ノート

動画へのリンクと動画用ノートです。

・位相空間シリーズ

多様体入門のための下準備として位相空間論の基礎事項についての解説動画です。

距離空間と位相空間その１距離空間 https://youtu.be/6zZVZeSRhKU pdf

距離空間と位相空間その２位相空間 https://youtu.be/ul60goBuWfM pdf

距離空間と位相空間その３コンパクト性 https://youtu.be/Hxe-O6gcIBg pdf

距離空間と位相空間その４積位相 https://youtu.be/YZ8L-M1-I6c pdf

距離空間と位相空間まとめ pdf

距離空間の間の全単射連続写像で同相でないもの https://youtu.be/96eSbJhb7VU pdf

グラフが連結だが連続ではないような関数 https://youtu.be/qUAHNhcV34I pdf

・ホッジの定理

多様体論の重要な基礎事項であるホッジの定理についての解説動画です。閉リーマン多様体において調和形式のなす空間とドラームコホモロジー群が同型になるというものです。

ホッジの定理関数解析編 https://youtu.be/-bvx8oZCX9s (ノートは概説の方に含まれています)

・多様体入門～ベクトル束と接続～

多様体という高次元の曲がった空間における微積分、特にベクトル解析的なことをするための言葉について解説していきます。

多様体入門～ベクトル束と接続～その０ https://youtu.be/WOzUPeCcYzE pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その１多様体の定義とその周辺 https://youtu.be/DCXQ3_p9eGI pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その２接ベクトル束 https://youtu.be/Wo4Y9Hc5zY8 pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その３接ベクトル束の接続 https://youtu.be/j-DUmUZlC9A pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その４リーマン計量とレビチビタ接続 https://youtu.be/ZQlAs5R7vEU pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その５部分多様体とレビチビタ接続 https://youtu.be/483gM3uBApk pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その６接続とその曲率 https://youtu.be/u7lpJGIkGv0 pdf

多様体入門～ベクトル束と接続～その7 リーマン多様体における曲率 https://youtu.be/c9KfSlg1d4Y pdf

・その他

アインシュタイン多様体とスカラー曲率 https://youtu.be/y2VPlmVek0g pdf

3次元以上のリーマン多様体でリッチ曲率のトレースレス部分が0であればスカラー曲率は一定となりますが、リッチ曲率が0以上の閉リーマン多様体で、リッチ曲率のトレースレス部分がL^2で0に近ければスカラー曲率はL^2の意味でほぼ定数になる、というDe LellisとToppingの結果の紹介動画です。

n形式のラプラシアンの固有値と向き https://youtu.be/m7p5G9TvRYE pdf

向き付け可能性というトポロジカルな条件をコンパクトリーマン多様体においてラプラシアンの固有値を通して定量的に観察します。

以前の動画 ”n形式のラプラシアンの固有値と向き” において述べたことを、より基礎的なところや幾何学的なイメージについて解説します。

リーマン多様体における微分方程式とAlmost Rigidity https://youtu.be/3mza0D_0_d8 pdf

微分方程式f''+f=0の話から始め、リーマン多様体における微分方程式とリーマン多様体の形の関係について述べます。また、微分方程式が "ほぼ" 解を持つときのリーマン多様体の形(Almost Rigidity)についても解説します。

歪んだトーラスにおけるラプラシアン https://youtu.be/W_6V8ZAiMqs pdf

ねじれ積と呼ばれる、歪んだトーラスにおけるラプラシアンの固有値について考察し、具体例についてラプラシアンの固有値の評価をします。これらの評価はフーリエ級数展開を通してフーリエ係数のなす数列に関するある種の不等式と対応しており、その不等式がどのようにして現れるかの解説を行います。

・リーマン幾何

いくつかのビショップ・グロモフの比較定理の証明　pdf