Eliminación de Gauss-Jordan

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

• • Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

  • Intercambiar de posición dos ecuaciones

  • Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: , es decir, que no tiene solución.

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Definición de determinante.

Definición de determinante de 2 x 2: Dada , se define el determinante de A como

 o por

por lo tanto

Ejemplos:

Definición de determinante de 3 x 3: Sea , entonces:

Ejemplo:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

Antes de definir el determinante de la matriz de n x n obsérvse que

 es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y primera columna de A;

 es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y segunda columna de A;

 es la matriz obtenida al eliminar el primer renglón y tercera columna de A.

Si a estas matrices se les denota asi:

Y si :

Entonces la ecuación  puede escribirse así:

Ejemplo:

 de la matriz A de n x n a la matriz  de  que se obtiene al eliminar el renglón I y la columna j .

Ejemplo:

Dada la matriz , entonces:

 de la matriz A de n x n y se le denota por  a:

Definición de determinante de n x n: Sea una matriz A de n x n, entonces el determinante de A, está dado por:

Ejemplo 1:

Dado el determinante

a)     Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo de la tercera columna.

b)     Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo del tercer renglón.

Solución:

a)

b)

Ejemplo 2:

Encuentra el valor del siguiente determinante

Solución:

Si se examinan los renglones y las columnas de este determinante se verá que la segunda columna tiene más ceros, será por lo tanto conveniente desarrollar por cofactores de dicha columna:

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: