Método de colimación de prismáticos por proyección de las imágenes de una lámpara sobre una pantalla (prismáticos con arandelas excéntricas o con tornillos de colimación)

por Rafael Chamón Cobos

Created: Augosto 2013

Revised: Septiembre 2016 (modificado para incluir la colimación de prismáticos con tornillos de ajuste)

Resumen

Se describe un método para comprobar y ajustar la colimación de prismáticos provistos de un sistema de colimación, bien por arandelas excéntricas que desplazan las lentes de los objetivos, o bien por tornillos que modifican la inclinación de los prismas. Una vez ajustada la colimación, los dos ejes ópticos resultan paralelos con cualquier distancia interpupilar del instrumento. El método usa una lámpara pequeña y brillante, un soporte sencillo para los prismáticos y una pantalla. Estos componentes se sitúan de tal manera que los prismáticos proyectan sobre la pantalla dos imágenes de la lámpara. Las posiciones de estas imágenes sobre la pantalla reflejan totalmente el estado de colimación o descolimación del instrumento. El presente método consiste en corregir los errores de colimación mediante un cálculo matemático basado en medidas de las posiciones de las imágenes y en una simulación matemática del sistema de ajuste de colimación del instrumento. Sobre la pantalla se miden las distancias vertical y horizontal que presentan las dos imágenes proyectadas en dos casos: con la bisagra de los prismáticos completamente cerrada y con la bisagra completamente abierta. Unas fórmulas matemáticas implementadas en una hoja de cálculo Excel calculan, por una parte, los errores de colimación a partir de las posiciones de las imágenes y por otra, los movimientos de las arandelas excéntricas o bien de los tornillos de colimación, que conseguirán anular los errores de colimación hallados. Para el cálculo la hoja necesita unos datos iniciales que modelan el montaje utilizado y los prismáticos bajo prueba. Debido a la posible imprecisión de algunos datos de entrada, el ajuste de la colimación se lleva a cabo mediante una iteración de ajustes parciales que van atenuando cada vez los errores de colimación del instrumento. De esta forma, al cabo de un cierto número de iteraciones, se alcanza la colimación final correcta. 

Índice

1.    Introducción

2.    Método experimental

2.1. Datos iniciales

2.2. Datos principales

2.2.1. Distancias entre imágenes

2.2.2. Datos principales con arandelas excéntricas

2.2.3. Datos principales con tornillos de colimación

3.    Resultados

3.1 Con arandelas excéntricas

3.2 Con tornillos de colimación

3.3 Procedimiento

4.    Pros y contras del método

5.    Discusión

5.1.  Causas de los errores de colimación

5.2. Errores de colimación sobre la pantalla

5.3. Corrección de los errores de colimación sobre la pantalla

5.4. Arandelas excéntricas    

5.5. Tornillos de colimación

5.6.  Hoja de cálculo Excel

5.7. Datos iniciales

5.8. Precisión del método

6.    Fórmulas matemáticas

7.    Conclusiones

8.    Agradecimientos

9.    Bibliografía

1. Introducción

 La idea general del método y la disposición de los componentes puede verse en la siguiente figura.

Cualquier prismático puede proyectar sobre una pantalla dos imágenes de un punto luminoso situado a una distancia más o menos grande de los objetivos. Estas imágenes forman un patrón que refleja completamente y con exactitud el estado de alineamiento o desalineamiento de los ejes ópticos del instrumento con independencia del sistema de ajuste de la colimación que tenga. En efecto, supongamos primero que el punto luminoso está situado muy lejos de los objetivos de forma que los rayos que alcanzan a estos son prácticamente paralelos. Si el prismático está alineado, es decir, los ejes ópticos son paralelos, las imágenes estarán situadas sobre una línea horizontal (o de la misma inclinación que la línea que une los oculares) y su distancia entre sí corresponderá a la distancia interpupilar del instrumento. Si por el contrario el instrumento está desalineado, las imágenes diferirán del patrón anterior en ciertas magnitudes, como se indica en la siguiente figura.

Esta idea también es válida si la lámpara está situada más cerca de los prismáticos, a una distancia relativamente pequeña, por ejemplo, 10m. Entonces, los rayos procedentes de la lámpara que alcanzan los objetivos divergen según un ángulo que depende de la distancia entre lámpara y objetivos y de la distancia entre objetivos. Los rayos que salen de los oculares divergen según un ángulo mayor, que depende del aumento de los prismáticos, como se indica en la siguiente figura:

Por razones prácticas, el presente método emplea este montaje. Supongamos que los prismáticos están alineados, es decir, sus dos ejes ópticos son paralelos. Entonces, la distancia entre imágenes no será igual a la distancia interpupilar del instrumento IPD, sino algo mayor IPD’. Un cálculo sencillo da esta distancia ampliada entre ambas imágenes de la lámpara sobre la pantalla:

IPD' = IPD + IOD * M * (S' / S)  

donde

• IPD' = distancia entre las imágenes de la lámpara sobre la pantalla

• IPD = distancia interpupilar de los prismáticos (pupilas de salida)

• IOD = distancia entre los objetivos (pupilas de entrada)

• M = aumento de los prismáticos

• S' = distancia entre las pupilas de salida y la pantalla

• S = distancia entre la lámpara y el plano de los objetivos

Por ejemplo, con IPD = 7cm, IOD = 10cm, M = 7x, S' =50cm, S = 10m,  resulta IPD' = 10.5cm.

Si comparamos la distancia entre imágenes IPD' calculada con estos datos, con la distancia real que unos prismáticos concretos dan en las mismas condiciones, podemos estimar si el instrumento está o no alineado. En efecto, unos prismáticos alineados darán unas imágenes situadas en una línea horizontal  y separadas por una distancia IPD’ aproximadamente igual a la calculada, mientras que si no están alineados, las imágenes que produce diferirán en cuanto a las distancias entre sí ‘a’ y ‘b’ según las direcciones  horizontal  y vertical  respectivamente, como se indica en el ejemplo de la siguiente figura:

Por lo tanto, en unos prismáticos alineados se cumple  a = IPD', b = 0.

