Teoría analítica de números

Descripción del curso (contenidos, evaluaciones y bibliografía)

Horario y lugar: martes y viernes, de 8:15 a 9:25, en sala IMA 2-1 del Instituto de Matemáticas de la PUCV.

CLASES

Clase 1: Introducción; funciones aritméticas; función de Möbius; función de Euler.

Clase 2: Relación entre función de Möbius y función de Euler; convolución de Dirichlet; fórmula de inversión de Möbius, función de von Mangoldt.

Clase 3: Funciones mutilplicativas y completamente multiplicativas; función de Liouville; función suma de potencias de divisores; derivada de funciones aritméticas.

Clase 4: Identidad de Selberg; promedio de funciones aritméticas; fórmula de suma de Euler; fórmulas asintóticas elementales.

Clase 5: Fórmulas asintóticas elementales; crecimiento promedio del número de divisores.

Clase 6: Crecimiento promedio de sumas de potencias de divisores; crecimiento promedio de la función de Euler-

Clase 7: Densidad de puntos enteros en el plano visibles desde el origen; convoluciones generalizadas; sumas parciales de convoluciones.

Clase 8: Sumas parciales ponderadas de la función de Möbius y función de von Mangoldt.

Clase 9: Funciones de Chebyshev, formulaciones equivalentes del teorema de los números primos.

Clase 10: Desigualdades para el primo enésimo y la función contadora de primos.

Clase 11: Teorema tauberiano de H. Shapiro y aplicaciones.

Clase 12: Sumas de recíprocos de números primos y sumas parciales de la función de Möbius. El TNP implica M(x)=o(x).

Clase 13: Equivalencia entre el TNP y M(x)=o(x).

Clase 14: Fórmula asintótica de Selberg. Demostración del teorema de los números primos (pasos 1 y 2).

Clase 15: Demostración del teorema de los números primos (pasos 3, 4 y 5).

Clase 16: Demostración del teorema de los números primos (pasos 6, 7, 8 y 9).

Clase 17: Demostración del teorema de los números primos (paso 10 y finalización).

Clase 18: Caracteres de grupo; caracteres de Dirichlet; funciones L de Dirichlet.

Clase 19: Sumas que involucran caracteres de Dirichlet. No anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet asociadas a caracteres reales.

Clase 20: Relación entre el Teorema de Dirichlet y la no anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet.

Clase 21: No anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet.

Clases 22-23: Sobre enteros de Gauss y el teorema de los números primos en anillos de enteros.