高中數學裡的數學史

拉格朗日(1736~1813)

拉格朗日為十八世紀偉大的數學家之一，生為義大利人，由德國人領養成人，但最後選擇當法國人。曾擔任柏林科學院數學部門的院長，也進入巴黎科學研究院。拉格朗日在數論與微積分方面都有重大的貢獻，他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，創立了拉格朗日力學等等。在物理與天文學方面也供獻良多，1795年拉格朗日中擔任法國最高學術機構——法蘭西學會，第一分院（即科學院）的數理委員會主席，1799年，法國完成統一度量衡工作，制定了被世界公認的長度、面積、體積、質量的單位，拉格朗日對此的推動功不可沒。

拉格朗日插值公式：(高中數學第一冊第二章)

線性插值也叫兩點插值，使用最簡單的二次曲線，去逼近複雜曲線的圖形。

設a、b、c是三個不同的實數，A、B、C為實數，若多項式f(x)的次數不超過兩次，且滿足f(a)=A,f(b)=B,f(c)=C，則

這樣的表示稱為拉格朗日插值多項式

布萊茲‧帕斯卡（1623－1662）

布萊茲‧帕斯卡在機率學方面，最值得一提的是與業餘數學家費馬共同奠定了機率學的理論，而在幾何方面，年輕時就出盡了鋒頭，其創意有些是源自於另一較不出名的數學家笛沙格所提供。笛沙格的定理在十九世紀之前尚鮮為人知。在組合學與機率論方面，帕斯卡充分利用左列的算術三角形，也就是現在的帕斯卡三角形，每一列的數字是由上一列兩相鄰數字相加而得，而第n列是二項(1+x)^n展開後的二項式係數。

二項式定理：(高中數學第二冊第2-3章)

可以將 x + y 的任意次冪展開成和的形式：

這個公式也稱二項式公式或二項恆等式。

亞伯拉罕·棣莫弗(1667-1754)

亞伯拉罕·棣莫弗為法國數學家，發現了棣莫弗公式，將複數和三角學連繫起來。其他貢獻主要是在正態分布和機率論上，包括斯特林公式。他亦發現了中心極限定理的一個特例，後人稱為棣莫佛－拉普拉斯定理

棣莫弗公式：(高中選修數學(甲)上第2章)

若複數z的極式為r(cosA+isinA)，則對任意正整數n，z^n=r^n*(cosnA+isinnA)均成立

奧古斯丁·路易·柯西（1789－1857）

奧古斯丁·路易·柯西出生於高級官員家庭。約1805年時就讀於巴黎綜合理工學院。在數學方面有傑出的表現，被任命為法國科學院院士等大學的重要職位。柯西一生寫了大約八百篇論文，而且大部分的作品都有很長的篇幅。他的多產迫使當時法國科學院會刊(Comptes rendus mathematique)訂下一個規定:所有發表的論文不得超過四頁。這個規則至今仍沿用下來，成為這份頂尖期刊的特色之一。19世紀微積分學的準則並不嚴格，他拒絕當時微積分學的說法，並定義了一系列的微積分學準則。他在1823年的在其中一篇論文中，提出彈性體平衡和運動的一般方程可分別用六個分量表示。他和馬克勞林重新發現了積分檢驗這個用來測試無限級數是否收歛的方法，積分檢驗最早可追溯到14世紀印度數學家Madhava和Madhava的Kerala學派。他一生中最重要的貢獻主要是在微積分學、複變函數和微分方程這三個領域。

柯西-施瓦茨不等式：(高中數學第三冊第二章)

哥特佛萊德·威廉·萊布尼茲（1646－1716）

萊布尼茲出生於神聖羅馬帝國的萊比錫， 1671年，萊布尼茲發表了兩篇論文《抽象運動的理論》（Theoria motus abstracti）及《新物理學假說》（Hypothesis physica nova），分別題獻給巴黎的科學院和倫敦的皇家學會，在當時歐洲學術界增加了知名度。前微積分領域使用的符號仍是萊布尼茲所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茲判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。他與牛頓先後獨立發明微積分，並創造微積分中使用的符號。例如積分符號便是萊布尼茲將S拉長所得到的。

積分：(高中選修數學甲下第二章)

克拉瑪(1704~1752)

加百列·克拉瑪首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入坐標系的縱軸（Y軸），然後討論曲線變換，並依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5個點的一般二次曲線的係數，應用了著名的「克萊姆法則」，即由線性方程組的係數確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數學家馬克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符號使之流傳。其最著名的工作是他1750年發表在代數曲線方面的權威之作；它最早證明一個第n度的曲線是由:n(n + 3)/2點來決定。

克拉瑪公式：(高中數學第三冊第三章)

是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。

畢達哥拉斯（約西元前580年－前500年）

畢達哥拉斯是古希臘哲學家、數學家和音樂理論家。還是傳統上所知的勾股定理（又稱畢達哥拉斯定理）首先發現者。

勾股定理：(國中數學第三冊第二章)

又稱商高定理、畢達哥拉斯定理，簡稱「畢氏定理」或"百牛定理'，是平面幾何中一個基本而重要的定理。勾股定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。

笛卡兒 (1596-1650)

笛卡兒是法國人，於1637年出版<<La Gemetrie>>在書中強調「以代數為主角，以解決幾何問題」，後人將坐標系冠以Descartes的姓氏－笛卡兒坐標系(Cartesian coordinates)，也稱直角坐標系，是一種正交坐標系，二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0點重合的數軸構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的座標設定的，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。

直線與圓的標準式：(高中數學第三冊第二章)

採用直角坐標，直線可用ax+by+c=0表現出來，圓形也可以用代數公視表示，如下圖。

朱塞佩·皮亞諾（1858－1932）

朱塞佩·皮亞諾為義大利數學家、邏輯學家、語言學家。在數學基礎方面他曾從不加定義的「集合」、「自然數」、「繼數」與「屬於」等概念出發，於1889年發表算術原理新方法提出自然數的五條公理，建立了自然數的理論。其中，第5條「歸納法公理」就是數學歸納法的原理。自然數的五條公理（皮亞諾公理）：

• 0是一個自然數。

• 0不是任何其他自然數的繼數。

• 每一個自然數a都有一個繼數。

• 如果a與b的繼數相等則a與b亦相等。

• 若一個由自然數組成的集合s包含有0，又若當s包含有某一數a時，它一定也含有a的繼數，則s就包含有全體自然數。

這一公理系統標志著當時數學分析算術化的終結。

數學歸納法：(高中數學第二冊第一章)

對一系列命題P(n)，n為正整數，若P(n)滿足下列兩條件：(1)P(1)成立。  (2)對正整數k，假設P(k)成立則P(k+1)跟著成立。

則對任意正整數n，P(n)恆成立。