Si medimos las distancias entre imágenes que proyecta el binocular en dos casos: con la bisagra completamente cerrada y completamente abierta, tendremos 2 patrones de este tipo (a, b), (c, d), según se muestra en la siguiente figura:

El hecho de realizar las mediciones con dos aberturas extremas de la bisagra es necesario si se quiere conseguir que el instrumento quede alineado con cualquier distancia interpupilar. En efecto, si unos prismáticos están alineados en dos distancias interpupilares diferentes, como se muestra en la parte inferior de la figura anterior, también lo están en todas las posiciones intermedias, lo que significa que los dos ejes ópticos y el eje mecánico de la bisagra son paralelos entre sí los tres. Hablamos entonces propiamente de ‘colimación’, en contraposición con un ‘alineamiento condicional’ cuando la colimación se cumple solo con una distancia interpupilar particular del instrumento.

Un tratamiento matemático de los valores (a, b, c, d) permite conocer los errores de colimación de los prismáticos por las posiciones de las imágenes de la lámpara sobre la pantalla, y un análisis matemático de su sistema de ajuste de la colimación, bien por arandelas excéntricas o por tornillos, permite calcular los movimientos de estos elementos para anular los errores de colimación hallados. Este es el principio del presente método de colimación. 

Los cálculos se realizan con una hoja de cálculo Excel en la que el operador escribe en ciertas celdas de entrada los valores de las posiciones del sistema de ajuste más las distancias (a, b, c, d) y recibe en otras celdas de salida nuevos valores para el sistema de ajuste. Los cálculos necesitan ciertos datos iniciales relativos al binocular, como ciertos detalles del sistema de ajuste, aumento de los prismáticos, distancias interpupilares, etc., y otros relativos al montaje, que son básicamente las distancias entre los elementos lámpara, prismáticos y pantalla.

Debido a posible falta de precisión en los datos, la colimación requiere varios ajustes parciales o iteraciones hasta llegar a la colimación definitiva. En cada iteración, los datos de salida (movimientos de ajuste del binocular) se aplican al instrumento y se realizan nuevas mediciones (a, b, c, d), obteniéndose así errores de colimación más pequeños que los del ajuste anterior. Esta sucesión de ajustes es convergente y el resultado final es la colimación deseada, constatada por los valores finalmente medidos

a= IPD1’, b = 0, c = IPD2’, d = 0

según se muestra en la figura anterior.

Una ventaja importante de este método es que los pares de medidas a realizar en cada una de las posiciones de la bisagra (a, b) y (c, d) respectivamente, pueden efectuarse sin necesidad de mantener fija la orientación de los prismáticos entre ambas, es decir, las medidas de los dos pares (a, b) y (c, d) no exigen mantener inmovilizado el instrumento entre ambos, con lo cual el binocular puede orientarse convenientemente para tener una visión cómoda de las imágenes sobre la pantalla en cada caso.

Otra ventaja del método es que proporciona los errores de ambos telescopios por separado. Esto permite identificar cuál de los dos telescopios está descolimado en caso de que sólo uno presente este problema.

2. Método experimental

En un extremo de una habitación se sitúa la lámpara, que debe ser pequeña y brillante, por ejemplo una linterna de bolsillo normal, con tecnología LED, u otra lámpara cualquiera con ángulo  de iluminación reducido (pero no un diodo láser).

En la pared opuesta se sitúa la pantalla, que puede ser una hoja de papel cuadriculado o una pizarra blanca borrable. En el caso presentado se emplea una hoja de papel cuadriculado sujeta magnéticamente a una plancha fina de hierro.

El binocular se sitúa entre ambos y el soporte debe poder regularse en orientación, por ejemplo, puede ser un trípode fotográfico. Una varilla dispuesta sobre los oculares proyecta una sombra sobre la pantalla que es la referencia horizontal para las medidas.

También puede emplearse un montaje fijo más elaborado según se observa en la figura siguiente. Es conveniente duplicar la distancia entre lámpara y pantalla mediante un espejo situado sobre  la pared donde estaba la lámpara y poner esta junto a los prismáticos.

2.1 Datos iniciales

Lo primero que ha de hacerse al comenzar un trabajo de colimación es introducir en la hoja de cálculo los datos iniciales relativos a los prismáticos y al montaje, como se muestra en la siguiente figura. Estos datos no varían durante las pruebas.

2.2 Datos principales

Los datos principales que se manejan para el cálculo son las distancias entre imágenes (a, b, c, d) y las posiciones del sistema de ajuste que son, en el caso de prismáticos con arandelas excéntricas, marcas de posición de las arandelas (mark11, mark12, mark21, mark22) , o bien incrementos de giro de los tornillos de colimación (screw11, screw12, screw22, screw21), en el caso de prismáticos con tornillos.

Al introducir estos datos la hoja de cálculo responde inmediatamente escribiendo en los datos de salida (línea principal de salida con cifras en color rojo) nuevas posiciones para el sistema de ajuste que han de aplicarse a los prismáticos, bien nuevas posiciones de las arandelas excéntricas (mark11, mark12, mark21, mark22) o bien incrementos de giro de los tornillos de colimación (screw11, screw12, screw22, screw21), según el tipo de sistema de ajuste.

Debido a imprecisiones de los datos de entrada, la colimación no se obtiene con el primer ajuste. Es necesario realizar varios ajustes aplicando cada vez como datos de entrada los datos de salida calculados en el ajuste anterior. Estos sucesivos ajustes parciales o iteraciones conducen el proceso en forma convergente hasta conseguir la colimación del instrumento en todas las distancias interpupilares.

2.2.1 Distancias entre imágenes

Con la habitación en penumbra, se  proyectan las imágenes de la lámpara sobre la pantalla y se miden las distancias (a, b)  con la bisagra cerrada y (c, d) con la bisagra abierta.

Las imágenes proyectadas se marcan con lápiz o rotulador sobre la pantalla para poder medir las distancias (a, b), (c, d) cómodamente después a plena luz.

Conviene que las imágenes de la lámpara sean nítidas y tengan un centro bien visible para que el registro sobre el papel sea preciso.

Nota: Con la bisagra completamente abierta pueden colocarse los prismáticos sobre su lado más estable porque la configuración de imágenes no varía.

2.2.2 Datos principales con arandelas excéntricas

Los datos de entrada para el caso de prismáticos con arandelas excéntricas son:

1. Las posiciones de las arandelas excéntricas (mark11, mark12, mark21, mark22)

2. Las distancias (a, b, c, d)

y los datos de salida son nuevas posiciones de las arandelas excéntricas.

Para ajustar o medir las posiciones angulares de las arandelas excéntricas se emplea el siguiente esquema que sirve de ejemplo. Los puntos rojos situados sobre la zona de mayor anchura de cada excéntrica son las marcas de referencia para las medidas angulares sobre una escala circular calibrada entre 0 y 59.

