Abstract. We consider collective decisions under uncertainty, when agents have "generalized Hurwicz" preferences, a broad class allowing many different ambiguity attitudes, including subjective expected utility preferences. We consider sequences of acts that are “almost-objectively uncertain” in the sense that asymptotically, all agents almost-agree about the probabilities of the underlying events. We introduce a Pareto axiom which applies only to asymptotic preferences along such almost-objective sequences. This axiom implies that the social welfare function is utilitarian, but it does not impose any constraint on collective beliefs. On the other hand, a Pareto axiom for “dichotomous” acts implies that collective beliefs are contained in the closed convex hull of individual beliefs, but imposes no constraints on the social welfare function. Neither axiom entails any link between individual and collective ambiguity attitudes. 

Let X be a connected metric space, and let > be a weak order defined on a suitable subset of XN. We characterize when > has a Cesàro average utility representation. This means that there is a continuous real-valued function u on X such that, for all sequences x = (xn)∞n=1 and y = (yn)∞n=1 in the domain of >, we have x > y if and only if the limit as N → ∞ of the average value of u(x1), u(x2),….,u(xN) is higher than limit as N → ∞ of the average value of u(y1), u(y2),….,u(yN).  This has applications to decision theory, game theory, and intergenerational social choice.

Abstract. How should we aggregate the ex ante preferences of Bayesian agents with heterogeneous beliefs? Suppose the state of the world is described by a random process that unfolds over time. Different agents have different beliefs about the probabilistic laws governing this process. As new information is revealed over time by the process, agents update their beliefs and preferences via Bayes rule. Consider a Pareto principle that applies only to preferences which remain stable in the long run under these updates. I show that this “eventual Pareto” principle implies that the social planner must be a utilitarian. But it does not impose any relationship between the beliefs of the individuals and those of the planner, except for a weak compatibility condition.

(See also the Presentation slides and Recording of presentation in the COMSOC video seminar, 10 September 2020.)

Abstract. Consider a system of logically interconnected issues. A judgement aggregation problem is a collection of logically consistent views concerning these issues (representing the opinions of a set of voters). A judgement aggregation rule is a function that takes any judgement aggregation problem as input, and produces a logically consistent view (or a small set of views) as output (representing the “collective view”).

In The Condorcet set: Majority voting over interconnected propositions, the philosophical motivation behind the Condorcet set was to solve judgement aggregation problems in a manner that was “as majoritarian as possible” while remaining logically consistent. This paper refines this philosophy with the notion of Supermajority Efficiency. Roughly speaking, a view is supermajority efficient if it agrees with a majority of voters in a maximal set of issues, and furthermore, when tradeoffs must be made between majorities on different issues, it prioritises larger supermajorities over smaller supermajorities. The set of supermajority efficient views is thus a subset of the Condorcet set.

By itself, Supermajority Efficiency does not always select a single view. We consider judgement aggregation rules that also satisfy a second criterion, Combination. This means that if the rule is applied to simultaneously solve a composition of two or more judgement aggregation problems (for example: a preference aggregation problem combined with a committee selection problem), then it produces the same output as we would have obtained if we had applied the rule separately to each problem. We show that a judgement aggregation rule satisfies Supermajority Efficiency and Combination (and a standard continuity condition) if and only if it is an additive majority rule. Roughly speaking, additive majority rules work by assigning to each logically consistent view a “score” for each issue (proportional to the number of voters who agree with that view on that issue), and then selecting the view(s) that have the largest total score. (The simplest example is the median rule, which simply adds up the total popular support for a view across all issues, and then picks the view(s) with the largest total support.) Thus, this paper provides the first axiomatic characterisation of the class of additive majority rules for judgement aggregation.

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Résumé.  Considérons un système de questions logiquement reliées. Un problème d’agrégation logique est un ensemble d’avis logiquement cohérents concernant ces questions (par ex. les avis d’un ensemble de votants). Une règle d’agrégation logique est une fonction qui considère comme donné un problème d’agrégation logique quelconque, et qui produit un avis logiquement cohérent (« l’avis collectif »).

