結び目理論

2021年度：幾何学序論Iと演習

連絡事項 

• • 結び目理論の基本的なことについて概説します。

• 講義の情報は WebClass をご覧ください．

講義内容

1. 不変量，結び目の三彩色可能性

2. ライデマイスター移動と三彩色可能性のライデマイスター不変性証明，同値関係と商集合

3. 剰余環，結び目のn彩色不変量とそのライデマイスター不変性証明，線型代数学再論（有限環，有限体上の線形代数について）、

4. n彩色数について，単因子論と結び目のゲーリッツ行列

5. 結び目のゲーリッツ不変量，ジョーンズ多項式の計算法、結び目の分解

6. スケイン関係式を用いたジョーンズ多項式の計算法，行列式と対角化

7. 向きのついた結び目と絡み目，絡み数について，ザイフェルト曲面の構成，ザイフェルト行列の構成

8. ライデマイスター移動によるザイフェルト行列の変化、ザイフェルト行列から得られる不変量（アレキサンダー多項式，行列式、符号数）

9. グラフの彩色多項式，マトロイドの Tutte 多項式

10. 講義試験

11. 研究発表会（１）

12. 研究発表会（２）

13. 研究発表会（３）

14. 研究発表会（４）

研究発表会タイトル

2020年度：幾何学序論Iと演習

連絡事項 

• • 結び目理論の基本的なことについて概説します。

• 講義の情報は WebClass をご覧ください．

講義内容

• • 結び目の三彩色可能性，連立一次方程式の解法の復習

  • ライデマイスター移動と三彩色可能性のライデマイスター不変性証明，同値関係と商集合

  • 剰余環，結び目のn彩色不変量とそのライデマイスター不変性証明

  • 線型代数学再論（有限環，有限体上の線形代数について）、n彩色数について

  • 単因子論と結び目のゲーリッツ不変量

  • ジョーンズ多項式の計算法、結び目の分解

• • スケイン関係式を用いたジョーンズ多項式の計算法

  • 行列式と対角化

  • 向きのついた結び目と絡み目，絡み数について，ザイフェルト曲面の構成，ザイフェルト行列の構成

  • ライデマイスター移動によるザイフェルト行列の変化、ザイフェルト行列から得られる不変量（アレキサンダー多項式，行列式、符号数）

  • 結び目の彩色不変量（ガウス整数環を用いる），連結和、群論、ブレイド，絡み目のブレイド群表示

  • 演習試験

  • 講義試験

  • 研究発表会（１）

  • 研究発表会（２）

研究発表会タイトル

• • 連結和のゲーリッツ不変量

  • 領域選択ゲーム

  • n彩色数とゲーリッツ不変量に関する考察

  • 星型結び目について

  • 好転の上下を変えた結び目の観察

  • 16の約数の彩⾊数は、どの結び⽬でも同じである

  • ゲーリッツ不変量を簡単に求める方法

  • ジョーンズ多項式に１のべき根を代入したときの結果と考察

  • いろいろなあわじ結びのゲーリッツ不変量

2019年度：幾何学序論Iと演習

連絡事項 

• • 結び目理論の基本的なことについて概説します。

講義内容

• • 結び目の三彩色可能性，連立一次方程式の解法の復習

  • ライデマイスター移動と三彩色可能性のライデマイスター不変性証明，同値関係と商集合

  • 剰余環，結び目のn彩色不変量とそのライデマイスター不変性証明

  • 線型代数学再論（有限環，有限体上の線形代数について）、n彩色数について

  • 単因子論と結び目のゲーリッツ不変量

  • ジョーンズ多項式の計算法、結び目の分解

• スケイン関係式を用いたジョーンズ多項式の計算法

• 行列式と対角化

• 向きのついた結び目と絡み目，絡み数について，ザイフェルト曲面の構成，ザイフェルト行列の構成

• ライデマイスター移動によるザイフェルト行列の変化、ザイフェルト行列から得られる不変量（アレキサンダー多項式，行列式、符号数）

• 結び目の彩色不変量（ガウス整数環を用いる），連結和、群論、ブレイド，絡み目のブレイド群表示

• 演習試験

• 講義試験

• 研究発表会（１

• 研究発表会（２）

研究発表会タイトル

• 連結和のゲーリッツ

• 特別な結び目の性質

• 連結和のn彩色数

• nが2のべきのとき、n彩色不可

• 三つ編みのゲーリッツ不変量