En este esquema se supone que la bisagra de los prismáticos está completamente cerrada y los objetivos están situados horizontalmente. Para ajustar o medir con precisión las marcas de las arandelas es conveniente hacerse una plantilla de cartulina, usando los propios binoculares, con la bisagra cerrada, como se muestra en las siguientes figuras:

En la figura anterior las marcas son las ranuras de las arandelas excéntricas y se corresponden con las posiciones: mark11 = 9; mark12 =28.

2.2.3 Datos principales con tornillos de colimación

En el caso de prismáticos con tornillos de colimación los datos de entrada son solamente las distancias (a, b, c, d). Los datos de salida son incrementos de giro de los tornillos de colimación (screw11, screw12, screw22, screw21), en números enteros proporcionales al giro necesario calculado para corregir los errores de colimación. El signo de estos valores indica si el tornillo debe apretarse (+) o aflojarse (-).

Estos números se calculan a partir de las posiciones de las imágenes sobre la pantalla exclusivamente. Es decir, al contrario del caso de las arandelas excéntricas donde el cálculo tiene en cuenta las posiciones anteriores de las marcas de las arandelas, en el caso de los tornillos sus posiciones anteriores no influyen y el resultado son incrementos respecto a las posiciones anteriores. Sin embargo se incluyen en la Tabla de Iteraciones (véase la sección 3. Resultados) con el fin de mantener un registro completo de los ajustes que incluya los movimientos de los tornillos realizados.

En cada iteración los números calculados se emplean como guía para conseguir manualmente un alineamiento condicional del binocular con la bisagra cerrada mientras el usuario controla visualmente las imágenes sobre la pantalla. Es decir, se ajustan los 4 tornillos con giros proporcionales a los valores calculados, teniendo en cuenta su signo (valores positivos = apretar tornillo, valores negativos = aflojar tornillo), hasta conseguir que las dos imágenes se sitúen horizontalmente y a una distancia entre sí aproximadamente igual a IPD1’.

Los tornillos se localizan sobre el cuerpo del binocular según la siguiente figura. Normalmente los tornillos no se ven, bien porque quedan ocultos por la cubierta exterior de la carcasa, que hay que despegar y levantar, o bien porque están sellados desde el exterior con una pequeña cantidad de cera negra, que se retira fácilmente con un destornillador fino. Antes de actuar sobre los tornillos es conveniente lubricarlos ligeramente para que no sufran desgaste debido a los ajustes. 

3. Resultados

En la misma hoja de cálculo ‘Operation’ está prevista una tabla de iteraciones donde el operador va anotando todos los ajustes parciales. Excel dibuja un gráfico a partir de los datos de esta tabla para visualizar la convergencia de los ajustes hasta la colimación final. 

Véanse a continuación ejemplos de tabla de iteraciones con sus gráficos para los casos de binoculares con arandelas excéntricas y con tornillos de colimación.

3.1 Con arandelas excéntricas:

3.2 Con tornillos de colimación:

En los gráficos se observa la convergencia de los valores (a, b, c, d) hacia los valores teóricos del binocular colimado a = IPD1’, b = 0, c = IPD2’, d = 0 (calculados también por la hoja de cálculo en la línea de color azul: COLLIMATED BINOCULAR con cifras en color rojo). Al cabo de un cierto número de iteraciones se alcanzan estos valores y el instrumento queda así colimado para cualquier distancia interpupilar. 

Un ejemplo de las imagenes proyectadas por unos los prismáticos colimados  con la bisagra completamente cerrada y completamente abierta puede verse a continuación.

3.3 Procedimiento

Es importante seguir un procedimiento rutinario para no cometer errores al rellenar la tabla de iteraciones con los datos utilizados en los sucesivos ajustes. El procedimiento consiste en preparar primero cada nueva línea de la tabla con los datos de entrada para una nueva iteración, y sólo una vez hecho esto, copiar esa línea de la tabla sobre la línea principal de entrada para que la hoja de cálculo haga su trabajo.

El procedimiento recomendado para realizar el ajuste de la colimación es el siguiente:

A)  Caso de prismáticos con arandelas excéntricas.

1. Escribir en la hoja Operation’ los datos iniciales para definir los prismáticos bajo prueba y el montaje utilizado.

2. Proyectar las imágenes de la lámpara en las dos posiciones extremas de la bisagra y medir las distancias (a, b, c, d).

3. Preparar la primera línea (Init) de la tabla de iteraciones con las 4 posiciones iniciales actuales de las arandelas excéntricas (mark11, mark12, mark21, mark22) y las 4 distancias (a, b, c, d) de las imagenes de la lámpara proyectadas por los prismáticos.

4. Copiar esta línea de la tabla sobre la línea principal de entrada de datos de la hoja y entonces la hoja calcula 4 nuevas posiciones de las arandelas excéntricas en la línea de salida.

5. Copiar estas 4 nuevas posiciones de las arandelas excéntricas (mark11, mark12, mark21, mark22) en la siguiente línea de la tabla de iteraciones (Iteration 1, etc.) COPIAR VALORES, NO FÓRMULAS NI FORMATOS.

6. Aplicar a los prismáticos estas nuevas posiciones de las arandelas excéntricas.

7. Proyectar de nuevo las imágenes en las dos posiciones extremas de la bisagra y medir las nuevas distancias (a, b, c, d).

8. Escribir estos 4 valores (a, b, c, d) en la misma línea (Iteration 1, etc.) de la tabla de iteraciones.

9. Repetir todo desde el paso 4 hasta alcanzar la colimación.

La colimación se alcanza cuando se cumple al menos una de las 2 siguientes condiciones:

• Los valores (mark11, mark12, mark21, mark22) no varían entre 2 sucesivos ajuste

• Los valores (a, b, c, d) alcanzan los valores teóricos correspondientes a unos prismáticos colimados

Si la hoja de cálculo no puede realizar un cálculo para alguno de los resultados  (mark11, mark12, mark21, mark22) y da el resultado #¡NUM!) o similar, el problema se debe al hecho de que algún error de colimación es demasiado grande para ser corregido por las arandelas excéntricas. En este caso la causa del problema es que uno de los prismas está desplazado de su asiento y la colimación no es posible sin reajustarlo previamente.

B)  Caso de prismáticos con tornillos de colimación.