Dans The Condorcet set: Majority voting over interconnected propositions, la motivation philosophique de l’ensemble de Condorcet était de résoudre un problème d’agrégation logique de la façon « la plus majoritaire que possible » qui soit logiquement cohérente. Cet article approfondit cette philosophie avec l’idée de l’efficacité supermajoritaire (ESM). Intuitivement, un avis est ESM s’il s’accorde avec une majorité des votants sur un ensemble maximal de questions et si, de surcroît, quand un compromis est nécessaire entre des majorités sur des questions différentes, il donne priorité à la plus grande supermajorité. L’ensemble des avis ESM est donc contenu dans l’ensemble de Condorcet.

En général, l’ESM ne sélectionne pas toujours un seul avis. Nous considérons les règles d’agrégation logique qui satisfont aussi un deuxième critère, la Combinaison. Ceci veut dire que si l’on appliquait la règle simultanément à la composition de plusieurs problèmes d’agrégation logique (par ex. un problème d’agrégation de préférences combiné avec un problème de sélection d’un comité), on obtiendrait le même avis que celui que l’on aurait obtenu si on avait appliqué la règle séparément à chacun des problèmes. L’article montre qu’une règle d’agrégation logique peut satisfaire l’ESM et la condition de Combinaison (et une condition de continuité) si et seulement si c’est une règle majoritaire additive. Une telle règle assigne un « score » (proportionnel à la taille du soutien majoritaire sur cette question) à chaque avis pour chaque question, et choisit l’avis cohérent avec le score total maximal. (L’exemple le plus simple est la règle de la médiane, qui choisit l’avis qui maximise la somme totale du soutien des votants à travers toutes les questions.) Cet article donne la première caractérisation axiomatique des règles majoritaires additives dans le cadre de l’agrégation logique.

Abstract. Group decisions often confront uncertainty; we cannot totally predict the outcome of the policy we choose. One way to represent such uncertainty is to suppose that there is a set S of possible states of nature; the true state is unknown at present. Each policy can then be represented as a function assigning an outcome to each element of S. Depending on what state of nature is realized, the policy will have different outcomes.

Group decisions also confront preference heterogeneity: different people value different things, and different people will gain or lose different amounts from different social outcomes. To represent this, let I denote the set of individuals in society; each social outcome can be represented as a function assigning a numerical payoff (say, a consumption level) to each element of I. If we combine this with the representation of uncertainty in the previous paragraph, then we can represent each policy alternative by a function which assigns a real number to each pair (s,i) where s is any possible state of nature, and i is any individual. If both S and I are finite, then we can represent the policy alternative with an S x I matrix of real numbers. Collective preferences over policies are then preferences over these matrices. In this paper, we suppose that these collective preferences satisfy four axioms:

Ex ante Pareto: If every individual prefers policy X to policy Y, then society should also prefer X to Y.

Statewise Dominance: If policy X yields a better social outcome than Y in every state of nature, then society should prefer X to Y.

Monotonicity: If X yields at least as high a payoff as Y to every individual in every state of nature, then society should prefer X to Y.

Continuity: If society strictly prefers policy X to policy Y, and Z is very close to X, then society should also prefer Z to Y.

We show that collective preferences satisfy these axioms if and only if:

(a) Every individual has a utility function over payoffs, along with some probabilistic beliefs over S, and her preferences over policies are determined by maximizing the expected value of her utility function with respect to these beliefs.

(b) Society has a social welfare function (SWF) over social outcomes (a “collective utility function”), and probabilistic beliefs over S. Social preferences over policies are determined by maximizing the expected value of the social welfare function with respect to these beliefs.

(c) The SWF is a weighted average of the individual utility functions.

(d) All individuals and society have exactly the same probabilistic beliefs.

Conclusions (a) and (b) say that both individuals and society are expected utility maximizers. Conclusion (c) says that society is utilitarian. This is analogous to Harsanyi’s Social Aggregation Theorem. Conclusion (d) is quite surprising, because it rules out heterogeneous beliefs; this can be interpreted as a sort of impossibility theorem, extending a result of Mongin (1995).