• ジョーンズ多項式の特殊値

• 連結和のザイフェルト行列

• オリンピックマークのゲーリッツ不変量とジョーンズ多項式（１）

• オリンピックマークのゲーリッツ不変量とジョーンズ多項式（２）

• ゲーリッツ不変量の新しい計算法

• 連結和のジョーンズ多項式

• ゲーリッツ不変量が偶数の絡み目

• 縦結びと横結びについて

2018年度：幾何学序論Iと演習

連絡事項 

• • 結び目理論の基本的なことについて概説します。

講義内容

• • 結び目の三彩色可能性

  • ライデマイスター移動と三彩色可能性のライデマイスター不変性証明，同値関係と商集合

  • 剰余環，結び目のn彩色不変量とそのライデマイスター不変性証明

  • 線型代数学再論（有限環，有限体上の線形代数について），n彩色数について，向きのついた結び目と絡み目，絡み数について，結び目の彩色不変量（ガウス整数環を用いる）

  • 単因子論と結び目のゲーリッツ不変量、群論、ブレイド

  • ジョーンズ多項式の計算法、結び目の分解、連結和

  • スケイン関係式を用いたジョーンズ多項式の計算法

  • 中間試験、絡み目のブレイド群表示

  • 対角化

  • ザイフェルト曲面の構成，行列式と対角化、符号数、ザイフェルト曲面、ザイフェルト行列

  • ライデマイスター移動によるザイフェルト行列の変化、ザイフェルト行列から得られる不変量（アレキサンダー多項式，行列式、符号数）

  • 研究発表会

研究発表会タイトル

• • ゲーリッツ不変量が一致する結び目は，どこまでも塗分け方が一緒だろうか．

  • プレッツェル結び目のゲーリッツ不変量とジョーンズ多項式．

  • ジョーンズ多項式のｔの値に１を代入すると１になる．多項式に制限を与えているのはなぜ？

  • ジョーンズ多項式を積分して特殊値を代入する．

  • 連結和のゲーリッツ不変量．

  • 連結和のジョーンズ多項式は，各々のジョーンズ多項式の積．

  • 今までの結び目の作り方は遅くないだろうか．

  • 結び目に対して，nが２べきのとき，n彩色不可．

  • 縦結びと横結びに関する考察．

2017年度：幾何学序論IIと演習

連絡事項 

• • 結び目理論の基本的なことについて概説します。

講義内容

• • 結び目の三彩色可能性

  • 記号と論理，写像について，同値関係と商集合

  • 剰余環（１，整数環の剰余環，有限体）

  • 剰余環（２，多項式環とガウス整数環の剰余環），線型代数学再論（有限環，有限体上の線形代数について）

  • 結び目の導入，不変量という考え方（ライデマイスター移動、不変量の紹介と結び目の三彩色不変量について）

  • 不変量という考え方（結び目のn彩色不変量，n彩色数について，向きのついた結び目と絡み目，絡み数について）

  • 結び目の彩色不変量（ガウス整数環を用いる），単因子論と結び目のゲーリッツ不変量：演習の時間（群論、ブレイド）

  • 単因子論の幾何学的意味

  • ジョーンズ多項式の計算法：演習の時間（結び目の分解、連結和）

  • 中間試験、絡み目のブレイド群表示

  • ディラックのストリングゲーム、「あの表」のブレイド群表示、オリジナル絡み目のジョーンズ多項式、ベルトのトリック、クラインの壺とSO(３)内の曲線

  • ゲーリッツ不変量とジョーンズ多項式のライデマイスター不変性証明：演習の時間（ザイフェルト曲面の構成）

  • 行列式と対角化、符号数、ザイフェルト曲面、ザイフェルト行列

  • ライデマイスター移動によるザイフェルト行列の変化、ザイフェルト行列から得られる不変量（アレキサンダー多項式，行列式、符号数）

  • カンドルとHOMFLY、ジョーンズ多項式の一般化、量子不変量について

  • 研究発表会

研究発表会タイトル

• • 縦結び目と横結び目の結び目理論的考察

  • 三つ編みとその周辺に関わる考察

  • 単因子論の証明

  • 結び目のジョーンズ多項式とブレイドに関する考察

  • 最小交点数が３の結び目は鏡像を除いて１つしかない

  • トーラス絡み目のゲーリッツ不変量

  • ジョーンズ多項式

  • あわじ結びの結び目について

  • ゲーリッツ不変量の偶奇

  • 真実の愛の結び目と偽りの愛の結び目について

  • 交点数とブレイド群