(Nota: En este caso los movimientos de los tornillos calculados en cada iteración no tienen ningún efecto como datos de entrada para la siguiente iteración. Sin embargo conviene reflejarlos en la tabla de iteraciones para tener una visión de todo el proceso)

1. Escribir en la hoja Operation’ los datos iniciales para definir los prismáticos bajo prueba y el montaje utilizado.

2. Proyectar las imágenes de la lámpara en las dos posiciones extremas de la bisagra.

3. Preparar la primera línea (Init) de la tabla de iteraciones con 4 valores cualesquiera para los tornillos de colimación (screw11, screw12, screw22, screw21) y las 4 distancias (a, b, c, d) de las imagenes de la lámpara proyectadas por los prismáticos.

4. Copiar esta línea de la tabla sobre la línea principal de entrada de datos de la hoja y entonces la hoja calcula 4 incrementos para los tornillos de colimación en la línea de salida.

5. Copiar estos 4 valores para los tornillos de colimación (screw11, screw12, screw22, screw21) en la siguiente línea de la tabla de iteraciones (Iteration 1, etc.) COPIAR VALORES, NO FÓRMULAS NI FORMATOS.

6. Con la bisagra completamente cerrada mover los 4 tornillos de colimación en una cuantía proporcional a los 4 incrementos calculados por la hoja, y observar al mismo tiempo el movimiento de las imágenes sobre la pantalla. Se intenta que las imágenes queden situadas horizontalmente y separadas por una distancia aproximadamente igual a IPD1' (valores positivos = apretar tornillo, valores negativos = aflojar tornillo).

7. Proyectar de nuevo las imágenes de la lámpara en las dos posiciones extremas de la bisagra.

8. Medir las 4 nuevas distancias (a, b, c, d) de las imágenes proyectadas por los prismáticos y escribirlas en la misma línea (Iteration 1, etc.) de la tabla de iteraciones. 

9. -Repetir todo desde el paso 4 hasta alcanzar la colimación.

La colimación se alcanza cuando se cumple al menos una de las 2 siguientes condiciones:

• Los valores (screw11, screw12, screw22, screw21) son todos iguales a cero

• Los valores (a, b, c, d) alcanzan los valores teóricos correspondientes a unos prismáticos colimados

4. Pros y contras del método

 Pros

1. Equipamiento sencillo y de bajo coste.

2. Los prismáticos no necesitan ser inmovilizados para apuntar en una dirección específica.

3. Operación asistida por hoja de cálculo Excel con Tabla de Iteraciones y dos gráficos para registrar y documentar el proceso de colimación.

 Contras

1. Algunos datos iniciales son difíciles de medir (M, Fo, E y la posición de las marcas de referencia en la zona más ancha de cada arandela excéntrica).

2. El número de iteraciones para llegar a la colimación final depende de la precisión de los parámetros iniciales.

3. Dado que cada iteración implica la realización de varias operaciones, la tarea de colimación puede llevar algún tiempo.

5. Discusión

5.1 Causas de los errores de colimación

Para analizar los errores de colimación de unos prismáticos introducimos primeramente el concepto de eje de colimación.

El eje de colimación de cada telescopio es una línea recta paralela al eje de la bisagra que pasa por el centro del ocular. Los dos ejes de colimación (uno en cada telescopio) constituyen la única referencia para describir, analizar y corregir los errores de colimación del instrumento.

En general, los errores de colimación de cada telescopio pueden producirse por una de las dos siguientes causas o bien por las dos simultáneamente:

1.       La lente del objetivo está desplazada lateralmente y el eje de colimación no pasa por su centro. Esto ocasiona un desvío de los rayos respecto al eje de colimación.

2.       Los prismas están mal asentados y producen una cierta desviación de los rayos con respecto al eje de colimación.

La figura siguiente trata de representar ambos casos para un solo telescopio. Por simplicidad de las figuras, pero sin restringir su validez, el sistema de prismas se ha representado concentrado en un plano. En ambos casos, un rayo principal (en color azul) entra en el objetivo según la dirección del eje de colimación (en color rojo).  Debido al error de colimación del telescopio, el rayo emergente por el ocular sale inclinado con un ángulo (M*alfa) respecto al eje de colimación, donde M es el aumento del telescopio y (alfa) es el error angular producido dentro del tubo por las causas mencionadas.

En esta figura se cumple:

En el caso 1:

d = Fo * alfa

CL = S’ * (M*alfa) = M * (S’/Fo ) * d

Lo que quiere decir que el error de colimación sobre la pantalla es igual al desplazamiento de la lente del objetivo d multiplicada por el factor

K =  M * (S’/Fo)

En el caso 2:

CP = S’ * (M *alfa)

En este caso el error de colimación sobre la pantalla depende sólo del error angular (alfa) debido a los prismas. Este error puede referirse también al plano del objetivo si prolongamos los rayos desviados hacia atrás. El error de colimación p sobre el objetivo es, igual que en el caso anterior,

p = Fo * alfa

CP = S’ * (M*alfa) = M * (S’/Fo ) * p

Lo que quiere decir que en ambos casos el error de colimación sobre la pantalla es igual al error sobre el plano del objetivo multiplicado por un mismo factor K.

5.2 Errores de colimación sobre la pantalla

En la figura anterior los vectores o errores de colimación CL o CP están contenidos en el plano del dibujo. En realidad estos vectores pueden estar orientados en cualquier dirección dentro del plano de la pantalla. En la siguiente figura se han representado estos errores de un modo general sobre el plano de la pantalla por medio de las  imágenes que produciría un prismático colimado (puntos rojos separados por las distancias IPD1’, IPD2’) y el mismo descolimado (puntos amarillos). De hecho, los puntos amarillos serían las imágenes de la lámpara que observamos durante las pruebas. Véase la siguiente figura.

Las dos parejas de imágenes, inferior y superior, corresponden a las proyecciones con la bisagra de los prismáticos cerrada y abierta, respectivamente. El círculo grande representa la trayectoria de las imágenes debido al giro de la bisagra alrededor del eje mecánico (punto central). En la práctica este giro está limitado a un ángulo (beta) entre las dos posiciones de la bisagra.

Podemos definir los errores de colimación del instrumento sobre la pantalla mediante cuatro vectores C1(x1, y1), C2(x2, y2), C3(x3, y3), C4(x4, y4)  con origen en un punto rojo y extremo en un punto amarillo, como se muestra en la figura anterior.