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Résumé. Les décisions collectives font face souvent à l’incertitude; on ne peut pas prédire précisément le résultat de la politique choisie. Une façon de représenter cette incertitude est de supposer qu’il y a un espace S d’états possibles du monde et que le vrai état n’est pas connu. Chaque politique peut être représentée comme une application qui assigne un résultat à chaque élément de S. La politique choisie produira des résultats différents en fonction de l’état du monde finalement réalisé.

Les décisions collectives font aussi face à l’hétérogénéité des préférences : les individus différents ont différentes perspectives, et les individus différents gagneront ou perdront différemment en fonction des résultats sociaux. Pour représenter ce phénomène, dénotons l’ensembles des individus par I; chaque résultat social peut être représenté comme une application qui assigne un gain numérique (par ex. un niveau de consommation) à chaque élément de I. Si on combine cette représentation avec la représentation de l’incertitude dans le paragraphe précédent, on peut représenter chaque politique comme une application qui assigne, pour chaque état s et chaque individu i, un nombre réel à la paire (s,i). Si S et I sont finis, on peut représenter la politique par une matrice S x I de nombres réels. Les préférences collectives concernant les politiques sont alors des préférences sur ces matrices. Dans cet article, nous supposons que ces préférences collectives satisfont quatre axiomes :

Pareto ex ante : Si chaque individu préfère la politique X à la politique Y, alors la société aussi doit préférer X à Y.

Dominance : Si la politique X donne un résultat social meilleur que Y dans chaque état du monde, alors la société doit préférer X à Y.

Monotonicité : Si X donne à chaque individu un résultat meilleur que Y dans chaque état du monde, alors la société doit préférer X à Y.

Continuité : Si la société préfère X strictement à Y, et si Z est proche de X, alors la société doit aussi préférer Z à Y.
 

Nous montrons que les préférences collectives satisfont ces axiomes si et seulement si :

(a) Chaque individu a une fonction d’utilité sur les gains, ainsi que des croyances probabilistes sur S, et ses préférences sur les politiques sont déterminées par la maximisation de la valeur espérée de sa fonction d’utilité par rapport à ces croyances.

(b) La société a une fonction de bien-être social (FBES) sur les résultats sociaux (une «fonction d’utilité collective») et des croyances probabilistes sur S. Les préférences collectives sur les politiques sont déterminées par la maximisation de la valeur espérée de la fonction de bien-être social par rapport à ces croyances.

(c) La FBES est une moyenne pondérée des utilités des individus. 

(d) Tous les agents ont les mêmes croyances probabilistes.

Les conclusions (a) et (b) expriment que les individus et la société sont maximisateurs d’espérance d'utilité. La conclusion (c) établit que la société est utilitariste. Cela est analogue au Théorème de l’Agrégation Sociale de Harsanyi. La conclusion (d) est surprenante, parce qu’elle exclut les croyances hétérogènes; on peut l’interpréter comme un théorème d’impossibilité, comme celui de Mongin (1995).

Abstract.  A major problem in social choice theory is that voters can manipulate the outcome of a social choice rule F by strategically misrepresenting their preferences. To incentivize honesty in voters, we must construct a game form such that for any set of voters (with any preferences), the resulting game has a Nash equilibrium in which the social outcome is the one that would be selected by the rule F if the voters had revealed their true preferences. This is called an implementation of rule F. Different versions of Nash equilibrium (e.g. dominant-strategy, Bayesian, etc.) lead to different versions of implementation. But the results are generally pessimistic: most social choice rules cannot be implemented –including many rules that are quite attractive according to other normative criteria.

In this paper, we propose a new solution to the problem of strategic voting for large electorates. For any deterministic voting rule, we design a stochastic rule that asymptotically approximates it in the following sense: for a sufficiently large population of voters, the stochastic voting rule (i) incentivises every voter to reveal her true preferences and (ii) produces the same outcome as the deterministic rule, with arbitrarily high probability. We then apply these results to obtain an implementation in Bayesian Nash equilibrium for large populations.

