Мы ищем несколько статей на английском языке (часть из них - перевод с русского). Если у вас есть доступ к ним, пожауйста, напишите на atremba@ipu.ru (Андрей Тремба)
Poljak BT and Tretjakov NV (1974), "On an Iterative Method for Linear Programming and Its Economical Interpretations", Matekon. Vol. 10(3), pp. 81-100.
Tsypkin JZ and Poliak BT (1974), "Attainable Accuracy of Adaptive Algorithms", Soviet Physics--Doklady. Vol. 19, pp. 562-563.
Poliak BT (1977), "On the Comparison of Gradient Method and Random Search Method", Automatic Control and Computer Sciences. Vol. 11(3), pp. 59-62.
Polyak BT (1977), "Comparison of the Convergence Rate for Single-Step and Multi-Step Optimization Algorithms in the Presence of Noise", Engineering Cybernetics. Vol. 15(1), pp. 6-10.
Tsypkin JZ and Poliak BT (1980), "Optimal Pseudogradient Algorithms for Stochastic Optimization", Soviet Physics--Doklady. Vol. 25, pp. 85-87.
Polyak BT and Tsypkin JZ (1983), "Optimal and Robust Estimation of Autoregression Coefficients", Engineering Cybernetics. Vol. 21(1), pp. 100-109.
Nemirovski AS and Polyak BT (1984), "Iterative Methods for Solution of Linear Ill-Posed Problems under Exact Information. I", Engineering Cybernetics. Vol. 22(3), pp. 1-11.
Nemirovski AS and Polyak BT (1984), "Iterative Methods for Solution of Linear Ill-Posed Problems under Exact Information. II", Engineering Cybernetics. Vol. 22(4), pp. 50-56.
Tsypkin YZ and Polyak BT (1990), "Frequency Criteria for Robust Modality of Linear Discrete Systems", Soviet Journal of Automation and Information Sciences. Vol. 23(4), pp. 1-7.
Polyak BT and Panchenko OB (1997), "Probabilistic Approach to Stability Problem for Interval Matrices", Doklady Mathematics. Vol. 55(2), pp. 309-311 ???.
Polyak BT and Nazin SA (2006), "Estimation of Parameters in Linear Multidimensional Systems under Interval Uncertainty", Journal of Automation and Information Sciences. Vol. 38(2), pp. 19-33.
Б.Т. Поляк Введение в оптимизацию. Наука. 1983. (Второе издание, исправленное и дополненное: УРСС, 2014, ISBN 978-5-9710-0693-0) Эта же статья на английском
Аннотация: Книга является систематическим введением в современную теорию и методы оптимизации для конечномерных задач. Основное внимание уделяется идейным основам методов, их сравнительному анализу и примерам использования. Охвачен широкий круг задач - от линейного программирования и безусловной минимизации до стохастического программирования. Обсуждается методика постановки и решения прикладных проблем оптимизации. Приводятся условия экстремума, теоремы существования, единственности и устойчивости решения для основных классов задач. Исследуется влияние помех, негладкости функций, вырожденности минимума. Книга предназначена для инженеров, экономистов, статистиков, вычислителей, сталкивающихся с задачами оптимизации. По своему математическому аппарату книга доступна студентам технических и экономических вузов.
Б.Т. Поляк Методы оптимизации при наличии помех. Наука. 1991. Глава в книге Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании. Е.Г. Гольштейн (Ред.). с. 86-94. (Перевод: Elster, K.-H. (Ed.) Modern Mathematical Methods of Optimization, Academie Verlag, 1993, p. 53-61) ISBN: 5-02-012033-2, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Робастная устойчивость и управление. Наука. 2002. ISBN: 5-02-002561-5
Аннотация: В работе дано описание современной теории автоматического управления, включающее новые основные разделы, возникшие в последние годы. Изложены как фундаментальные идеи, лежащие в основе теории, так и техника получения результатов. Большое внимание уделяется робастному подходу, т.е. методам анализа и синтеза систем управления при наличии неопределенности. Дана классификация типов неопределенности и возникающих задач стабилизации и оптимального управления. Приведены алгоритмы их решения. Для специалистов по теории управления и практиков-инженеров, а также студентам и аспирантам, изучающим основы теории управления.
О.Н. Граничин, Б.Т. Поляк Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. Наука. 2003. А.В. Назин (Ред.). ISBN: 5-02-006525-0
Аннотация: В книге дается систематическое изложение теории эффективных последовательных алгоритмаов многомерной оптимизации и оценивания, дающие состоятельные оценки без стандартных предположений о независимости и центрированности помех наблюдения. Основой нового подхода является использование пробных возмущений. Предлагаемые алгоритмы нашли широкое применение в задачах идентификации, управления, обучения, экономики. Книга будет полезна практикам-инженерам, занимающимся разработкой, программированием и изготовлением сложных устройств связи, измерений или управления, а также студентам и аспирантам по специальностям, связанным с кибернетикой.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Техника $D$-разбиения при решении линейных матричных неравенств. Физматлит. 2008. Глава в книге Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства. А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, А.Л. Фрадков (Ред.). с. 135-154. ISBN: 978-5-9221-0916-1
Аннотация: В развитие теории линейных матричных неравенств предлагается метод определения всех областей в пространстве параметров, внутри которых аффинное семейство симметричных матриц имеет фиксированное количество собственных значений одного знака. Подход основан на идеях $D$-разбиения и особенно эффективен в задачах с малым числом параметров. Рассматриваются обобщения метода и его модификации на задачи с неопределенностью.
Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. ЛЕНАНД. 2014. ISBN: 978-5-9710-0793-7
Аннотация: Книга посвящена современным направлениям в теории управления. Основное внимание в ней уделяется проблеме подавления ограниченных внешних возмущений. Эта проблема на сегодняшний день довольно слабо представлена в существующей литературе, хотя является весьма важной с точки зрения приложений. Для изучения материала данной монографии не обязательны знания "классической" теории автоматического управления, однако, знакомство c основами этой теории будет весьма полезно для понимания особенностей новых подходов.
Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, Л.Б. Рапопорт Математическая теория автоматического управления. ЛЕНАНД. 2019. ISBN: 978-5-9710-6486-2
Аннотация: Учебное пособие излагает основы теории управления в современной форме. Помимо традиционных разделов теории линейных систем в книгу включены вопросы управления в условиях неопределенности (робастность, внешние возмущения), управления нелинейными системами (абсолютная устойчивость, теоремы Ляпунова, хаос), техника линейных матричных неравенств. В приложениях содержится требуемый математический аппарат. Многочисленные примеры демонстрируют особенности применения теории. Пособие предназначено для подготовки магистров по укрупненной группе направлений подготовки 27.04.00 "Управление в технических системах" и может быть использовано для подготовки кадров высшей квалификации по направлению подготовки 27.06.01 "Управление в технических системах". Книга также будет полезна научным и инженерно-техническим работникам.
Б.Т. Поляк Задачи многоходового выбора. Физматлит, 1962. В сборнике Вопросы теории математических машин. т. 2. Ю.Я. Базилевский (Ред.). с. 156-173.
Б.Т. Поляк, Ю.А. Шрейдер Применение полиномов Уолша в приближенных вычислениях. Физматлит, 1962. В сборнике Вопросы теории математических машин. т. 2. Ю.Я. Базилевский (Ред.). с. 174-190. (Перевод: Poljak, B. T. & Šchreĭder, Ju. A. Application of Walsh Polynomials in Approximate Calculation Nine papers on foundations, measure theory and analysis, AMS, 1967, 57, 171-189) Эта же статья на английском
И.В. Гирсанов, Б.Т. Поляк Математические методы решения задачи о размещении. МГУ, 1963. В сборнике Проблемы оптимального планирования, проектирования и управления производством. с. 288-300. (Труды теоретической конференции, состоявшейся на экономическом факультете МГУ в марте 1962 г)
Аннотация: В докладе Т.А. Косенко на данной конференции предложена математическая формулировка задачи об оптимальном размещении промышленного производства с учетом зависимости себестоимости единицы продукции от объема производства (см. также [1]). Мы рассмотрим некоторые возможные пути решения этой задачи.
Б.Т. Поляк Градиентные методы минимизации функционалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. т. 3. № 4. с. 643-653. (Перевод: Gradient methods for the minimisation of functionals, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, Vol. 3, No. 4, 864-878) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7813, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. т. 4. № 5. с. 791-803. (Перевод: Some methods of speeding up the convergence of iteration methods, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, Vol. 4, No. 5, 1-17) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7713, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Градиентные методы решения уравнений и неравенств // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. т. 4. № 6. с. 995-1005. (Перевод: Gradient methods for solving equations and inequalities, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, Vol. 4, No. 6, 17-32) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7629, Эта же статья на английском
Т.Н. Борисова, З. Влашек, В.Г. Карманов, Б.Т. Поляк Некоторые методы решения задач о размещении. Издательство Московского Университета, 1965. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 3. с. 441-451. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: В настоящей работе рассмотрены некоторые методы решения так называемой задачи о размещении [1], [2], описаны стандартные программы Вычислительного центра МГУ, реализующие эти методы, и приведены примеры решенных задач.
А.М. Бер, Е.Н. Белов, Б.Т. Поляк О некоторых задачах оптимизации сетей. Издательство Московского Университета, 1966. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 5. с. 115-123. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: В ряде прикладных задач возникает необходимость выбора кратчайшей (или наилучшей в каком-либо ином смысле) сети, соединяющей заданные точки. Разнообразие такого рода задач очень велико - сеть может быть дорожной, электрической, телефонной и т.д. Однако с вычислительной точки зрения все они обладают рядом общих черт, особенно четко выраженных для простейших задач, которые и будут рассмотрены вначале. Затем рассматриваются некоторые более сложные задачи (на примере оптимизации газовой сети).