Según puede verse en la figura, las distancias medidas sobre la pantalla (a, b, c, d) están relacionadas con estos vectores de la siguiente forma:

a = IPD1’ + (x2 – x1);  

b = (y2 – y1)

c = IPD2’ + (x4 – x3);  

d = (y4 – y3)

Obsérvese que, los vectores C3 y C4 dependen de los vectores C1 y C2, dado que difieren sólo en un giro según el ángulo (beta), que se supone conocido. Por lo tanto, las componentes (x3, y3, x4, y4) pueden expresarse matemáticamente en función de (x1, y1, x2, y2, beta), obteniéndose por ello que

(a, b, c, d) son funciones de (x1, y1, x2, y2, IPD1’, IPD2’, beta)

y recíprocamente

(x1, y1, x2, y2) son funciones de (a, b, c, d, IPD1’, IPD2’, beta)

Después de resolver estas ecuaciones, las fórmulas matemáticas que resultan son las siguientes:

x1 = (1/2) * ((d - b*cos(beta))/sen(beta) - (a - IPD1'))

y1 = (1/2) * ((IPD2' – c + (a - IPD1')*cos(beta))/sen(beta) - b )

x2 = (1/2) * ((d - b*cos(beta))/sen(beta) + (a - IPD1'))

y2 = (1/2) * ((IPD2' – c + (a - IPD1')*cos(beta))/sen(beta) + b )

donde IPD1', IPD2', beta son constantes.

Vemos entonces que a través de las medidas (a, b, c, d), de los valores IPD1’, IPD2’ y del ángulo (beta) podemos conocer de una forma exacta los errores de colimación de ambos telescopios sobre la pantalla C1(x1, y1), C2(x2, y2), cuando la bisagra de los prismáticos está completamente cerrada. 

Obsérvese también que si los errores de colimación en la posición cerrada de la bisagra son nulos, también lo son en cualquier otra posición de la misma, es decir, los valores (x1=0,  y1=0, x2=0, y2=0) con la bisagra cerrada implican que los prismáticos están colimados a cualquier distancia interpupilar. Esta es la estrategia empleada en el presente método. Por esta razón, el método tiene en cuenta implícitamente la orientación del eje de la bisagra.

5.3 Corrección de los errores de colimación sobre la pantalla

En general, debido a las tolerancias de fabricación, los prismáticos que salen de una cadena de montaje presentan los dos tipos de errores de colimación antes mencionados, pero los elementos de ajuste integrados en el instrumento - arandelas excéntricas o tornillos de ajuste - permiten actuar sobre uno de los dos errores para compensar el otro. Podemos decir que en unos prismáticos reales el ajuste de la colimación consiste en compensar en cada tubo un error de colimación existente fijo, con otro variable, que se regula con el sistema de ajuste. Así pues los telescopios de un binocular son, en general, sistemas ópticos descentrados pero compensados.

En la siguiente figura se representan las imágenes proyectadas E (puntos amarillos) por dos prismáticos, con la bisagra completamente cerrada, que tienen diferentes sistemas de colimación. Ambos prismáticos muestran idénticos errores de colimación CE.

El prismático de la parte superior tiene sistema de ajuste por arandelas excéntricas, mientras que el de la parte inferior tiene ajuste por tornillos. En ambos existen los mismos errores de colimación de los dos tipos mencionados, por desplazamiento de las lentes de objetivo y por imperfección en el asiento de los prismas, respectivamente. El error de colimación total CE sobre la pantalla es la combinación de ambos errores.

En cada objetivo se han de considerar los siguientes elementos:

• C = Punto de colimación. Es la intersección con el eje de colimación.

• Vector CL. Es el error de colimación debido sólo al desplazamiento de la lente del objetivo.

• Vector CP. Es el error de colimación debido sólo a imperfecciones de los prismas.

• Vector CE = (CL+CP)  (Suma vectorial de ambos vectores representada en color rojo). Es, de hecho, el error de colimación total de cada telescopio. Los puntos E marcados en color amarillo corresponden a las imágenes de la lámpara.

El ajuste de la colimación consiste en conseguir que el vector CE = (CL+CP) se anule, para lo cual en el primer caso movemos la lente con las arandelas excéntricas para que el punto L pase al punto L' según el vector LL’ marcado en color azul,  y en el segundo caso movemos los prismas con los tornillos para que el punto P pase al punto P' según el vector PP’ marcado en color verde. 

Estos vectores, LL’, o respectivamente PP’, deben ser de igual magnitud y dirección que el vector error de colimación total CE (marcado en rojo) pero con sentido contrario.

LL’ = - CE

PP' = - CE

Obsérvese que tras la colimación el error es nulo, pues en el primer caso los puntos  (P, C, L’) quedan alineados y equidistantes, es decir, el vector suma CE = (CP+CL’) = 0 y en el segundo caso sucede lo mismo con los puntos  (P’, C, L), que también quedan alineados y equidistantes, es decir, CE = (CP’+CL) = 0.

Ambos movimientos de ajuste LL’, o PP’ pueden calcularse matemáticamente basándose en los datos de entrada suministrados a la hoja de cálculo en cada iteración. El resultado de este cálculo son nuevas posiciones de las arandelas excéntricas, o incrementos de giro de los tornillos.

En el apartado 6. Formulas matemáticas pueden verse las fórmulas utilizadas en el caso de ajuste por arandelas excéntricas.

En el caso de colimación por tornillos los datos iniciales que serían necesarios para describir el mecanismo de ajuste son difíciles de medir y complicarían el método considerablemente. Por esto se ha implementado un procedimiento mixto de ajuste basado en un cálculo aproximado del movimiento de los tornillos y una corrección visual de las imágenes sobre la pantalla. En cada iteración o ajuste parcial la hoja de cálculo proporciona  unos valores aproximados (números enteros) para el movimiento necesario de los tornillos. Estos 4 números sirven de guía para que el usuario realice los ajustes mientras observa las imágenes sobre la pantalla. Los números representan incrementos de giro de los tornillos respecto a su posición anterior y pueden ser positivos (apretar el tornillo) o negativos (aflojar el tornillo). La cuantía o módulo de cada número da idea de la influencia que cada tornillo va a tener en la colimación.  En cada iteración se busca una mejora de la colimación. Mediante un control visual de las imágenes se intenta un alineamiento condicional del instrumento en la posición de bisagra cerrada, que no será definitivo. Esto es, se intenta conseguir que las dos imágenes queden alineadas horizontalmente y separadas aproximadamente por la distancia IPD1'. En cada sucesiva iteración se obtendrán números más pequeños, hasta que, después de un número de iteraciones se llegue al valor cero para cada tornillo, lo que significa que el instrumento no precisa ya ajustes con los tornillos y estará colimado.