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Résumé.  Dans la théorie du choix social, un problème majeur est que les votants peuvent manipuler le résultat d’une règle F en ne déclarant pas leurs préférences de manière sincère. Pour inciter les votants à l’honnêteté, il faut construire une forme de jeu telle que, pour n’importe quel ensemble de votants (avec n’importe quelles préférences), le jeu résultant possède un équilibre de Nash dans lequel le résultat social est celui qui serait sélectionné, si les votants révélaient leurs vraies préférences. C’est ce qu’on appelle une implémentation de la règle F. Des versions différentes de l’équilibre de Nash (par ex., équilibre en stratégie dominante, équilibre de Nash bayésien, etc.) mènent à des versions différentes de l’implémentation. Mais les résultats sont généralement négatifs : la plupart des règles de choix social – y compris des règles très attractives du point de vue normatif – n’admettent aucune implémentation.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle solution à ce problème, applicable aux électorats de grande taille. Pour n’importe quelle règle déterministe de vote F, nous construisons une règle aléatoire de vote G qui s’en rapproche asymptotiquement : pour un électorat suffisamment grand, G incite chaque votant à révéler ses vraies préférences, et G produit le même résultat que F avec forte probabilité. Nous l’utilisons pour obtenir l’implémentation d’un équilibre Nash bayésien pour les grands électorats.

Abstract. The standard model of decision-making under uncertainty assumes that there is a set S of possible “states of nature” (the true state is unknown), and “acts” are functions from S into a space of “outcomes”.   But recent work in decision theory has emphasised that this space S is not necessarily an objective fact about the world, but instead, a subjective mental construction of the decision-maker. Furthermore, different agents might construct different subjective state spaces, reflecting the fact that they have different awareness of their decision environment and the contingencies they face. Of particular interest is how an agent should react when her awareness changes (i.e. she learns of new contingencies she had not anticipated). 

In this paper, I consider the following model of decision-making under uncertainty. There is a set A of “acts” or “policies”. Each act will yield an as-yet unknown real-valued payoff. Sums and scalar multiples of acts are feasible; thus, A is a vector space. (For a concrete example, imagine that acts are portfolios of lottery tickets or financial assets, which will pay off some as-yet unknown amount of money at a future date.)

In this model, there is no pre-specified space of states of nature. Instead, there is a Boolean algebra B, describing the information that the agent could acquire. For each element of B, the agent has a conditional preference order on A. I show that if these conditional preferences satisfy certain axioms, then there is a unique compact Hausdorff topological space S such that elements of A correspond to continuous real-valued functions on S, elements of B correspond to regular closed subsets of S, and the agent’s conditional preferences have a subjective expected utility (SEU) representation given by a Borel probability measure on S and a continuous utility function u on the real numbers.

I consider two settings. In one, A has a partial order ≽. Given two acts α and β, the relation α ≽ β means that α is guaranteed to always yield at least as large a payoff as β. I also assume that ≽ is a lattice ordering. This means that for any acts α and β, there exist a smallest act α∨β that is greater than both α and β, and a largest act α∧β that is less than both α and β. (More precisely, I assume (A,≽) is a Riesz space or a Banach lattice.) Meanwhile, B is the Boolean algebra of bands in A. (Roughly speaking, a band is a linear subspace of A that is also an order-interval.) In this case, S is obtained from the Kakutani Representation Theorem.

In the other setting, A has a multiplication operator • and a norm ║ ║. Given two acts α and β, the act α•β yields the product of the payoffs of α and β. (In the “portfolio” example, imagine β is a bet, and α is foreign currency; then α•β is the same bet, but with payoffs denominated in the foreign currency.) Meanwhile, ║α║ measures the maximum payoff magnitude that α could deliver. Under certain assumptions, the structure (A,•,║ ║) is a commutative real Banach algebra. Let B be the Boolean algebra of regular ideals in A. (Roughly speaking, a regular ideal is a closed linear subspace of A that absorbs multiplication by A.) In this case, S is obtained from the Gel’fand Representation Theorem.