Е.С. Левитин, Б.Т. Поляк О сходимости минимизирующих последовательностей в задачах на условный экстремум // Доклады Академии наук СССР. 1966. т. 168. № 5. с. 997-1000. (Перевод: E. S. Levitin, B. T. Poljak. Convergence of minimizing sequences in conditional extremum problems, Soviet Math. Dokl, 1966, 5, 764-767) Эта же статья на английском
Е.С. Левитин, Б.Т. Поляк Методы минимизации при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. т. 6. № 5. с. 787-823. (Перевод: Constrained minimization methods, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1966, Vol. 6, No. 5, 1-50) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7415, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей для задач на экстремум при наличии ограничений // Доклады Академии наук СССР. 1966. т. 166. № 2. с. 287-290. (Перевод: B. T. Poljak. Existence theorems and convergence of minimizing sequences in extremum problems with restrictions, Soviet Math. Dokl, 1966, 7, 72-75) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Б.И. Шостаковский Одна задача на максимум функции нескольких переменных. Издательство Московского Университета, 1966. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 5. с. 107-114. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: Рассматривается физическая задача, в которой требуется определить неизвестные параметры по экспериментальной информации. Применение принципа максимального правдоподобия сводит ее к задаче максимизации функции нескольких переменных. Статья посвящена вычислительному аспекту решения последней задачи. Сделанные выводы о сравнительных преимуществах и недостатках ряда методов максимизации применимы к широкому кругу экстремальных задач подобного типа.
Л.Г. Гурин, Б.Т. Поляк, Э.В. Райк Методы проекций для отыскания общей точки выпуклых множеств // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. т. 7. № 6. с. 1211-1228. (Перевод: The method of projections for finding the common point of convex sets, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1967, Vol. 7, No. 6, 1-24) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7304, Эта же статья на английском
Т.П. Иванова, Б.Т. Поляк, Г.В. Пухова Численные методы решения некоторых экстремальных задач с частными производными. Издательство Московского Университета, 1967. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 9. с. 193-202. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
В.Г. Карманов, Т.Л. Руднева, Б.Т. Поляк О некоторых методах решения экстремальных задач экономического и технико-экономического содержания. Издательство Московского Университета, 1967. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 9. с. 143-147. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: В настоящей статье дается обзор работ, выполненных в последнее время в ВЦ МГУ, по математическим методам решения задач оптимизации, преимущественно прикладных.
В.С. Орлов, Б.Т. Поляк, В.А. Ребрий, Н.В. Третьяков Опыт решения задач оптимального управления. Издательство Московского Университета, 1967. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 9. с. 179-192. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: В статье рассматриваются несколько методов градиентного типа для решения задач оптимального управления [1] с фиксированным временем и без ограничений на фазовые координаты. Описывается стандартная программа, реализующая эти методы. Приведено несколько реальных задач, решенных с помощью этих программ, и на их примере обсуждается вычислительный аспект методов.
Б.Т. Поляк Один общий метод решения экстремальных задач // Доклады Академии наук СССР. 1967. т. 174. № 1. с. 33-36. (Перевод: B. T. Poljak, A General Method of Solving Extremum Problems, Soviet Math. Dokl., 1967, Vol. 8, No. 6, 593-597) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Метод минимизации функций многих переменных // Экономика и математические методы. 1967. т. 3. № 6. с. 881-902. (B. T. Polyak. Minimization Method for Several Variables Function)
Б.Т. Поляк, В.А. Скоков Подбор параметров кинетических уравнений по экспериментальным данным. Издательство Московского Университета, 1967. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 9. с. 167-178. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Б.Т. Поляк, Б.И. Шостаковский Об одном методе решения задачи наилучшего равномерного приближения. Издательство Московского Университета, 1967. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 9. с. 160-166. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Аннотация: Задача построения наилучшего чебышевского приближения функции - одна из классических задач вычислительной математики (см., например, [1], гл. 4). Необходимость ее решения возникает во многих прикладных задачах, в которых те или иные функции удобно аппроксимировать полиномами. При этом полиномы можно понимать в обобщенном смысле как линейные комбинации некоторой фиксированной чебышевской системы функций. Однако до сих пор полиномы наилучшего равномерного приближения редко применялись в вычислительной практике в связи с трудностями их построения. Цель настоящей статье - показать, что эти трудности преодолимы (см. приводимые в параграфе 4 результаты).
Б.Т. Поляк К теории нелинейных задач оптимального управления // Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика, механика. 1968. № 2. с. 30-40.
Б.Т. Поляк Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум // Математический сборник. 1969. т. 78(120). № 1. с. 65-84. (Перевод: Semicontinuity of Integral Functionals and Existence Theorems on Extremal Problems, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1969, Vol. 7, No. 1, 59-77) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/msb3542, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Минимизация негладких функционалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. т. 9. № 3. с. 509-521. (Перевод: Minimization of unsmooth functionals, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1969, Vol. 9, No. 3, 14-29) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7159, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Исправление к статье “Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум”, Математический сборник, 78(120) (1969), 65-84 // Математический сборник. 1969. т. 80(122). № 4(12). с. 616. (Перевод: Letter to the editor, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1969, Vol. 9, No. 4, 570) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/msb3675, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. т. 9. № 4. с. 807-821. (Перевод: The conjugate gradient method in extremal problems, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1969, Vol. 9, No. 4, 94-112) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf7115, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Об одном методе решения задач линейного и квадратичного программирования большого объема. Издательство Московского Университета, 1969. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 12. с. 10-17. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Б.Т. Поляк Итерационные методы решения некоторых некорректных вариационных задач. Издательство Московского Университета, 1969. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 12. с. 38-52. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Б.Т. Поляк Итерационные методы, использующие множители Лагранжа, для решения экстремальных задач с ограничениями типа равенств // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. т. 10. № 5. с. 1098-1106. (Перевод: Iterative methods using lagrange multipliers for solving extremal problems with constraints of the equation type, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1970, Vol. 10, No. 5, 42-52) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf6938, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается конечномерная задача $\min f(x)$, $g_i(x)=0$, $i=1,\dots,r$, с гладкими функциями $f(x),g_1(x),\dots,g_r(x)$. Предлагаются следующие итерационные методы решения: градиентный, квадратичной аппроксимации, двойственный и метод Ньютона. Доказывается их локальная сходимость (первых трех -- со скоростью геометрической прогрессии, метода Ньютона -- с квадратичной скоростью). Рассмотрены также непрерывные аналоги всех этих методов, и доказана их сходимость. Обсуждаются достоинства и недостатки методов с вычислительной точки зрения, и предлагается способ подбора начального приближения. Библ. 6 назв.
Б.Т. Поляк, Г.В. Пухова Об одной многомерной вариационной задаче с ограничениями. Издательство Московского Университета, 1970. В сборнике Вычислительные методы и программирование. т. 14. с. 186-197. (Сборник работ вычислительного центра Московского Университета)
Б.Т. Поляк О скорости сходимости метода штрафных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. т. 11. № 1. с. 3-11. (Перевод: The convergence rate of the penalty function method, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1971, Vol. 11, No. 1, 1-12) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf6807, Эта же статья на английском
Аннотация: Оценивается близость решения задачи со штрафом к решению исходной задачи на условный минимум. Показано, как согласовать точность отыскания минимума в задаче со штрафом с величиной коэффициента штрафной функции.
Б.Т. Поляк Сходимость методов возможных направлений в экстремальных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. т. 11. № 4. с. 855-869. (Перевод: Convergence of methods of feasible directions in extremal problems, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1971, Vol. 11, No. 4, 53-70) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf6859, Эта же статья на английском
Аннотация: Приводятся общие теоремы об условиях сходимости одношаговых итерационных методов для задач минимизации при наличии ограничений. Эти теоремы применяются для единообразного получения как ранее известных, так и новых результатов относительно сходимости конкретных методов.
Б.Т. Поляк, Н.В. Третьяков Об одном итерационном методе линейного программирования и его экономической интерпретации // Экономика и математические методы. 1972. т. 8. № 5. с. 740-751. (B. T. Polyak, N. V. Tretyakov. On a Linear Programming Iterative Method and its Economic Interpretation) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Н.В. Третьяков Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. т. 13. № 1. с. 34-46. (Перевод: The method of penalty estimates for conditional extremum problems, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1973, Vol. 13, No. 1, 42-58) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf6592, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается метод решения задач на экстремум с ограничениями в форме равенств, на каждом шаге которого минимизируется функция Лагранжа, модифицированная путем добавления штрафной функции. Доказывается, что этот метод локально сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой тем меньше, чем больше коэффициент штрафа.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения // Автоматика и телемеханика. 1973. № 3. с. 45-68. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Pseudogradient Adaptation and Training Algorithms, Automation and Remote Control, 1973, Vol. 34, No. 3, 377-397) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at8333, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается единый подход к анализу разнообразных стохастических алгоритмов минимизации функционалов, основанный на вводимом понятии псевдоградиента. Доказывается общая теорема о сходимости, из которой следует обоснование алгоритмов стохастической аппроксимации (регулярных и поисковых), случайного поиска, обобщенного стохастического градиента, различных частных алгоритмов для задач идентификации и распознавания образов.
А.Б. Бакушинский, Б.Т. Поляк О решении вариационных неравенств // Доклады Академии наук СССР. 1974. т. 219. № 5. с. 1038-1041. (Перевод: A. B. Bakushinskii, B. T. Poliak. On the solution of variational inequalities, Soviet Math. Dokl., 1974, Vol. 15, No. 6, 1705-1710) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Методы минимизации при наличии ограничений. ВИНИТИ, 1974. В сборнике Итоги науки и техники. т. 12. Р.В. Гамкрелидзе (Ред.). с. 147-197. (Перевод: Minimization methods with constraints, Journal of Soviet Mathematics, 1976, Vol. 5, No. 1, 97-128) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/intm31, Эта же статья на английском
Аннотация: Обзор посвящен методам решения задач математического программирования: дается классификация задач математического программирования, приводится обзор методов решения по классам задач от наиболее «элементарных» до общих задач нелинейного программирования с ограничениями типа равенств и неравенств. Библ. 325.
Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк Достижимая точность алгоритмов адаптации // Доклады Академии наук СССР. 1974. т. 218. № 3. с. 532-535. (Перевод: J. Z. Tsypkin, B. T. Poliak. Attainable accuracy of the adaptation algorithms, Sov. Phys. Dokl., 1974, 19, 562-563) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. I. Общий случай // Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. с. 83-94. (Перевод: B. T. Polyak, Convergence and Convergence Rate of Iterative Stochastic Algorithms. I. General case, Automation and Remote Control, 1976, 37:12, 1858-1868) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at8199, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются итеративные стохастические алгоритмы, применяемые в экстремальном регулировании, статистике, при решении задач оптимизации, адаптации, обучения и распознавания образов. В терминах функций Ляпунова формулируются общие результаты о сходимости в том или ином вероятностном смысле (в среднем, почти наверное, с вероятностью $1-\delta$). Получены оценки скорости сходимости.
Б.Т. Поляк Сравнение скорости сходимости одношаговых и многошаговых алгоритмов оптимизации при наличии помех // Известия Академии наук СССР, Техническая кибернетика. 1977. № 1. с. 9-12. (Перевод: "Comparison of the Convergence Rates for Single-Step and Multi-Step Optimization Algorithms in the Presence of Noise," Engrg. Cybern., 1977, 15, No. 1, 6-10) Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача минимизации квадратичной функции в ситуации, когда ее градиент измеряется со случайной аддитивной помехой. В этих условиях двухшаговые методы (типа метода тяжелого шарика или метода сопряженных градиентов) обладают преимуществами перед одношаговым градиентным методом лишь на начальном этапе оптимизации. В окрестности экстремума скорость сходимости двухшаговых методов ниже, чем одношаговых.
Б.Т. Поляк К вопросу о сравнении градиентного метода и метода случайного поиска // Автоматика и вычислительная техника. 1977. № 3. с. 57-60. (Перевод: "On the Comparison of Gradient Method and Random Search Method",Autom. Control. Comput. Sci., 1977, 11, No. 3, 59-62) Эта же статья на английском
Аннотация: Для задачи минимизации квадратичной функции $f(x)$ от $N$ переменных сравниваются скорости сходимости градиентного метода и метода случайного поиска с парной пробой $x_{n+1} = x_n - \beta_n / 2 \alpha [F(x_n + \alpha r_n) - F(x_n - \alpha r_n)] r_n$, где $r_n$ - случайный вектор, равномерно распределенный на единичной сфере; $F(x)$ - результат измерения $f(x)$; $MF(x) = f(x), M(F(x) - f(x))^2 = \sigma^2$; $\alpha$ - длина пробного шага; $\beta_n$ - детерминированная длина рабочего шага. Показано, что при наличии помех ($\sigma^2 > 0$) градиентный метод (при соответствующем выборе длины шага) сходится асимптотически быстрее метода случайного поиска, однако с учетом большей трудоемкости первого из них эффективность обоих методов асимптотически одинакова. Для задач без помех ($\sigma^2 = 0$) в методе случайного поиска при любом способе выбора $\beta_n$ можно указать в градиентном методе такой способ выбора длины шага, при котором последний сходится быстрее. При хорошо обусловленных задачах эффективность градиентного метода также выше.
Б.Т. Поляк Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. II. Линейный случай // Автоматика и телемеханика. 1977. № 4. с. 101-107. (Перевод: B. T. Polyak, Convergence and Convergence Rate of Iterative Stochastic Algorithms. II. The Linear Case, Automation and Remote Control, 1977, 38:4, 537-542) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at7331, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются итеративные стохастические алгоритмы, у которых детерминированная составляющая линейна. Даются оценки матрицы вторых моментов процесса для различных способов выбора длины шага. Общие результаты применяются для исследования градиентного метода минимизации квадратичной функции при наличии помех.
Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк Огрубленный метод максимального правдоподобия. Издательство Горьковского Государственного Университета, 1977. В сборнике Динамика систем. Математические методы теории колебаний. т. 12. с. 22-46. (Межвузовский собрник)
Аннотация: Излагается новый оригинальный подход к проблеме статистической оценки параметров, содержатся важные новые научные результаты.
Е.Н. Белов, Б.Т. Поляк, В.А. Скоков Комплекс программ оптимизации // Экономика и математические методы. 1978. т. 14. № 4. с. 792-796. (Belov E. N., Polyak B. T., Skokov V. A. Program Complex for Optimization)
Б.Т. Поляк Минимизация сложных функций регрессии // Кибернетика. 1978. № 4. с. 148-149. Эта же статья на английском
Аннотация: Доказывается сходимость с вероятностью $1 - \delta$ стохастического градиентного метода минимизации сложных функций регрессии без предположения о выпуклости функции.
Б.Т. Поляк, В.А. Скоков Решение задач на минимум суммы квадратов // Экономика и математические методы. 1978. т. 14. № 6. с. 1173-1180. (Polyak B. T., Skokov V. A. Squares Sum Minimum Problems Solving)
Б.Т. Поляк Методы решения задач на условный экстремум при наличии случайных помех // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. т. 19. № 1. с. 70-78. (Перевод: Methods for solving constrained extremum problems in the presence of random noise, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, Vol. 19, No. 1, 72-81) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf5442, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача на экстремум с ограничениями в форме равенств, причем измерения всех функций и их градиентов производятся с помехами. Предлагаются три метода решения, являющиеся модификациями метода множителей Лагранжа, метода штрафных функций, метода штрафных оценок. Доказывается сходимость этих методов в определенном вероятностном смысле.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность) // Автоматика и телемеханика. 1979. № 3. с. 71-84. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Adaptive Estimation Algorithms (Convergence, Optimality, Stability), Automation and Remote Control, 1979, 40:3, 378-389) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at9401, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются адаптивные алгоритмы оценивания для вычисления рекуррентных оценок в типовой регрессионной задаче. Доказывается сходимость этих алгоритмов и исследуется скорость сходимости. Указывается способ определения нелинейного преобразования невязки и выбора матрицы усиления в адаптивном алгоритме, обеспечивающих его асимптотическую оптимальность. Такой асимптотически оптимальный алгоритм соответствует рекуррентному варианту метода максимального правдоподобия. При неполной априорной информации о помехах находятся асимптотически оптимальные в минимаксном смысле алгоритмы и показывается связь со стабильным (робастным) оцениванием.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Оптимальные псевдоградиентные алгоритмы стохастической оптимизации // Доклады Академии наук СССР. 1980. т. 250. № 5. с. 1084-1087. (Poliak B. T., Tsypkin J. Z. Optimum pseudogradient algorithms of the stochastic optimization) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Оптимальные псевдоградиентные алгоритмы адаптации // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8. с. 74-84. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Optimal Pseudogradient Adaptation Algorithms, Automation and Remote Control, 1981, 41:8, 1101-1110) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at7155, Эта же статья на английском
Аннотация: Исследуется асимптотическая скорость сходимости произвольных псевдоградиентных алгоритмов для отыскания безусловного экстремума функции при наличии случайных помех в вычислении ее градиента. Установлены оптимальные псевдоградиентные алгоритмы, для которых эта скорость максимальна. Оптимальные псевдоградиентные алгоритмы требуют нелинейного преобразования градиента; вид этого преобразования полностью определяется законом распределения помех.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастные псевдоградиентные алгоритмы адаптации // Автоматика и телемеханика. 1980. № 10. с. 91-97. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Robust Pseudogradient Adaptation Algorithms, Automation and Remote Control, 1981, 41:10, 1404-1409) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at7202, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается рекуррентный алгоритм для отыскания безусловного экстремума функции при наличии случайных помех в вычислении ее градиента, не требующий точного знания закона распределения помех. Доказывается его оптимальность в асимптотически минимаксном смысле для данного класса помех. Обсуждается связь с робастными процедурами в статистике.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Оценки типа максимума правдоподобия для непараметрической регрессии // Доклады Академии наук СССР. 1983. т. 273. № 6. с. 1310-1314. (Перевод: A. S. Nemirovskii, B. T. Polyak, A. B. Tsybakov. Estimators of Maximum Likelihood Type for Nonparametric Regression, Soviet Math. Dokl., 1983, Vol. 28, No. 3, 788-792) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, A. Немировский, A. Цыбаков Метод максимального правдоподобия для непараметрической регрессии // Теория вероятностей и ее применение. 1983. т. 28. № 4. с. 794-795. (Раздел в статье: Резюме докладов, сделанных на заседаниях семинара по теории вероятностей и математической статистике в Ленинградском отделении Математического института Академии наук СССР (апрель-декабрь 1982 г.) Теория вероятностей и ее применение, 1983, т. 28, № 4, 794-805. Перевод: A. S. Nemirovskii, B. T. Polyak, A. B. Tsybakov, The maximum likelihood method in nonparametric regression, Theory of Probability and its Applications, 1984, 28:4, 830-831) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/tvp2233, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Оптимальные методы оценивания коэффициентов авторегрессии при неполной информации // Известия Академии наук СССР, Техническая кибернетика. 1983. № 1. с. 118-126. Эта же статья на английском
Аннотация: Исследуется задача оценивания коэффициентов авторегрессии в ситуации, когда закон распределения помехи известен не полностью. Рассматриваются рекуррентные (типа стохастической аппроксимации) и нерекуррентные (типа максимального правдоподобия) оценки, включающие произвольное нелинейное преобразование невязки. Приводятся асимптотические свойства подобных оценок. Для случаев, когда распределение помехи известно полностью (или частично - с точностью до принадлежности некоторому классу распределений), построены оптимальные оценки. Показано, что в широких предположениях (но не всегда) такие оценки доставляются методом наименьших квадратов, который в авторегрессионной ситуации (в отличие от регрессионной) оказывается устойчивым к варьированию распределения помехи.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Оптимальные алгоритмы критериальной оптимизации в уусловия неопределенности // Доклады Академии наук СССР. 1983. т. 273. № 2. с. 315-318. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin. Optimal algorithms of criterial optimization under conditions of uncertainty Soviet Physics-Doklady, 1983, Vol. 28, No. 11, 919-920) Эта же статья на английском Ю.Ш. Верулава, З.Н. Горгадзе, Б.Т. Поляк Исследование алгоритмов оценивания коэффициентов авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 1984. № 11. с. 49-57.