5.4 Arandelas excéntricas

La función de las arandelas excéntricas es desplazar ligeramente la lente del objetivo dentro de su montaje en cualquier dirección transversal. Cada lente está montada dentro de dos arandelas excéntricas que pueden girar de forma independiente. Combinando las posiciones angulares de estas arandelas es posible colocar el centro de la lente L en cualquier posición dentro de un pequeño círculo de radio E, que llamamos zona de colimación. E es la excentricidad de cada arandela excéntrica, definida como la diferencia entre su espesor máximo y mínimo. Véase la siguiente figura.

Los desplazamientos de la lente tienen como punto de referencia el centro del tubo T. Cada arandela excéntrica contribuye con un desplazamiento de E/2 en su dirección. La suma vectorial de los dos vectores de desplazamiento de las excéntricas determina el desplazamiento final del centro de la lente. En este ejemplo las dos excéntricas se encuentran en cuadratura y el centro de la lente está en un punto de coordenadas (E/2, E/2). Si las excéntricas están alineadas, el centro de la lente cae sobre el borde de la zona de colimación a una distancia E del centro del tubo T. Si están en oposición el centro de la lente coincide con el centro del tubo.

La conversión de las posiciones angulares de las arandelas excéntricos en posiciones lineales del centro del objetivo no es intuitiva. Es conveniente imaginar las arandelas excéntricas como dos vectores ecc1 y ecc2 que van desde el punto más ancho al más estrecho de la excéntrica. La posición central de la lente está definida por la orientación de estos dos vectores.

El siguiente diagrama ayuda a localizar el centro del objetivo. Cada anillo excéntrico está asociado a un círculo de color de acuerdo a su dirección. La intersección de dos círculos da la posición del centro de la lente dentro de la zona de colimación.

Matemáticamente, las fórmulas que da la desviación de la lente del objetivo r respecto al centro del tubo, en función de la posición angular de las arandelas excéntricas en coordenadas polares es:

r = E * cos((ecc2–ecc1)/2)

theta = (ecc2+ecc1)/2

donde E es la excentricidad de las arandelas, y ecc1 y ecc2 son los ángulos de los vectores asociados a estas según el diagrama anterior.

El desplazamiento de la imagen de la lámpara sobre la pantalla es proporcional al de la lente del objetivo multiplicado por el factor escalar K = M*(S’/Fo):

CL = M * (S’/Fo) * r = M * (S’/Fo) * E * cos((ecc2–ecc1)/2)

theta = (ecc2+ecc1)/2      (el ángulo se conserva en la pantalla)

Por ejemplo, con las excéntricas en cuadratura el desplazamiento de la imagen sobre la pantalla, con M=8, S’=500mm, Fo=130mm, E=0,8mm, ecc1=0º, ecc2=90º, sería:

CL = 17mm

theta = 45º

Si las excéntricas están alineadas con la misma dirección, el desplazamiento sería máximo en esa dirección, con un valor de

CL = 24mm

Por lo tanto, en el caso general, para cualquier valor de las posiciones angulares de las excéntricas, la imagen de la lámpara estaría comprendida dentro de un círculo sobre la pantalla de radio 24mm.

Durante las pruebas es importante mantener la asignación de las variables mark11, mark12 (y respectivamente, mark21, mark22) a la arandelas exterior e interior de cada. Es decir, si bien los valores de mark11 y mark12 son teóricamente intercambiables, en la práctica no lo son debido a posibles errores de posición de las marcas de referencia, y su asignación no debe cambiarse entre dos ajustes. Por ejemplo, mark11 debe estar permanentemente asignado a la arandela exterior y mark12 a la interior.

5.5 Tornillos de colimación

Muchos prismáticos con prismas de Porro tienen como elementos de ajuste de la colimación 4 tornillos (dos en cada tubo) que atraviesan la carcasa junto a la pared lateral de los prismas y actúan sobre ellos modificando su inclinación. Cada tornillo toca y se apoya sobre la pared lateral de un prisma en un punto próximo a su vértice, y su función es variar la inclinación del prisma empujándolo lateralmente o cediendo a la presión de un fleje. La siguiente figura trata de ilustrar este mecanismo.

Un incremento del ángulo de inclinación del prisma produce un incremento doble de la desviación del eje óptico. En esto el prisma de Porro se comporta como un espejo, donde, para un mismo rayo incidente,  un pequeño cambio en la orientación del espejo produce un cambio angular doble en el rayo reflejado. De esta manera, un pequeño movimiento de cada tornillo produce una desviación del eje óptico dentro de su tubo, y esta desviación es trasladada a la pantalla pero multiplicada por el aumento de los prismáticos. Un cálculo sencillo según la figura permite escribir:

CP = M * (2*sigma) * S’ =  (2*M*S`/H) * d

 Por ejemplo, si M=8, S’=500mm, H=15mm, la relación CP/d sería

CP/d  = 533

Lo que significa que un pequeño movimiento de avance o retroceso del tornillo produce un desplazamiento de la imagen sobre la pantalla 533 veces mayor. Si suponemos que cada tornillo avanza 1mm cada 4 vueltas, temdríamos para cada vuelta del tornillo un desplazamiento de 533/4 = 133mm en este ejemplo. Es decir, pequeños giros de los tornillos producen grandes desplazamientos de la imagen. 

En cada tubo de los prismáticos hay dos prismas de porro en cuadratura, y por lo tanto con dos tornillos se puede orientar el eje óptico de cada tubo en cualquier dirección intermedia con un control visual muy preciso.  Para el cálculo del movimiento de los tornillos es preciso hacer un cambio de las coordenadas (x1, y1), (x2, y2), que definen los errores de colimación de los prismáticos según los ejes horizontal y vertical con la bisagra cerrada, por otro sistema de coordenadas según los ejes de los tornillos. Si ambos sistemas difieren en un ángulo (Fi) los errores a lo largo de los ejes de los tornillos tendrán otras componenentes (x1', y1'), (x2', y2') que pueden calcularse incluyendo el parámetro (Fi) que es constante.  Véase figura.

En el apartado 6. Formulas Matemáticas pueden verse las fórmulas de paso de un sistema de cordenadas al otro,

5.6 Hoja de cálculo Excel

Los cálculos están implementados en dos archivos Microsoft Office Excel independientes que acompañan a este artículo, uno sirve como modelo para colimar prismáticos con arandelas excéntricas y otro para prismáticos con tornillos de colimación. Pueden descargarse de la página en la forma usual. Cada archivo contiene tres hojas de cálculo llamadas 'Operation', 'Instructions' y 'Calculations'. El usuario trabaja sólamente con la hoja 'Operation'. La hoja 'Calculations' contiene todas las fórmulas matemáticas necesarias y puede ser ignorada por el usuario. El archivo descargado contiene datos de un binocular particular a modo de ejemplo. Para trabajar con otro binocular basta con sobreescribir la hoja 'Operation' con los datos de éste y salvar el archivo con otro nombre.

5.7 Datos iniciales

Para el cálculo la hoja de cálculo necesita los siguientes datos iniciales, que permanecen fijos durante las pruebas:

• IPD1 = Distancia interpupilar de los oculares con la bisagra COMPLETAMENTE CERRADA

• IPD2 = Distancia interpupilar de los oculares con la bisagra COMPLETAMENTE ABIERTA

• IPDmax = Distancia máxima interpupilar de los oculares (ambos oculares y la bisagra están alineados). Se utiliza para calcular el radio de rotación de los oculares alrededor de la bisagra. IPDmax = 2 * radio.

• IOD1 = Distancia entre los objetivos con la bisagra COMPLETAMENTE CERRADA

• IOD2 = Distancia entre los objetivos con la bisagra COMPLETAMENTE ABIERTA

• M = factor de aumento del binocular

• Fo = Longitud focal de los objetivos

• E (caso de arandelas excéntricas) = Excentricidad de cada arandela excéntrica (= espesor máximo - espesor mínimo)

• Fi (caso de tornillos de colimación) = Ángulo que forma el sistema de coordenadas (x, y) definido con la bisagra totalmente cerrada (x = horizontal, y = vertical) y un sistema de coordenadas con ejes a lo largo de las direcciones de los tornillos.

• S = Distancia entre la lámpara y el plano de los objetivos

• S' = Distancia entre pupilas de salida y la pantalla

Una buena precisión de los resultados se basa en una medida correcta de los parámetros que modelan el binocular. Para las medidas, de IPD1, IPD2,  IPDmax, IOD1 e IOD2 puede usarse un calibre o una simple regla. Para las distancias S y S' se usa una cinta métrica o un medidor de distancias con tecnología láser.

La medida del parámetro IPDmax sirve para que la hoja  calcule el ángulo (beta) que hay entre las posiciones abierta y cerrada de la bisagra. Utilizando los valores de IPD1 e IPD2, y conocido el radio de giro IPDmax/2 de los oculares alrededor del eje  de la bisagra se puede calcular dicho ángulo (beta). Esto supone que la bisagra puede abrirse por encima del eje de giro. sin embargo, en algunos prismáticos, esto no sucede y en este caso no es posible alinear los oculares con el eje, y por lo tanto, no es posible medir IPDmax. En este caso es necesario medir el radio de giro lo más exactamente posible y utilizar un valor IPDmax igual a 2 veces el radio de giro medido. En este caso también es necesario escribir la opción 'B' en la celda que se encuentra a la derecha de la celda IPD2, la cual indica a la hoja que los oculares quedan por debajo del eje de la bisagra. Véase la fórmula para calcular el ángulo de rotación beta en el apartado 6. Fórmulas matemáticas.

En particular, los parámetros más difíciles de determinar son: la distancia focal de los objetivos Fo y  la excentricidad de las arandelas E. La mejor manera de medir estos valores requiere desmontar un objetivo y efectuar las medidas sobre él mediante una regla y un calibre. Con la regla medimos la distancia a la que se enfoca un objeto lejano, y con el calibre medimos las anchuras máxima y mínima de cada excéntrica y restamos estos valores. Si no se desea desmontar un objetivo pueden usarse valores estimados con arreglo a la siguiente pauta, pero sin una garantía de los resultados:

• Modelos 6x30 y 8x30:   Fo = 130 mm, E = 0,8 mm

• Modelos 7x50 y 10x50: Fo = 200 mm, E = 2,0 mm

Para el ángulo Fi que forman entre sí el sistemas de coordenadas (x, y) con la bisagra cerrada, y el definido por las direcciones de los tornillos de colimación (x’, y’), puede tomarse el valor de 7,5MIN equivalente a 45º, que es el ángulo más frecuentemente encontrado en los diferentes modelos de prismáticos tipo porro.

5.8 Precisión del método

Las normas existentes para el alineamiento de prismáticos (ángulos de desviación máxima permisible entre los dos ejes ópticos) son diversas y un tanto confusas. Los ángulos de desalineamiento se refieren generalmente al espacio comprendido entre el objeto y el binocular. Sin embargo, dado que percibimos los errores de colimación en la imagen que producen los oculares, los ángulos quedan multiplicados por el factor de aumento. Por esta razón es necesario especificar si los errores angulares tienen en cuenta  el aumento del instrumento. Por ejemplo, un desalineamiento vertical de los rayos de entrada de 3 minutos de arco en un binocular 7x es un buen valor, pero en un binocular 25x es inaceptable.

Por lo tanto, tiene sentido  especificar los ángulos de desalineamiento en el espacio imagen en lugar de en el espacio objeto, ya que son independientes del aumento. Entonces, los errores angulares en el espacio objeto puede calcularse dividiendo los valores dados por el aumento.

En diversas fuentes pueden encontrarse normas de alineamiento para los prismáticos. A continuación se reproducen algunas con los valores referidos al espacio imagen. Los valores referidos al espacio objeto pueden calcularse dividiendo aquellos por el aumento en cada caso en particular.

Es interesante traducir estos valores angulares a desviaciones lineales de las imágenes de la lámpara sobre una pantalla situada a una distancia de los prismáticos normal y cómoda para realizar las pruebas, por ejemplo, S' = 500 mm.

