Abstract. The standard model of decision-making under uncertainty assumes that there is a set S of possible “states of nature” (the true state is unknown), and “acts” are functions from S into a space of “outcomes”. But recent work in decision theory has emphasised that this space S is not necessarily an objective fact about the world, but instead, a subjective mental construction of the decision-maker. Furthermore, different agents might construct different subjective state spaces, reflecting the fact that they have different awareness of their decision environment and the contingencies they face. Of particular interest is how an agent should react when her awareness changes (i.e. she learns of new contingencies she had not anticipated).
In this paper, I consider the following model of decision-making under uncertainty. There is a set A of “acts” or “policies”. Each act will yield an as-yet unknown real-valued payoff. Sums and scalar multiples of acts are feasible; thus, A is a vector space. (For a concrete example, imagine that acts are portfolios of lottery tickets or financial assets, which will pay off some as-yet unknown amount of money at a future date.)
In this model, there is no pre-specified space of states of nature. Instead, there is a Boolean algebra B, describing the information that the agent could acquire. For each element of B, the agent has a conditional preference order on A. I show that if these conditional preferences satisfy certain axioms, then there is a unique compact Hausdorff topological space S such that elements of A correspond to continuous real-valued functions on S, elements of B correspond to regular closed subsets of S, and the agent’s conditional preferences have a subjective expected utility (SEU) representation given by a Borel probability measure on S and a continuous utility function u on the real numbers.
I consider two settings. In one, A has a partial order ≽. Given two acts α and β, the relation α ≽ β means that α is guaranteed to always yield at least as large a payoff as β. I also assume that ≽ is a lattice ordering. This means that for any acts α and β, there exist a smallest act α∨β that is greater than both α and β, and a largest act α∧β that is less than both α and β. (More precisely, I assume (A,≽) is a Riesz space or a Banach lattice.) Meanwhile, B is the Boolean algebra of bands in A. (Roughly speaking, a band is a linear subspace of A that is also an order-interval.) In this case, S is obtained from the Kakutani Representation Theorem.
In the other setting, A has a multiplication operator • and a norm ║ ║. Given two acts α and β, the act α•β yields the product of the payoffs of α and β. (In the “portfolio” example, imagine β is a bet, and α is foreign currency; then α•β is the same bet, but with payoffs denominated in the foreign currency.) Meanwhile, ║α║ measures the maximum payoff magnitude that α could deliver. Under certain assumptions, the structure (A,•,║ ║) is a commutative real Banach algebra. Let B be the Boolean algebra of regular ideals in A. (Roughly speaking, a regular ideal is a closed linear subspace of A that absorbs multiplication by A.) In this case, S is obtained from the Gel’fand Representation Theorem.
Given two such vector spaces A1 and A2 with SEU representations on topological spaces S1 and S2, I show that a preference-preserving homomorphism from A2 to A1 corresponds to a probability-preserving continuous function from S1 to S2. I interpret this as a model of changing awareness.
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Résumé. Dans le modèle standard de la décision en incertitude, il y a un espace S d’« états du monde » (le vrai état est inconnu), et les « actes » sont des fonctions de S dans un espace des « résultats ». Cependant, certains articles récents en théorie de la décision insistent sur le fait que cet espace S n’est pas forcément un fait objectif, mais seulement une représentation mentale subjective de l’agent. De plus, différents agents pourraient avoir différents espaces subjectifs, en fonction de connaissances différentes de l’environnement de la décision et des contingences auxquelles ils font face. D’un intérêt particulier est la question de savoir comment devrait un agent réagir quand sa connaissance change quand il apprend qu’il existe des contingences jusque-là inconnues.
Dans cet article, on considère un ensemble A d’« actes ». Chacun des actes donne un gain encore inconnu, représenté par un nombre réel. Les combinaisons linéaires d’actes sont elles aussi faisables, de sorte qu’A est un espace vectoriel. (On supposera par exemple que les actes sont des portefeuilles d’actifs.)
Cependant, dans ce modèle, il n’y a aucun espace prédéfini d’états du monde. On y trouvera plutôt une algèbre booléenne B, qui représente les informations que l’agent pourrait obtenir. Pour chaque élément de B, l’agent a une préférence conditionnellement à A. On montre, si ces préférences conditionnelles satisfont certains axiomes, il y existe un espace topologique Hausdorff unique tel que chaque élément de A correspond à une fonction continue de S vers les réels, chaque élément de B correspond à un ensemble fermé régulier de S, et les préférences conditionnelles admettent une représentation d’espérance subjective d'utilité (ESU) donnée par une probabilité de Borel sur S et une fonction continue d’utilité u sur l’ensemble des réels.
On considère deux cas. Dans un premier cas, A est muni d’un ordre partiel ≽. Étant donné deux actes α et β, l’énoncé « α ≽ β » veut dire que α donnera toujours un gain meilleur que β. Je suppose que ≽ est un ordre treillis. Ceci veut dire qu’il y a toujours un acte minimal α∨β qui est meilleur que α et β, et aussi un acte maximal α∧β qui est pire que α et β. (Plus précisément, (A,≽) est un espace de Riesz ou un treillis de Banach.) De plus, B est l’algèbre booléenne des bandes de A. (Intuitivement, une bande est un sous-espace vectoriel qui est aussi un intervalle de l’ordre ≽.) Dans ce cas, S est obtenu grâce au théorème de représentation de Kakutani.
Dans l’autre cas, A est muni d’une opération de multiplication • et d’un module ║ ║. Étant donné deux actes α et β, l’acte α•β donne le produit des gains donnés par α et β. (Dans l’exemple « portefeuille », imaginons que β est un pari et que α est une devise ; alors α•β constitue le même pari, mais avec les gains libellés dans cette devise.) Par ailleurs, ║α║ est le module maximal des gains donnés par α. Sous certaines hypothèses, (A,•,║ ║) est une algèbre de Banach réelle et commutative. Soit B l’algèbre booléenne des idéals régulier de A. (Intuitivement, un idéal régulier est un sous-espace vectoriel fermé de A qui absorbe la multiplication.) Dans ce cas, S est obtenu grâce au théorème de représentation de Gelfand.
Étant donné deux tels espaces vectoriels A1 et A2 avec représentations ESU sur des espaces topologiques S1 et S2, je montre qu’un morphisme de A2 à A1 qui préserve les préférences correspond à une fonction continue de S1 à S2 qui préserve les probabilités. J’interprète ce résultat comme un modèle du changement des connaissances.
