Matematički dokazi

Pri rješavanju zadataka u matematici, često se koriste već gotove formule. Iako nam se možda čini da je to nešto sasvim normalno, zastanimo malo i razmislimo odakle nam one uopće. Iako nam neka formula možda izgleda jednostavno, postupak njezinog izvođenja zahtijeva vrlo dobro baratanje matematičkim pojmovima, te veliku koncentraciju.

Tokom školovanja se uče osnovni pojmovi i operacije koje nam mogu poslužiti za rješavanje zadataka iz matematike, no isto tako te iste pojmove i operacije možemo primijeniti za izvođenje ili dokazivanje nekih formula (npr. sjetimo se kako se u osnovnoj školi dokazuje Pitagorin poučak

,nacrta se pravokutan trokut, nacrtaju se kvadrati nad njegovim stranicama, te se promatra površina tih kvadrata). U srednjoj školi matematičke formule su složenije, te su njihovi dokazi isto nešto složeniji. Ovdje ćemo izvesti formulu za uvjet dodira pravca i kružnice,

Prije nego krenemo s dokazivanjem, razmislimo kako bi kvadrirali trinom (izraz s tri člana). U prvom razredu srednje škole se uči kvadriranje binoma (tj. kvadrat zbroja i kvadrat razlike) i ta ista pravila se analogno koriste i za dobivanje formule za kvadriranje trinoma, npr.:

Krenimo sad s izvođenjem formule za uvjet dodira pravca y=kx+l i kružnice . Kako je pravac zapravo tangenta na zadanu kružnicu, on s njom ima zajedničku točno jednu točku. Neka je to točka D. Koordinate točke D neznamo, no znamo da će one zadovoljavati i jednadžbu pravca i jednadžbu kružnice, pa neka su koordinate točke D upravo x i y. Dakle D(x,y) je točka dirališta.

Pretpostavimo da nam je zadan pravac koji je tangenta i kružnica (dakle zadani su nam k, l, p, q, r), te želimo naći koordinate točke D. Kako koordinate dirališta zadovoljavaju obje jednadžbe ( i jednadžbu pravca i jednadžbu kružnice), potrebno je riješiti sustav jednadžbi

Ako bi imali zadane brojeve k, l, p, q i r, rješenja ovoga sustava bi bile koordinate točke D (uz polaznu pretpostavku da je zadani pravac tangenta). Kako ovdje nemamo zadane te brojeve, na kraju ćemo dobiti uvjet koji moraju zadovoljavati k, l, p, q, r, x i y da bi pravac bio tangenta na kružnicu.

I to je izvod formule za uvjet dodira pravca i kružnice.