(Перевод: Yu. Sh. Verulava, Z. N. Gorgadze, B. T. Polyak, Algorithms for Estimation of Autoregression Coefficients, Automation and Remote Control, 1984, 45:11, 1428-1434) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4753, Эта же статья на английском
Аннотация: Исследуются путем моделирования рекуррентные алгоритмы оценивания коэффициентов авторегресеии, предложенные в работе [1]. Выявляется зависимость скорости сходимости от ряда факторов; сравниваются теоретические и численные результаты; обнаруживается экспериментально сходимость алгоритмов для неустойчивых моделей и помех с бесконечной дисперсией.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. I // Известия Академии наук СССР, Техническая кибернетика. 1984. № 2. с. 13-25. (Перевод: Nemirovski, A. S., Polyak, B. T. Iterative Methods for Solution of Linear Ill-Posed Problems under Exact Information. I Engineering Cybernetics, 1984, Vol. 22, No. 3, 1-11) Эта же статья на английском
Аннотация: В статье рассматриваются итеративные методы (градиентный, чебышевский, сопряженных градиентов, обратной итерации, регуляризации) решения линейных некорректных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Устанавливается сходимость методов и получены оценки ее скорости в различных нормах (по аргументу, по невязке, в энергетической норме) при предположениях истокообразной представимости решения.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. II // Известия Академии наук СССР, Техническая кибернетика. 1984. № 3. с. 18-35. (Перевод: Nemirovski, A. S., Polyak, B. T. Iterative Methods for Solution of Linear Ill-Posed Problems under Exact Information. II Engineering Cybernetics, 1984, Vol. 22, No. 4, 50-56) Эта же статья на английском
Аннотация: В работе описываются и обсуждаются нижние границы скорости сходимости итеративных процедур решения линейных некорректных операторных уравнений. В ряде ситуаций указаны методы, реализующие найденные границы.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Обработка сигналов непараметрическим методом максимума правдоподобия // Проблемы передачи информации. 1984. т. 20. № 3. с. 29-46. (Перевод: Problems of Information Transmission, 1984, Vol. 20, No. 3, 177-192) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/ppi1141, Эта же статья на английском
Аннотация: Предложен класс оценок, являющихся обобщением оценок максимума правдоподобия и $M$-оценок в задаче непараметрической регрессии. Рассмотрены условия существования этих оценок, методы их вычисления и доказана их состоятельность.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Критериальные алгоритмы стохастической оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. с. 95-104. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Criterion Algorithms of Stochastic Optimization, Automation and Remote Control, 1984, 45:6, 766-774) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4879, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются критериальные задачи оптимизации, в которых важно оценить оптимальное значение критерия качества, а координаты точки экстремума не представляют интереса. Предлагаются алгоритмы, предназначенные для решения критериальных задач при наличии случайных ошибок в измерениях градиента и являющиеся оптимальными в смысле критериальной скорости сходимости.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Скорость сходимости непараметрических оценок типа максимума правдоподобия // Проблемы передачи информации. 1985. т. 21. № 4. с. 17-33. (Перевод: Problems of Information Transmission, 1985, Vol. 21, No. 4, 258-272) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/ppi1003, Эта же статья на английском
Аннотация: Найдена скорость сходимости $M$-оценок непараметрической регрессии в метрике $L_2$. Показано, что для классов гладких, монотонных и выпуклых функций эта скорость неулучшаема с точностью до константы. Установлено, что в ряде случаев, в частности для класса монотонных функций, нелинейные $M$-оценки лучше любых линейных оценок по порядку скорости сходимости.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Оптимальные алгоритмы стохастической оптимизации при мультипликативных помехах // Доклады Академии наук СССР. 1985. т. 284. № 3. с. 563-567. (Перевод: Nemirovskii A. S., Polyak B. T., Tsypkin Ya. Z., Optimum algorithms of stochastic optimization with multiplicative error, Sov. Phys. Dokl., 1985, Vol. 30, No. 9, 744-745) Эта же статья на английском
Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк Идентификация нестационарных динамических объектов. ВИНИТИ, 1987. В сборнике Итоги науки и техники. т. 21. С.В. Емельянов (Ред.). с. 68-91.
Аннотация: Обзор посвящен рекуррентным алгоритмам идентификации объектов, описываемых линейными разностными уравнениями с переменными коэффициентами. Описаны основные типы моделей объекта (регрессионные, авторегрессионные, скользящего среднего) и законов дрейфа параметров (рекуррентные, параметрические и т. д.). В случае регрессионных объектов с известным с точностью до начального приближения законом дрейфа построены оптимальные (по асимптотической скорости сходимости) рекуррентные алгоритмы идентификации. В стационарном случае эти алгоритмы совпадают с ранее известными, в линейном гауссовом - с фильтром Калмана. Описаны обобщения на случай динамических объектов и неполностью заданных законов дрейфа. Рассмотрена связь с калмановской теорией фильтрации и динамической стохастической аппроксимацией. Дан обзор многочисленных работ, посвященных различным аспектам проблемы.
Ю.Ш. Верулава, Б.Т. Поляк Выбор порядка регрессионной модели // Автоматика и телемеханика. 1988. № 11. с. 113-129. (Перевод: Yu. Sh. Verulava, B. T. Polyak, Selection of the Regression Model Order, Automation and Remote Control, 1988, 49:11, 1482-1494) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at6799, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача восстановления функции по ее измерениям, содержащим случайную ошибку. Приближение ищется в виде отрезка ряда по заданной системе функций; основная проблема - найти число членов этого разложения. Качество приближения оценивается среднеквадратичной ошибкой прогноза на всем отрезке или на заданной системе точек. Даются точные и асимптотические выражения для среднеквадратической ошибки при различных предположениях. Приводятся критерии подбора порядка модели, использующие ту или иную априорную информацию, и численные примеры.
А.В. Назин, Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Пассивная стохастическая аппроксимация // Автоматика и телемеханика. 1989. № 11. с. 127-134. (Перевод: A. V. Nazin, B. T. Polyak, A. B. Tsybakov, Passive Stochastic Approximation, Automation and Remote Control, 1989, 50:11, 1563-1569) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at6475, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача отыскания корня уравнения $f(x)=0$ в ситуации, когда значения $f(x)$ измеряются со случайной ошибкой в случайных точках, выбором которых нельзя управлять. Исследуется рекуррентный метод Хэрдле-Никсдорфа для решения этой задачи. Доказывается сходимость почти наверное и в среднеквадратичном, дается оценка скорости сходимости. Указывается способ выбора оптимальных параметров метода; доказывается, что в результате достигается (по порядку) нижняя граница точности произвольных методов решения задачи.
Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Оптимальные проекционные оценки для функции регрессии неизвестной гладкости // Доклады Академии наук СССР. 1989. т. 304. № 2. с. 297-301. (Перевод: Polyak B. T., Tsybakov A. B. Optimal projection estimates for a regression function of unknown smoothness, Soviet Math. Dokl., 1989, Vol. 39, No. 1, 73-77) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Градиентные методы стохастической оптимизации // Измерения, контроль, автоматизация. 1989. № 3 (71). с. 50-54.
Аннотация: Статья представляет собой обзор по итеративным методам оптимизации градиентного типа при наличии случайных помех. Рассматриваются примеры прикладных задач стохастической оптимизации. Приведены основные результаты о сходимости и скорости сходимости градиентных методов при различных способах выбора длины шага и различных типов функций. Указаны оптимальные варианты методов. Описаны разнообразные обобщения задачи и некоторые новые результаты.
Б.Т. Поляк Новый метод типа стохастической аппроксимации // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. с. 98-107. (Перевод: B. T. Polyak, New Method of Stochastic Approximation Type, Automation and Remote Control, 1990, 51:7, 937-946) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at5521, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается итеративный метод решения задач стохастической оптимизации и оценивания параметров, представляющий собой комбинацию двух процессов. Первый - процесс стохастической аппроксимации с постоянным или медленно убывающим шагом. Второй - усреднение этого процесса, что позволяет получить асимптотически наивысшую возможную скорость сходимости. Преимущество предлагаемого метода по сравнению с ранее известными - малые требования к априорной информации и отсутствие операций с матрицами.
Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Оптимальные порядки точности поисковых алгоритмов стохастической оптимизации // Проблемы передачи информации. 1990. т. 26. № 2. с. 45-53. (Перевод: Problems of Information Transmission, 1990, Vol. 26, No. 2, 126-133) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/ppi605, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается новый метод поисковой оптимизации и доказывается его асимптотическая оптимальность.
Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Асимптотическая оптимальность $C_p$-критерия при проекционном оценивании регрессии // Теория вероятностей и ее применение. 1990. т. 35. № 2. с. 305-317. (Перевод: Theory of Probability and its Applications, 1990, Vol. 35, No. 2, 293-306) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/tvp998, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 9. с. 45-54. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Frequency Criteria of Robust Stability and Aperiodicity of Linear Systems, Automation and Remote Control, 1990, 51:9, 1192-1201) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at5928, Эта же статья на английском
Аннотация: Формулируются частотные критерии устойчивости линейных систем при возмущении коэффициентов их характеристических полиномов. Рассматриваются случаи интервально и эллипсоидально ограниченных возмущений. Находится наибольший возможный размах возмущений. Даются условия робастной апериодичности.
Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк Частотные критерии робастной модальности линейных дискретных систем // Автоматика. 1990. № 4. с. 3-9. (Перевод: Tsypkin, Y. Z., Polyak, B. T. Frequency Criteria for Robust Modality of Linear Discrete Systems, Soviet Journal of Automation and Information Sciences, 1990, Vol. 23, No. 4, 1-7) Эта же статья на английском
Аннотация: Приводится простой частотный достаточный критерий робастной модальности линейной дискретной системы (ЛДС) и, в частности, робастной устойчивости, который основан на частотном критерии модальности ЛДС.
О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк Эллипсоидальное оценивание по обобщенному критерию // Автоматика и телемеханика. 1991. № 9. с. 133-145. (Перевод: O. N. Kiselev, B. T. Polyak, Ellipsoidal Estimation with respect to a Generalized Criterion, Automation and Remote Control, 1991, 52:9, 1281-1292) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4264, Эта же статья на английском
Аннотация: Для задач оценивания параметров и состояний систем с детерминированными ограниченными помехами предлагается применять эллипсоидальные оценки, оптимальные по обобщенному критерию (ранее в качестве такого критерия выбирался объем эллипсоида). Такой подход позволяет упростить вычисление явных оценок и получать менее “вытянутые” эллипсоиды. Даются методы построения аппроксимации для суммы и пересечения эллипсоидов. Описывается техника перехода от эллипсоидальных оценок к интервальным и обратно.
Н.П. Петров, Б.Т. Поляк Робастное $D$-разбиение // Автоматика и телемеханика. 1991. № 11. с. 41-53. (Перевод: N. P. Petrov, B. T. Polyak, Robust $D$-Partition, Automation and Remote Control, 1991, 52:11, 1513-1523) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4306, Эта же статья на английском
Аннотация: Идея $D$-разбиения (построения двумерной области устойчивости) комбинируется с робастным подходом (проверкой устойчивости систем, отвечающих заданной области в пространстве параметров). Указываются способы построения областей робастной устойчивости по двум параметрам при заданных диапазонах возмущения остальных параметров. Рассмотрены случаи непрерывных и дискретных систем, вещественных и комплексных параметров, а также ситуации, когда параметры нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастная устойчивость линейных систем. ВИНИТИ, 1991. В сборнике Итоги науки и техники. т. 32. С.В. Емельянов (Ред.). с. 3-31.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастная устойчивость линейных дискретных систем // Доклады Академии наук СССР. 1991. т. 316. № 4. с. 842-846. (Перевод: Polyak B. T., Tsypkin Ya. Z. Robust Stability of Discrete Linear Systems, Sov. Phys. Dokl., 1991, Vol. 36, No. 2, 111-113) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастная устойчивость при комплексных возмущениях параметров // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8. с. 45-55. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Robust Stability under Complex Perturbations of the Parameters, Automation and Remote Control, 1991, 52:8, 1069-1077) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4240, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются вопросы устойчивости не полностью определенной системы, которой соответствует семейство характеристических уравнений с коэффициентами, изменяющимися в круге на комплексной плоскости. Приводятся необходимые и достаточные условия робастной устойчивости непрерывных и дискретных линейных систем. Те же вопросы исследуются для замкнутых систем (с фиксированным регулятором и неопределенным объектом). Формулируются критерии проверки робастной степени устойчивости и положительной вещественности. Найдены условия робастной абсолютной устойчивости нелинейных систем.
Б.Т. Поляк Частотные методы в теории робастной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1992. № 1. с. 172-175. (Раздел в статье: Дискуссия по проблеме робастности в системах управления, Автоматика и телемеханика, № 1, 1992, 165-176. Перевод: B.T. Polyak, Frequency Methods in the Theory of Robust Stability Automation and Remote Control, 1992, 53:1, 140-142) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3101, Эта же статья на английском
Аннотация: В дискуссии по проблеме робастности в системах управления, состоявшейся на 11-м Международном конгрессе по автоматическому управлению IFАС (Таллинн, август 1990 г.), приняли участие Ю. Аккерманн, Институт динамики летательных систем, Германия; Б. Бармиш, Университет Висконсин-Мэдисон, США; Т. Башар, Университет Иллинойса, США; A. Вичино, Флорентийский университет, Италия; Э. Джури, Университет Майами, США; B. Кунцевич, Институт кибернетики им. В.М. Глушкова, Киев; Ли Хьонг Вон, Научный университет Фьонгсонг, КНДР; М. Мансур, Швейцарский технологический институт, Цюрих, Швейцария; Б. Поляк, Институт проблем управления АН СССР, Москва; Р. Темпо, Туринский политехнический институт, Италия; В. Харитонов, Ленинградский государственный университет; Я. Цыпкин, Институт проблем управления АН СССР, Москва. С вступительным словом к участникам дискуссий обратился Я. Цыпкин. Ниже публикуются выступления участников дискуссии, представивших к настоящему времени тексты выступлений,
Б.Т. Поляк, А.Б. Цыбаков Семейство асимптотически оптимальных методов выбора порядка проекционной оценки регрессии // Теория вероятностей и ее применение. 1992. т. 37. № 3. с. 502-512. (Перевод: Theory of Probability and its Applications, 1993, Vol. 37, No. 3, 471-481) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/tvp4058, Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастный критерий Найквиста // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. с. 25-31. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Robust Nyquist Test, Automation and Remote Control, 1992, 53:7, 972-977) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3336, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается графический критерий, позволяющий судить об устойчивости семейства замкнутых линейных систем по частотной характеристике номинальной разомкнутой системы и ширине полосы вокруг этой характеристики, описывающей семейство. Рассматриваются два типа неопределенностей - аддитивная и мультипликативная. Формулировки критерия близки к критерию Найквиста для номинальной системы; разница в том, что годограф Найквиста заменяется на модифицированный, а точка 1 - на некоторый круг. Аналогичные критерии применяются к задачам с параметрическое неопределенностью.
О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк Робастная устойчивость цепочки простых звеньев // Автоматика и телемеханика. 1993. № 12. с. 115-127. (Перевод: O. N. Kiselyov, B. T. Polyak, Robust Stability of a Chain of Simple Links, Automation and Remote Control, 1993, 54:12, 1824-1834) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3069, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается проблема устойчивости замкнутой системы, содержащей цепочку простых звеньев с интервальной неопределенностью для постоянных времени каждого звена. В этом случае неопределенные параметры входят в характеристическое уравнение нелинейно и задача не охватывается существующими критериями робастной устойчивости линейных семейств. Предлагается общее необходимое и достаточное условие робастной устойчивости. Оно конкретизируется для ряда частных случаев; особенно простой вид оно приобретает для неперекрывающихся интервалов неопределенности. Приводится также удобное достаточное условие робастной устойчивости.
А.С. Немировский, Б.Т. Поляк Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // Автоматика и телемеханика. 1994. № 11. с. 113-119. (Перевод: A. S. Nemirovskii, B. T. Polyak, Necessary Conditions for the Stability of Polynomials and Their Use, Automation and Remote Control, 1994, 55:11, 1644-1649) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4008, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается единый подход для вывода необходимых условий устойчивости полиномов, опирающийся на результаты Гаусса и Ньютона. На его основе получаются критерии гурвицевости, апериодичности и секторной устойчивости для полиномов с вещественными или комплексными коэффициентами. Они позволяют оценить вероятность того, что случайный полином гурвицев, а также решить ряд задач робастнои устойчивости.
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Робастная апериодичность // Доклады Академии наук. 1994. т. 335. № 3. с. 304-307. (Перевод: B. T. Polyak , Ya. Z. Tsypkin. Robust aperiodicity, Doklady RAN, Phys. Dokl., 1994, Vol. 39, No. 3, 149-152) Эта же статья на английском
О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк Критический коэффициент усиления для последовательности неопределенных звеньев // Автоматика и телемеханика. 1995. № 9. с. 93-103. (Перевод: O. N. Kiselev, B. T. Polyak, Gain Margin for a Cascade of Uncertain Components, Automation and Remote Control, 1995, 56:9, 1278-1286) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3709, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается односвязная система, состоящая из последовательно соединенных звеньев, передаточные функции которых линейно зависят от интервальных параметров. Исследуется вопрос о критическом коэффициенте усиления в цепи обратной связи, гарантирующем робастную устойчивость системы. Предлагается явная формула вычисления этого коэффициента; полученный результат представляется неожиданным, поскольку строение области значений разомкнутой системы весьма сложно. Приводятся результаты вычислений для случаев непрерывного и дискретного времени и для систем с большим числом звеньев.
О. Панченко, Б.Т. Поляк Оценка меры устойчивых полиномов в интервальном семействе // Автоматика и телемеханика. 1995. № 7. с. 108-115. (Перевод: O. B. Panchenko, B. T. Polyak, Estimation of the Measure of Stable Polynomials in an Interval Family, Automation and Remote Control, 1995, 56:7, 997-1003) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3680, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается интервальное семейство полиномов, содержащее как устойчивые (гурвицевы), так и неустойчивые полиномы. Предлагаются методы типа Монте-Карло для оценки меры устойчивых полиномов. Специфика задачи в том, что во многих случаях эта мера очень мала и традиционные методы не позволяют оценить ее. Приводятся результаты численных экспериментов.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Алгоритмы матричного оценивания // Автоматика и телемеханика. 1995. № 11. с. 122-139. (Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, Algorithms of Matrix Estimation, Automation and Remote Control, 1995, 56:11, 1605-1619) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3748, Эта же статья на английском
Аннотация: Изучаются алгоритмы оценивания матриц в различных схемах наблюдения, содержащих случайные помехи. Доказываются теоремы о сходимости методов оценивания, приводятся результаты численного моделирования. Рассматривается процедура искусственного зашумления, позволяющая ослабить требования к точкам проведения наблюдений. Предлагается применение МНК-алгоритма матричного оценивания к задаче поиска корня функции многих переменных.
Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк Робастная устойчивость одного класса систем с распределенными параметрами // Доклады Академии наук. 1995. т. 341. № 4. с. 463-465. (Перевод: Ya. Z. Tsypkin, B. T. Polyak. Robust Stability of a Class of Distributed-Parameter Systems, Dokl. Math., 1995, Vol. 51, No. 2, 304-306) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин Устойчивость и робастная устойчивость однотипных систем // Автоматика и телемеханика. 1996. № 11. с. 91-104. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. Z. Tsypkin, Stability and Robust Stability of Uniform Systems, Automation and Remote Control, 1996, 57:11, 1606-1617) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3518, Эта же статья на английском
Аннотация: Однотипной называется система, состоящая из одинаковых звеньев и усилителей. Характеристическая функция такой системы имеет вид $D(f(s))$, где $D(p)$ - полином, a $f(s)$ - передаточная функция звена. Условие устойчивости записывается в форме $p_i\in H$, $i=1,\dots,n$, где $p_i$ - корни $D(p)$, а область $H$ определяется функцией $f(s)$. Приводится общий критерий робастной устойчивости, когда $D(p)$ и $f(s)$ содержат неопределенности (“принцип исключения нулей”). На его основе получено обобщение теоремы Харитонова и реберной теоремы, разработаны критерии робастной устойчивости при $H^{\infty}$ неопределенности и при произвольных запаздываниях.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. с. 97-108. (Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, A Probabilistic Approach to Robust Stability of Time Delay Systems, Automation and Remote Control, 1996, 57:12, 1770-1779) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at3538, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются семейства непрерывных систем с запаздыванием, содержащие интервальные запаздывания и/или аффинную неопределенность в коэффициентах полиномов. Предлагается простая процедура проверки робастной устойчивости таких систем и определения радиуса робастной устойчивости, основанная на недавно разработанном вероятностном подходе к робастности. На этом пути получено решение задач в традиционно трудных постановках, снят консерватизм имеющихся критериев при вычислений радиуса робастной устойчивости. Вычислительная сложность метода не зависит от количества неопределенностей.
О.Н. Киселев, Х.Л. Лан, Б.Т. Поляк Частотные характеристики при параметрической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1997. № 4. с. 155-174. (Перевод: O. N. Kiselev, Le Hung Lan, B. T. Polyak, Frequency Responses under Parameteric Uncertainty, Automation and Remote Control, 1997, 58:4, 645-661) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at2551, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается техника построения множества значений частотной характеристики при наличии неопределенных параметров. Она основывается на общей теореме о структуре границы образа множества при нелинейном отображении и на понятиях внутренней и внешней границы. Приведены примеры, в которых явно удается построить образ куба при линейных, дробно-линейных, мультилинейных и некоторых других отображениях. Эти результаты имеют многочисленные приложения в задачах робастной устойчивости и управления.
Б.Т. Поляк, О.Б. Панченко Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц // Доклады Академии наук. 1997. т. 353. № 4. с. 456-458. (B. T. Polyak, O. B. Panchenko. Probabilistic Approach to Stability Problem for Interval Matrices) Эта же статья на английском
О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк Cинтез регуляторов низкого порядка по критерию $H^{\infty}$ и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. с. 119-130. (Перевод: O. N. Kiselev, B. T. Polyak, Design of Low-Order Controllers by the $H^\infty$ and Maximal-Robustness Performance Indices, Automation and Remote Control, 1999, 60:3, 393-402) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at63, Эта же статья на английском
Аннотация: Обсуждаются недостатки современных методов синтеза регуляторов на основе $H^{\infty}$-теории (высокий порядок оптимального регулятора, отсутствие робастности по отношению к отклонениям коэффициентов регулятора) и подчеркивается важность проблемы синтеза регуляторов заданной структуры (например, ПИД-регуляторов). Последняя задача не имеет теоретического решения; предлагается применять численные методы. Они основываются на прямой компьютерной оптимизации в двумерном пространстве параметров. Область устойчивости находится с помощью классической техники $D$-разбиения. В качестве критерия оптимальности выбирается либо $H^{\infty}$-критерий, либо радиус робастной устойчивости системы. Вычисления для большого количества примеров, взятых из фундаментальных работ по $H^{\infty}$-синтезу, показывают, что практически тех же значений показателя качества удается добиться с помощью простых регуляторов 1-2 порядка.
Б.Т. Поляк Робастная устойчивость. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 1999. В сборнике Труды Института. т. 5. с. 36-43. ISBN: 5-201-09595-X
А.Н. Вишняков, Б.Т. Поляк Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. с. 112-119. (Перевод: A. N. Vishnyakov, B. T. Polyak, Low-Order Controllers for Discrete Control Systems under Nonrandom Disturbances: A Synthesis Method, Automation and Remote Control, 2000, 61:9, 1515-1521) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at358, Эта же статья на английском
Аннотация: В контексте задачи стабилизации рассмотрены системы управления, подверженные влиянию неслучайных возмущающих воздействий. Предлагается новая процедура оптимального синтеза регуляторов заданного порядка. Изучены случаи помех, ограниченных по $\ell_1$ и $\ell_\infty$ нормам. Пример иллюстрирует качество работы новых систем управления по сравнению с известными.
О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк Минимизация перерегулирования в линейных дискретных системах регуляторами низкого порядка // Автоматика и телемеханика. 2001. № 4. с. 98-108. (Перевод: O. N. Kiselev, B. T. Polyak, Minimization of Overshoot in Linear Discrete-Time Systems via Low-Order Controllers, Automation and Remote Control, 2001, 62:4, 597-606) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1766, Эта же статья на английском
Аннотация: Предложен способ оптимизации переходного процесса для одномерных линейных дискретных систем управления. Он основан на введении целевой функции, являющейся верхней границей максимума модуля ошибки. Ее минимизация приводит к задаче линейного программирования относительно коэффициентов регулятора. Существенно, что таким образом можно синтезировать регуляторы низкого порядка. Рассмотрены различные обобщения задачи, включая ее робастный вариант.
Б.Т. Поляк Локальное программирование // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. т. 41. № 9. с. 1324-1331. (Перевод: Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2001, Vol. 41, No. 9, 1259-1266) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/zvmmf1285, Эта же статья на английском
Аннотация: Класс задач математического программирования с дополнительным ограничением $|x-a|\learepsilon$, назовем локальным программированием. Оказывается, если $a$ является регулярной точкой исходной задачи, а $arepsilon>0$ достаточно мало, то эти задачи обладают свойствами выпуклых, хотя целевая функция и ограничения выпуклыми не предполагаются. Эти свойства основываются на общем принципе выпуклости образа малого шара при нелинейном отображении. Для задач локального программирования строится теория двойственности и специальные методы решения, обладающие высокой скоростью сходимости.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. 2002. № 8. с. 37-53. (Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, Superstable Linear Control Systems. I. Analysis, Automation and Remote Control, 2002, 63:8, 1239-1254) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at2127, Эта же статья на английском
Аннотация: Вводится понятие сверхустойчивости линейных систем управления. Условие сверхустойчивости является достаточным условием устойчивости и формулируется в терминах линейных ограничений на элементы матрицы или коэффициенты характеристического полинома. В первой части статьи исследуются свойства сверхустойчивых систем. Доказывается монотонное экспоненциальное убывание норм решений при отсутствии возмущений и равномерная ограниченность решений при наличии ограниченных возмущений. Описывается обобщение на случай нелинейных и нестационарных систем. Исследуются спектральные свойства сверхустойчивых систем. Получено полное решение проблемы робастной сверхустойчивости интервальных матриц.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // Автоматика и телемеханика. 2002. № 11. с. 56-75. (Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, Superstable Linear Control Systems. II. Design, Automation and Remote Control, 2002, 63:11, 1745-1763) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at2176, Эта же статья на английском
Аннотация: Понятие сверхустойчивости, введенное в [1], используется для синтеза стабилизирующих и оптимальных регуляторов. Показано, что регулятор в форме статической обратной связи по выходу, обеспечивающий сверхустойчивость замкнутой системы, может быть найден (если он существует) с помощью методов линейного программирования; обобщением служит задача об отыскании сверхустойчивой матрицы в данном аффинном семействе. Идеология сверхустойчивости оказывается полезной и при решении задач оптимального и робастного управления. Примерами являются проблема подавления ограниченных возмущений, задача об оптимизации интегрального функционала от модуля (а не квадрата) управления и состояния, а также стабилизация интервального матричного семейства и одновременная стабилизация.
B.T. Polyak Newton-Kantorovich method and its global convergence. ПОМИ, 2004. В сборнике Теория представлений, динамические системы. XI. т. 312. А.М. Вершик (Ред.). с. 256-274. (На английском языке. Англоязычное издание: Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 133, No. 4, 1513-1523) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/znsl783, Эта же статья на английском
Аннотация: В 1948 г. Л. В. Канторович обобщил метод Ньютона для решения нелинейных уравнений на случай функциональных пространств. Это событие трудно переоценить: метод Ньютона-Канторовича стал мощным инструментом как вычислительной, так и чистой математики. Мы рассматриваем основные идеи метода и их историческое развитие, обращая особое внимание на современные обобщения и применения, а также на способы преодоления локальной природы метода. Библ. - 56 назв.
А.В. Назин, С.А. Назин, Б.Т. Поляк О сходимости внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости линейных дискретных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2004. № 8. с. 39-61. (Перевод: A. V. Nazin, S. A. Nazin, B. T. Polyak, On Convergence of External Ellipsoidal Approximations of the Reachability Domains of Discrete Dynamic Linear Systems, Automation and Remote Control, 2004, 65:8, 1210-1230) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1614, Эта же статья на английском
Аннотация: В гарантированном оценивании широко применяется эллипсоидальная техника для аппроксимации областей достижимости динамической системы. В данной работе рассматриваются вопросы внешнего эллипсоидального оценивания текущих и предельного множеств достижимости устойчивой линейной дискретной динамической системы. Для таких систем выписываются рекуррентные алгоритмы оценивания с применением критерия минимальности следа “взвешенной” матрицы эллипсоида и исследуются их предельные свойства.
Б.Т. Поляк Обобщенная сверхустойчивость в теории управления // Автоматика и телемеханика. 2004. № 4. с. 70-80. (Перевод: B. T. Polyak, Extended Superstability in Control Theory, Automation and Remote Control, 2004, 65:4, 567-576) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1556, Эта же статья на английском
Аннотация: Понятие сверхустойчивости, использованное недавно для решения различных проблем робастности и линейной теории управления, обобщено для достижения большей гибкости. Для непрерывного и дискретного случаев введен класс матриц $E$, для которых условие сверхустойчивости выполняется после диагонального преобразования. Системы с такими матрицами обладают кусочно-линейными функциями Ляпунова $V(x)=\max\limits_{i}|x_{i}/d_{i}|$. Такие проблемы, как проверка принадлежности $\widetilde{A}\subset E$ для интервальных матриц, существование такой обратной связи $K$, что $A+BK\in E$, наилучшее покомпонентное оценивание, подавление возмущений, - все они сведены к задачам линейного программирования, а потому легко решаемы. Для решения возникающих линейных неравенств предложены эффективные численные методы.