Given two such vector spaces A1 and A2 with SEU representations on topological spaces S1 and S2, I show that a preference-preserving homomorphism from A2 to A1 corresponds to a probability-preserving continuous function from S1 to S2. I interpret this as a model of changing awareness.

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Résumé.  Dans le modèle standard de la décision en incertitude, il y a un espace S d’« états du monde » (le vrai état est inconnu), et les « actes » sont des fonctions de S dans un espace des « résultats ». Cependant, certains articles récents en théorie de la décision insistent sur le fait que cet espace S n’est pas forcément un fait objectif, mais seulement une représentation mentale subjective de l’agent. De plus, différents agents pourraient avoir différents espaces subjectifs, en fonction de connaissances différentes de l’environnement de la décision et des contingences auxquelles ils font face. D’un intérêt particulier est la question de savoir comment devrait un agent réagir quand sa connaissance change quand il apprend qu’il existe des contingences jusque-là inconnues.

Dans cet article, on considère un ensemble A d’« actes ». Chacun des actes donne un gain encore inconnu, représenté par un nombre réel. Les combinaisons linéaires d’actes sont elles aussi faisables, de sorte qu’A est un espace vectoriel. (On supposera par exemple que les actes sont des portefeuilles d’actifs.)

Cependant, dans ce modèle, il n’y a aucun espace prédéfini d’états du monde. On y trouvera plutôt une algèbre booléenne B, qui représente les informations que l’agent pourrait obtenir. Pour chaque élément de B, l’agent a une préférence conditionnellement à A. On montre, si ces préférences conditionnelles satisfont certains axiomes, il y existe un espace topologique Hausdorff unique tel que chaque élément de A correspond à une fonction continue de S vers les réels, chaque élément de B correspond à un ensemble fermé régulier de S, et les préférences conditionnelles admettent une représentation d’espérance subjective d'utilité (ESU) donnée par une probabilité de Borel sur S et une fonction continue d’utilité u sur l’ensemble des réels.

On considère deux cas. Dans un premier cas, A est muni d’un ordre partiel ≽. Étant donné deux actes α et β, l’énoncé « α ≽ β » veut dire que α donnera toujours un gain meilleur que β. Je suppose que ≽ est un ordre treillis. Ceci veut dire qu’il y a toujours un acte minimal α∨β qui est meilleur que α et β, et aussi un acte maximal α∧β qui est pire que α et β. (Plus précisément, (A,≽) est un espace de Riesz ou un treillis de Banach.) De plus, B est l’algèbre booléenne des bandes de A. (Intuitivement, une bande est un sous-espace vectoriel qui est aussi un intervalle de l’ordre ≽.) Dans ce cas, S est obtenu grâce au théorème de représentation de Kakutani.

Dans l’autre cas, A est muni d’une opération de multiplication • et d’un module ║ ║. Étant donné deux actes α et β, l’acte α•β donne le produit des gains donnés par α et β. (Dans l’exemple « portefeuille », imaginons que β est un pari et que α est une devise ; alors α•β constitue le même pari, mais avec les gains libellés dans cette devise.) Par ailleurs, ║α║ est le module maximal des gains donnés par α. Sous certaines hypothèses, (A,•,║ ║) est une algèbre de Banach réelle et commutative. Soit B l’algèbre booléenne des idéals régulier de A. (Intuitivement, un idéal régulier est un sous-espace vectoriel fermé de A qui absorbe la multiplication.) Dans ce cas, S est obtenu grâce au théorème de représentation de Gelfand.

Étant donné deux tels espaces vectoriels A1 et A2 avec représentations ESU sur des espaces topologiques S1 et S2, je montre qu’un morphisme de A2 à A1 qui préserve les préférences correspond à une fonction continue de S1 à S2 qui préserve les probabilités. J’interprète ce résultat comme un modèle du changement des connaissances.