Teoría analítica de números
Descripción del curso (contenidos, evaluaciones y bibliografía)
Horario y lugar: martes y viernes, de 8:15 a 9:25, en sala IMA 2-1 del Instituto de Matemáticas de la PUCV.
TAREAS
Tarea 1: Sobre función de Euler y función de Möbius. Entregar antes del martes 16 de agosto a las 9:00.
Tarea 2: Sobre convolución de Dirichlet, inverso de la función de Euler y funciones completamente multiplicativas. Entregar antes del martes 23 de agosto a las 9:00.
Tarea 3: Sobre aplicaciones de la fórmula de suma de Euler. Entregar antes del martes 30 de agosto a las 9:00.
Tarea 4: Sobre fórmulas asintóticas de sumas parciales. Entregar antes del martes 6 de septiembre a las 9:00.
Tarea 5: Sobre función logaritmo integral y relaciones entre fórmulas asintóticas.
Tarea 6: Sobre la función contadora de primos y funciones de Chebyshev.
Tarea 7: Sobre la demostración del Teorema de los números primos.
Tarea 8: Sobre caracteres de grupos finitos.
PRUEBAS
Prueba 1: Viernes 9 de septiembre, 8:15 a 9:25. Sobre funciones aritméticas, convolución de Dirichlet, promedio de funciones aritméticas y fórmulas asintóticas.
Prueba 2: Martes 25 de octubre, 8:15 a 10:00. Sobre funciones de Chebyshev y el teorema de los números primos.
EXPOSICIONES
Martes 22/11 "Desigualdad de Polya para caracteres primitivos" (Apostol, secciones 8.7-8.12) Juan Fuenzalida.
Jueves 24/11 "Particiones" (Apostol, secciones 14.1-14.4) Fabián Levicán. Ver apuntes.
Martes 29/11 "Series de Dirichlet y productos de Euler" (Apostol, secciones 11.1-11.5) Francisco Contardo.
Jueves 1/12 "Función zeta de Hurwitz"(Apostol, secciones 12.1-12.5) Daniel Jaque.
CLASES
Clase 1: Introducción; funciones aritméticas; función de Möbius; función de Euler.
Clase 2: Relación entre función de Möbius y función de Euler; convolución de Dirichlet; fórmula de inversión de Möbius, función de von Mangoldt.
Clase 3: Funciones mutilplicativas y completamente multiplicativas; función de Liouville; función suma de potencias de divisores; derivada de funciones aritméticas.
Clase 4: Identidad de Selberg; promedio de funciones aritméticas; fórmula de suma de Euler; fórmulas asintóticas elementales.
Clase 5: Fórmulas asintóticas elementales; crecimiento promedio del número de divisores.
Clase 6: Crecimiento promedio de sumas de potencias de divisores; crecimiento promedio de la función de Euler-
Clase 7: Densidad de puntos enteros en el plano visibles desde el origen; convoluciones generalizadas; sumas parciales de convoluciones.
Clase 8: Sumas parciales ponderadas de la función de Möbius y función de von Mangoldt.
Clase 9: Funciones de Chebyshev, formulaciones equivalentes del teorema de los números primos.
Clase 10: Desigualdades para el primo enésimo y la función contadora de primos.
Clase 11: Teorema tauberiano de H. Shapiro y aplicaciones.
Clase 12: Sumas de recíprocos de números primos y sumas parciales de la función de Möbius. El TNP implica M(x)=o(x).
Clase 13: Equivalencia entre el TNP y M(x)=o(x).
Clase 14: Fórmula asintótica de Selberg. Demostración del teorema de los números primos (pasos 1 y 2).
Clase 15: Demostración del teorema de los números primos (pasos 3, 4 y 5).
Clase 16: Demostración del teorema de los números primos (pasos 6, 7, 8 y 9).
Clase 17: Demostración del teorema de los números primos (paso 10 y finalización).
Clase 18: Caracteres de grupo; caracteres de Dirichlet; funciones L de Dirichlet.
Clase 19: Sumas que involucran caracteres de Dirichlet. No anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet asociadas a caracteres reales.
Clase 20: Relación entre el Teorema de Dirichlet y la no anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet.
Clase 21: No anulación en s=1 de funciones L de Dirichlet.
Clases 22-23: Sobre enteros de Gauss y el teorema de los números primos en anillos de enteros.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859)
Matemático alemán considerado el padre de la teoría analítica de números. Fue sucesor de Gauss en la Universidad de Gotinga.
Atle Selberg (1907 - 2007)
Matemático noruego conocido por sus contribuciones a la teoría analítica de números. Dió una demostración elemental del teorema de los números primos en 1948. Obtuvo la medalla Fields en 1950.
Pafnuti Chebyshev [Пафнутий Чебышёв] (1821 - 1894)
Matemático ruso que contribuyó a la teoría de números, probabilidades, polinomios ortogonales, cartografía, balística, entre otras áreas.
Es considerado el fundador de la primera escuela matemática rusa en San Petersburgo.