С. Ефремов, Б.Т. Поляк Синхронизация хаотических систем c помощью прогнозирующего управления // Автоматика и телемеханика. 2005. № 12. с. 40-50. (Перевод: S. V. Efremov, B. T. Polyak, Using Predictive Control to Synchronize Chaotic Systems, Automation and Remote Control, 2005, 66:12, 1905-1915) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1474, Эта же статья на английском
Аннотация: Предложен метод синхронизации нескольких одинаковых хаотических систем с помощью нового типа управления. Он основан на прогнозировании траекторий каждой из нелинейных систем и корректировании их в зависимости от отклонения прогноза от желаемого значения. Предлагаются три типа управления: с глобальным взаимодействием между системами, с локальным взаимодействием и с одним ведущим осциллятором, влияющим на остальные. После синхронизации все системы совершают одинаковые хаотические движения. Главной особенностью метода является низкий уровень управляющего воздействия, в принципе, управление можно сделать сколь угодно малым. Численное моделирование подтвердило высокую эффективность метода для любого числа осцилляторов.
Б.Т. Поляк Рандомизированные алгоритмы решения выпуклых неравенств. Издательство С.-Петербургского Университета, 2005. В сборнике Стохастическая оптимизация в информатике. О. Граничин (Ред.). с. 150-169. Cсылка: http://www.math.spbu.ru/user/gran/sb1/SB1.htm, ISBN: 5-288-03700-0
Аннотация: Предлагается случайный субградиентный метод решения общей задачи совместности выпуклых неравенств с большим (или бесконечным) числом неравенств. При условии строгой разрешимости метод сходится к решению за конечное число шагов с вероятностью единица. Также предлагается сходящаяся версия метода для случая несовместной системы. Алгоритм может применяться к решению линейных матричных неравенств, возникающих в задачах теории управления. Численное моделирование показывает высокую эффективность метода для задач большой размерности.
Б.Т. Поляк Стабилизация хаоса с помощью прогнозирующего управления // Автоматика и телемеханика. 2005. № 11. с. 99-112. (Перевод: B. T. Polyak, Stabilizing Chaos with Predictive Control, Automation and Remote Control, 2005, 66:11, 1791-1804) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1464, Эта же статья на английском
Аннотация: Предложен новый подход к управлению хаосом в нелинейных дискретных автономных системах. Желаемая неустойчивая периодическая орбита стабилизируется с помощью малого управления, использующего предсказанную траекторию системы. При этом точное знание цикла не требуется, важно лишь его существование. Разработанный метод обоснован для одномерных и многомерных отображений; его эффективность демонстрируется численным моделированием известных из литературы отображений: логистического, треугольного, кубического, отображения Хенона. Алгоритм прост в реализации, однако его применение ограничено системами, в которых отсутствуют внешние возмущения и неопределенность в модели. Метод представляется весьма перспективным и может найти широкое применение.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. с. 7-46. (Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, Hard Problems in Linear Control Theory: Possible Approaches to Solution, Automation and Remote Control, 2005, 66:5, 681-718) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1366, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются некоторые важные задачи линейной теории управления, допускающие простую формулировку, но эффективные методы решения которых неизвестны. Эти проблемы относятся как к классической теории линейных систем, так и к робастной теории, т.е. при наличии неопределенности в описании системы. Обсуждаются методы их решения, приводятся численные примеры.
Б.Т. Поляк, С.А. Назин Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интервальной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. 2006. № 1-2. с. 103-115. (Перевод: Polyak, B. T., Nazin, S. A. Estimation of Parameters in Linear Multidimensional Systems under Interval Uncertainty Journal of Automation and Information Sciences, 2006, Vol. 38, No. 2, 19-33) Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается метод построения оценок параметров линейных многомерных систем с интервальной неопределенностью в данных. Наряду с аддитивной составляющей из-за ошибок измерений в модели предполагается наличие мультипликативной матричной неопределенности, что позволяет рассматривать более широкий класс объектов с неопределенной структурой. Для таких моделей строятся внешние интервальные аппроксимации невыпуклых информационных множеств. Метод их построения основан на решении интервальных систем линейных алгебраических уравнений и дает возможность строить параметрические оценки для статических моделей с большим числом измерений. Ил. 6. Библиогр.: 28 назв.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Рандомизированный метод решения задач полуопределенного программирования. Издательство С.-Петербургского Университета, 2006. В сборнике Стохастическая оптимизация в информатике. т. 2. О. Граничин (Ред.). с. 38-70. Cсылка: http://www.math.spbu.ru/user/gran/sb2/SB2.htm
Аннотация: Предлагается новый итеративный метод решения задач полуопределенного программирования. Метод относится к классу методов отсекающей гиперплоскости, проводимой через центр тяжести выпуклого множества. Для приближенного отыскания центра тяжести на каждом шаге в допустимой области генерируется равномерное распределение с помощью техники Hit-and-Run и ее модификаций. Обсуждаются робастные постановки задачи, когда в матричных коэффициентах присутствует неопределенность. Работа алгоритма иллюстрируется многочисленными примерами и сравнивается с результатами, полученными при использовании функции solvesdp из пакета Yalmip.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Техника $D$-разбиения при решении линейных матричных неравенств // Автоматика и телемеханика. 2006. № 11. с. 159-174.(Перевод: B. T. Polyak, P. S. Shcherbakov, The $D$-decomposition Technique for Linear Matrix Inequalities, Automation and Remote Control, 2006, 67:11, 1847-1861) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1301, Эта же статья на английском
Аннотация: В развитие теории линейных матричных неравенств предлагается метод определения всех областей в пространстве параметров, внутри которых аффинное семейство симметричных матриц имеет фиксированное количество собственных значений одного знака. Подход основан на идеях $D$-разбиения и особенно эффективен в задачах с малым числом параметров. Рассматриваются обобщения метода и его модификации на задачи с неопределенностью.
Е.Н. Грязина, Б.Т. Поляк Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автоматика и телемеханика. 2007. № 12. с. 38-52. (Перевод: E. N. Gryazina, B. T. Polyak, A. A. Tremba, Design of the Low-order Controllers by the $H_\infty$ Criterion: A Parametric Approach, Automation and Remote Control, 2007, 68:12, 2128-2141) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1090, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматриваются характеристические полиномы с аффинной неопределенностью специального вида. Показано, что для такого семейства область устойчивости в пространстве параметров является объединением многогранников. Предложен простой способ выделения области устойчивости и нахождения радиуса устойчивости при различной норме неопределенности для непрерывных и дискретных систем. Эффективность предложенного метода подтверждается примерами.
Е.Н. Грязина, Б.Т. Поляк, А.А. Тремба Синтез регуляторов низкого порядка по критерию $H_\infty$: параметрический подход // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. с. 94-105. (Перевод: E. N. Gryazina, B. T. Polyak, A. A. Tremba, Design of the Low-order Controllers by the $H_\infty$ Criterion: A Parametric Approach, Automation and Remote Control, 2007, 68:3, 456-466) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at955, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача описания всех стабилизирующих регуляторов заданной структуры (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию $H_\infty$. Регуляторы семейства определяются параметрами $\mathbf{k}$, и в пространстве параметров выделяется область, соответствующая требуемым критериям. Предлагаются два подхода: в первом искомая область представляется как пересечение допустимых множеств, а в другом аналитически находится ее граница. Случай двух параметров особенно важен, он позволяет использовать графические методы.
С.А. Назин, Б.Т. Поляк Параметрическое оценивание методом эллипсоидов в линейных многомерных системах с неопределенным описанием модели // Автоматика и телемеханика. 2007. № 6. с. 67-80. (Перевод: S. A. Nazin, B. T. Polyak, Ellipsoid-based Parametric Estimation in the Linear Multidimensional Systems with Uncertain Model Description, Automation and Remote Control, 2007, 68:6, 993-1005) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1002, Эта же статья на английском
Аннотация: В рамках эллипсоидального подхода к задачам гарантированного оценивания рассматривается проблема параметрического оценивания в условиях неопределенности описания модели объекта. Неизвестный многомерный объект, вектор параметров которого требуется оценить, предполагается линейным и статическим, а его модель “вход-выход” - содержащей как аддитивную, так и мультипликативную составляющие неопределенности. По результатам наблюдений строятся внешние эллипсоидальные аппроксимации невыпуклых информационных множеств, гарантирующих содержание вектора возможных значений параметров объекта. Метод их построения сводится к задаче полуопределенного программирования, т.е. к минимизации линейной функции при ограничениях в виде линейных матричных неравенств, легко реализующихся численными методами.
С.А. Назин, Б.Т. Поляк, М.В. Топунов Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. с. 106-125. (Перевод: S. A. Nazin, B. T. Polyak, M. V. Topunov, Rejection of Bounded Exogenous Disturbances by the Method of Invariant Ellipsoids, Automation and Remote Control, 2007, 68:3, 467-486) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at956, Эта же статья на английском
Аннотация: Задача о подавлении ограниченных внешних возмущений впервые рассматривалась в $l_1$-оптимизации. В данной работе предлагается новый подход к этой проблеме на основе метода инвариантных эллипсоидов. Главным инструментом при этом является техника линейных матричных неравенств. Рассмотрен непрерывный и дискретный варианты задачи. В качестве примера исследуется управление “двойным маятником”.
