de la función digamma , utilizando la fracción continua representación. Este enfoque se debe a TJ Stieltjes (1894). Escribir z ! = Exp (P ( z )) donde P ( z ) es

Stieltjes dieron una fracción continua para p ( z )

Los primeros coeficientes a _n son ^{[ 10 ]}

No es común concepto erróneo , de que

o para cualquier complejo z ≠ 0. De hecho, la relación a través del logaritmo es válida sólo para el rango específico de valores de z en la proximidad del eje real, mientras que

. Cuanto más grande es la parte real del argumento, más pequeño debe ser la parte imaginaria. Sin embargo, la relación inversa, Z ! = Exp ( P ( z )), es válida para todo el plano complejo, aparte de cero. La convergencia es pobre en proximidad de la parte negativa del eje real. (Es difícil tener una buena convergencia de toda aproximación en las proximidades de las singularidades). Mientras

o , los 6 coeficientes anteriores son suficientes para la evaluación de la factorial con el complejo de precisión <double>. Para una mayor precisión más coeficientes se pueden calcular mediante un esquema racional QD ( H. Rutishauser 's algoritmo QD ). ^{[ 11 ]}

No extendability para enteros negativos

La relación n ! = n × ( n - 1)! le permite a uno calcular el factorial de un número entero dado el factorial de un menor número entero. La relación se puede invertir de manera que se puede calcular el factorial de un número entero dado el factorial para un mayor número entero:

Tenga en cuenta, sin embargo, que esta recursividad no nos permite calcular el factorial de un entero negativo; uso de la fórmula para calcular (-1)! requeriría una división por cero, y por lo tanto nos impide calcular un valor factorial de cada entero negativo. (De manera similar, la función gamma no está definida para números enteros no positivos, aunque se define para todos los otros números complejos.)

Productos y funciones factoriales similares

Hay varias otras secuencias de enteros similares a el factorial que se utilizan en las matemáticas:

Primorial

El primorial (secuencia A002110 en OEIS ) es similar a la factorial, pero con el producto tomado sólo sobre los números primos .

Doble factorial

Doble factorial

El producto de todos los números enteros impares hasta algunos impar entero positivo n se llama el factorial doble de n , y denotado por n !!. ^{[ 12 ]} Es decir,

Por ejemplo, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

La secuencia de dobles factoriales para n = 1, 3, 5, 7, ... comienza como

1, 3, 15, 105, 945, 10 395, 135 135, .... (secuencia A001147 en OEIS )

Notación factorial doble se puede usar para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas , ^{[ 13 ]} para proporcionar una expresión para los valores de la función gamma en argumentos medio-enteros y el volumen de hiperesferas , ^{[ 14 ]} y para resolver muchos problemas de conteo en combinatoria incluyendo contando árboles binarios con hojas etiquetadas ymatchings perfectos en grafos completos . ^{[ 12 ] [ 15 ]}

Multifactoriales

Una notación relacionada común es usar múltiples puntos de exclamación para denotar un multifactorial , el producto de los números enteros en pasos de dos (

), tres ( ), o más. El factorial doble es la variante más comúnmente utilizado, pero se puede definir de manera similar la triple factorial (

) y así sucesivamente. Se puede definir el k -th factorial, denotado por

, de forma recursiva para los números enteros no negativos como

aunque ver la definición alternativa de abajo .

Algunos matemáticos han sugerido una notación alternativa de

no está definida para enteros negativos, y no está definida para enteros pares negativos, no está definida para enteros negativos divisibles por .

Extensión alternativa del multifactorial

Alternativamente, el multifactorial Z ! ^{( k )} se puede extender a más real y complejo números z observando que cuando Z es uno más que un múltiplo positivo de k a continuación

Esta última expresión se define mucho más amplia que la original; con esta definición, z ! ^{( k )} está definida para todos los números complejos, excepto los números reales negativos divisible por k . Esta definición es coherente con la definición anterior sólo para los números enteros z satisfactoria z ≡ 1 mod k .

Además de ampliar z ! ^{( k )} a las más complejas números z , esta definición tiene la característica de trabajar para todos los valores reales positivos de k . Además, cuando k = 1, esta definición es matemáticamente equivalente a la Π ( z función), descrito anteriormente. Además, cuando k = 2, esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa de la factorial doble .

Cuádruple factorial

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ... (secuencia A001813 en OEIS ).El factorial cuádruple no es el multifactorial n ! ⁽⁴⁾ ; se trata de un número mucho mayor dado por (2 n )! / n !, comenzando como

También es igual a

Superfactorial

Los grandes números

"N $" vuelve a dirigir aquí. Para la moneda, vea dólar de Namibia .

Neil Sloane y Simon Plouffe definieron un superfactorial en La Enciclopedia de secuencias del número entero (Academic Press, 1995) que es el producto de los primeros

factoriales. Así que la superfactorial de 4 es

En general

De manera equivalente, la superfactorial está dada por la fórmula

que es el factor determinante de una matriz Vandermonde .

La secuencia de superfactorials comienza (desde

) como

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24883200, 125411328000, ... (secuencia A000178 en OEIS )

Definición alternativa

Ver también: tetración

Clifford Pickover en sus 1995 libro Claves para el Infinito utiliza una nueva notación, n $ , para definir el superfactorial

o como,

donde el ⁽⁴⁾ notación denota la hyper4 operador , o el uso de flecha hacia arriba notación de Knuth ,

Esta secuencia de superfactorials comienza:

Aquí, como es habitual para el compuesto exponenciación , la agrupación se entiende que es de derecha a izquierda:

Hyperfactorial

De vez en cuando la hyperfactorial de N se considera. Se escribe como H ( n ) y definido por

Para n = 1, 2, 3, 4, ... los valores de H ( n ) son 1, 4, 108, 27648, ... (secuencia A002109 en OEIS ).

La tasa de crecimiento es asintótica

• Serie hipergeométrica generalizadaFunción hipergeométrica de un argumento matrizSerie hipergeométricaSerie hipergeométrica LauricellaSerie hipergeométrica ModularLa ecuación diferencial de RiemannTheta serie hipergeométrica

• Número cúbicoFactorialLos números de FibonacciNúmero FigurateNúmero heptagonalNúmero HexagonalListaNúmero LucasNúmero PentagonalNúmero poligonalNúmero SquareNúmero triangular

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