La fórmula a aplicar es la siguiente:

CE = S' * (M*alfa)                       con (M*alfa) en radianes

CE = S * (M*alfa) * (pi/180)/60 = S' * (M*alfa) / 3438       con (M*alfa) en minutos de arco

Donde CE es el error de colimación en la pantalla, (alfa) es el ángulo de desviación en el espacio objeto, M es el factor de aumento, (M*alfa) es el ángulo de desviación en el espacio imagen y S' es la distancia entre oculares y la pantalla,

De acuerdo con esta fórmula las desviaciones lineales permitidas entre las dos imágenes sobre la pantalla según las normas son:

Todos estos valores son discernibles y mensurables sobre la pantalla y es razonable suponer que, si las imágenes de la lámpara son lo suficientemente nítidas sobre la pantalla, incluso errores lineales tan pequeños como 1,5 mm = 1/16 pulgadas son aún perceptibles. En casos críticos la precisión se puede aumentar aumentando la distancia a la pantalla S'.

Por lo tanto podemos concluir que el método es capaz de detectar fácilmente errores de colimación que están dentro de las tolerancias especificadas en las normas de colimación.

6. Fórmulas matemáticas

 Las siguientes funciones son las fórmulas reales utilizados en la hoja de cálculo Excel. También se pueden implementar en cualquier programa de ordenador.

Cálculo de IPD' sobre la pantalla debido a la divergencia del montaje

IPD' = IPD + IOD * M * (S' / S)

Factor de aumento de los errores de colimación sobre la pantalla

K = M * (S’ / Fo)

Calculo del ángulo de rotación (beta) entre las posiciones de bisagra cerrada y abierta

beta = arccos(IPD1/IPDmax) +- arccos(IPD2/IPDmax)

(si con IPD2 los oculares quedan por encima del eje de la bisagra, tómese '+', en caso contrario tómese '-')

Fórmulas de conversión (mark11, mark12, mark21, mark22) -> TL(x1, y1), TL(x2, y2)

ecc11 = mark11 + 30

ecc12 = mark12 + 30

ecc21 = mark21 + 30

ecc22 = mark22 + 30

en coordenadas polares:

r1 = E*cos((ecc12-ecc11)/2)

alfa1 = (ecc11+ecc12)/2

r2 = E*cos((ecc22-ecc21)/2)

alfa2 = (ecc21+ecc22)/2

y en coordenadas cartesianas:

x1 = r1*sen(alfa1)

y1 = r1*cos(alfa1)

x2 = r2*sen(alfa2)

y2 = r2*cos(alfa2)

Fórmulas de conversión  TL(x1, y1), TL(x2, y2)  a (mark11, mark12, mark21, mark22)

Angulo entre excéntricas:

(delta)1 = 2*acos(r1/E)

(delta)2 = 2*acos(r2/(E)

Ángulos de orientación de las excéntricas:

ecc11 = alfa1 – (delta1)/2

ecc12 = alfa1+ (delta1)/2

ecc21 = alfa2 – (delta2)/2

ecc22 = alfa2 + (delta2)/2

Posición de las marcas de referencia:

mark11 = ecc11 + 30

mark12 = ecc12 + 30

mark21 = ecc21 + 30

mark22 = ecc22 + 30

Fórmulas de conversión  (a, b, c, d)  a CE(x1, y1), CE(x2, y2)

x1 = (1/2*K)*((d-b*cos(beta))/sen(beta) - (a-IPD1'))

y1 = (1/2*K)*((IPD2'-c+(a-IPD1')*cos(beta))/sen(beta) - b )

x2 = (1/2*K)*((d-b*cos(beta))/sen(beta) + (a-IPD1'))

y2 = (1/2*K)*((IPD2'-c+(a-IPD1')*cos(beta))/sen(beta) + b )

Fórmulas de conversión de errores según ejes (x, y) horizontal y vertical a ejes (x', y') según dirección de los tornillos 

r1 = raiz(x1*x1 + y1*y1)

alfa1 = r1* arctan(x1/y1)

r2 = raiz(x2*x2 + y2*y2)

alfa2 = r2* arctan(x2/y2)

r1' = r1

alfa1' = alfa1 + Fi

r2' = r2

alfa2' = alfa2 - Fi

x1' = r1' * cos(alfa1')

y1' = r1' * sen(alfa1')

x2' = r2' * sen(alfa2')

y2' = r2' * cos(alfa2')

7. Conclusiones

• El método permite la colimación de prismáticos equipados con arandelas excéntricas alrededor de sus objetivos o con tornillos de colimación.

•  Tras la colimación obtenida los dos ejes ópticos quedan paralelos al eje mecánico de la bisagra.

• La precisión del método está dentro de las normas internacionales de alineamiento de prismáticos.

• El montaje de prueba es muy simple: una pequeña lámpara, un soporte sencillo para binoculares y una pantalla para proyectar imágenes de la lámpara desde los oculares.

•  En el caso de prismáticos con arandelas excéntricas, una hoja de cálculo Excel calcula nuevas posiciones de las arandelas excéntricas a partir de las posiciones de las imágenes de la lámpara proyectadas sobre la pantalla y de las posiciones actuales de las arandelas excéntricas. En el caso de prismáticos con tornillos de colimación la hoja de cálculo calcula incrementos (positivos o negativos) del giro de los tornillos a partir de las posiciones de las imágenes de la lámpara.

•  Una iteración de ajustes conduce a la colimación final de los prismáticos.

8. Reconocimientos

• Mi agradecimiento a la 'Binocular History Society' (BHS), que dirigen el Dr. Jürgen Laucher y Jack Kelly por haberme dado la oportunidad de presentar el método ante los participantes de la reunión del BHS celebrada en la sede de Leica Camera (Wetzlar) en octubre de 2015.

• A Peter Abrahams, miembro de la Binocular History Society, que proporcionó referencias a normas de colimación binoculares en diferentes ediciones de sus listas de correo electrónico sobre prismáticos (ver "Binocular List # 9:. 02/03/98 Collimation" y "Binocular List # 246: 25 febrero de 2003").

• Un agradecimiento especial a Ray Larsen de la sociedad astronómica Orwell Ipswich (OASI) Inglaterra, por sus comentarios inspiradores y fructíferos sobre el tema de la colimación y por suministrar el "Diagrama de conversión de arandelas excéntricas" utilizado en este artículo.

• También agradezco a los participantes del foro Cloudy Nights por sus comentarios en el hilo donde presenté el método, especialmente a Glenn LeDrew por sus comentarios sobre la precisión del método.

9. Referencias

• Holger Merlitz - “Handferngläser Funktion, Leistung, Auswahl” - VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL, Haan-Gruiten.

• http://www.oasi.org.uk/Events/AW/20150311_Bin_alignment.pdf

(Fin del artículo)