Е.Н. Грязина, Б.Т. Поляк, А.А. Тремба Современное состояние метода $D$-разбиения // Автоматика и телемеханика. 2008. № 12. с. 3-40. (Перевод: E. N. Gryazina, B. T. Polyak, A. A. Tremba, $D$-decomposition Technique State-of-the-art, Automation and Remote Control, 2008, Vol. 69, No. 12, 1991-2026) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at761, Эта же статья на английском
Аннотация: Предлагается обзор последних обобщений и новых областей применения классического метода $D$-разбиения. Для систем с одним входом или одним выходом и параметрами, линейно входящими в характеристический полином, исследуется структура разбиения пространства параметров на области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома. Рассматривается $D$-разбиение для полиномов с неопределенностью, а также задача описания всех стабилизирующих регуляторов заданной структуры (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию $H_\infty$. Показано, что техника $D$-разбиения имеет естественное описание в рамках $M-\Delta$-конфигурации, общей схемы анализа задач с неопределенностями, и применима для описания допустимых множеств линейных матричных неравенств. Указывается на возможность применения метода $D$-разбиения для робастного синтеза управления в линейных системах.
Б.Т. Поляк, М.В. Топунов Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. 2008. № 5. с. 72-90. (Перевод: B. T. Polyak, M. V. Topunov, Suppression of Bounded Exogenous Disturbances: Output Feedback, Automation and Remote Control, 2008, 69:5, 801-818) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at658, Эта же статья на английском
Аннотация: Работа посвящена задаче подавления ограниченных внешних возмущений. В ней рассматривается синтез статической обратной связи по выходу, которая минимизирует размер инвариантных эллипсоидов динамической системы. Задачи анализа и синтеза управления сводятся к эквивалентным условиям в виде линейных матричных неравенств и задаче полуопределенного программирования. При этом используется оценка состояния, получаемая с помощью наблюдателя Люенбергера.
Б.Т. Поляк, М.В. Топунов Фильтрация при неслучайных возмущениях: Метод инвариантных эллипсоидов // Доклады Академии наук. 2008. т. 418. № 6. с. 749-753. (Перевод: B. T. Polyak, M. V. Topunov, Filtering under Nonrandom Disturbances: The Method of Invariant Ellipsoids, Doklady Mathematics, 2008, 77:1, pp. 158-162) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Mножества достижимости и притяжения линейных систем с ограниченным управлением: описание с помощью инвариантных эллипсоидов. Издательство С.-Петербургского Университета, 2008. В сборнике Стохастическая оптимизация в информатике. т. 4. О. Граничин (Ред.). с. 3-24. Cсылка: http://www.math.spbu.ru/user/gran/soi4/SOI4.htm, Эта же статья на английском
Аннотация: Исследуется задача описания множеств достижимости и притяжения линейной системы, заданной в пространстве состояний. Рассматриваются ограниченные управления в виде линейной обратной связи по состоянию, а также управления с насыщением. Множества достижимости и притяжения таких систем описываются в терминах инвариантных эллипсоидов с применением техники линейных матричных неравенств и задач полуопределенного программирования. Для управлений с насыщением используется идеология теории абсолютной устойчивости.
А.В. Назин, Б.Т. Поляк Рандомизированный алгоритм нахождения собственного вектора стохастической матрицы с приложением к PageRank // Доклады Академии наук. 2009. т. 426. № 6. с. 734-737. (Перевод: A. V. Nazin, B. T. Polyak, The Randomized Algorithm for Finding an Eigenvector of the Stochastic Matrix with Application to PageRank, Doklady Mathematics, 2009, 79:3, pp. 424-427) Эта же статья на английском
Б.Т. Поляк Развитие теории автоматического управления // Проблемы управления. 2009. № 3.1. с. 13-18. Cсылка: http://mi.mathnet.ru/pu117
Аннотация: Рассмотрена история развития теории автоматического управления в Институте проблем управления с момента его создания по настоящее время. Упоминаются крупнейшие ученые Института, внесшие большой вклад в становление науки об управлении. Кратко обсуждены современные направления исследований.
А.В. Назин, Б.Т. Поляк Рандомизированный алгоритм нахождения собственного вектора стохастической матрицы с применением к задаче PageRank // Автоматика и телемеханика. 2011. № 2. с. 131-141. (Перевод: A. V. Nazin, B. T. Polyak, Randomized Algorithm to Determine the Eigenvector of a Stochastic Matrix with Application to the PageRank Problem, Automation and Remote Control, 2011, Vol. 72, No. 2, 342-352) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at1290, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача оценивания собственного вектора, соответствующего наибольшему собственному значению стохастической матрицы. Известны многочисленные ее приложения, возникающие при ранжировании результатов поиска, согласованности действий мультиагентных систем, при управлении в сетях и анализе данных. Стандартная техника решения этой задачи сводится к степенному методу, но при дополнительной регуляризации исходной матрицы. Предлагается новый рандомизированный алгоритм и обосновывается равномерная (во всем классе стохастических матриц данной размерности) верхняя граница скорости сходимости вида $C\sqrt{\ln(N)/n}$, где $C$ - абсолютная постоянная, $N$ - размерность, а $n$ - число итераций. Эта граница представляется обнадеживающей, поскольку величина $\ln(N)$ совсем не велика для очень большой размерности. Алгоритм основан на методе зеркального спуска для задач выпуклой стохастической оптимизации. Обсуждается возможность применения метода к задаче PageRank о ранжировании страниц в Интернете.
М.В. Хлебников, Б.Т. Поляк, В.М. Кунцевич Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. с. 9-59. (Перевод: M. V. Khlebnikov, B. T. Polyak, V. M. Kuntsevich, Optimization of Linear Systems Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellipsoid Technique, Automation and Remote Control, 2011, Vol. 72, No. 11, 2227-2275) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at2859, Эта же статья на английском
Аннотация: В обзоре рассмотрены результаты, связанные с задачей управления при произвольных ограниченных внешних возмущениях. Метод инвариантных эллипсоидов сводит синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эллипсоида замкнутой динамической системы. Главным инструментом при этом является техника линейных матричных неравенств. Простой и универсальный подход имеет большой потенциал и возможности для обобщений; он в равной мере распространим как на непрерывный, так и на дискретный вариант задачи.
Б.Т. Поляк, А.А. Тремба Решение задачи PageRank для больших матриц с помощью регуляризации // Автоматика и телемеханика. 2012. № 11. с. 144-166. (Перевод: B. T. Polyak, A. A. Tremba, Regularization-based Solution of the PageRank Problem for Large Matrices, Automation and Remote Control, 2012, Vol. 73, No. 11, 1877-1894) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at4077, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается задача нахождения собственного вектора стохастической по столбцам матрицы, соответствующего единичному собственному значению. Такая задача возникает во многих приложениях, в частности при ранжировании веб-страниц (PageRank). Поскольку особый интерес вызывает задача PageRank для больших матриц, акцент сделан на прямом итеративном методе вычисления собственного вектора - степенном методе. Сравниваются несколько вариантов регуляризации степенного метода, изучается их связь. Приведены особенности реализации методов.
Б.Т. Поляк Наукометрия: кого мы лечим? // Управление большими системами. 2013. т. 44. с. 161-170. Cсылка: http://mi.mathnet.ru/ubs693
Аннотация: Статья является откликом на полемическую работу П.Ю. Чеботарева [4]. Подчеркивается, что ситуация с наукометрическими показателями в западной и российской науке кардинально различается и их роль в отечественных условиях может быть позитивной.
Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков Нелинейные системы с ограниченными или мулитипликативными возмущениями. Физматлит, 2013. В сборнике Проблемы устойчивости и управления. с. 270-299. (Сборник научных статей, посвященный 80-летию академика Владимира Мефодьевича Матросова) ISBN: 978-5-94052-230-0
Аннотация: Рассматриваются нелинейные системы управления, подверженные воздействию ограниченных или мультипликативных внешних возмущений. На основе метода инвариантных эллипсоидов и систематическом применении техники линейных матричных неравенств предлагается подход к задаче подавления таких возмущений с помощью статической линейной обратной связи по состоянию.
Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков Разреженная обратная связь в линейных системах управления // Автоматика и телемеханика. 2014. № 12. с. 13-27. (Перевод: B. T. Polyak, M. V. Khlebnikov, P. S. Shcherbakov, Sparse feedback in linear control systems, Automation and Remote Control, 2014, Vol. 75, No. 12, 2099-2111) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at14160, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается классическая задача синтеза стабилизирующей статической линейной обратной связи в линейной системе $\dot{x} = Ax + Bu$ при нестандартном ограничении, состоящим в том, чтобы вектор управления $u=Kx$ имел возможно большее число нулевых компонент. Предлагается простой подход к приближенному решению такого рода невыпуклых задач путем их овыпукления. В результате задача сводится к минимизации специальных матричных норм при ограничениях, имеющих вид линейных матричных неравенств. Подход может быть распространен на многочисленные задачи робастного и оптимального управления, допускающие “разреженную” переформулировку. Новым является не только решение, но и сама постановка задачи.
Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков Почему метод Монте-Карло неэффективен в оптимизационных задачах большой размерности?. Издательство С.-Петербургского Университета, 2014. В сборнике Стохастическая оптимизация в информатике. т. 10. О. Граничин (Ред.). с. 89-100. Cсылка: http://www.math.spbu.ru/user/gran/soi10_1/sb10_1.htm, Эта же статья на английском
Аннотация: Ответ на вопрос, вынесенный в заглавие статьи, дается на примере минимизации линейных функций на n-мерном шаре.
Б.Т. Поляк, А.А. Тремба, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков, Г.В. Смирнов Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях // Автоматика и телемеханика. 2015. № 6. с. 18-41. (Перевод: B. T. Polyak, A. A. Tremba, M. V. Khlebnikov, P. S. Shcherbakov, G. V. Smirnov, Large deviations in linear control systems with nonzero initial conditions, Automation and Remote Control, 2015, Vol. 76, No. 6, 957-976) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at14242, Эта же статья на английском
Аннотация: Исследования переходных режимов в линейных системах при ненулевых начальных условиях были начаты еще в 1948 г. в пионерской работе А.А. Фельдбаума [1]. Однако затем эта линия исследований не получила должного развития; под переходными процессами в основном понимались реакции системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях. Существенным прорывом стала статья Р.Н. Измайлова [2], где показана неизбежность больших отклонений траектории от нуля, если полюса замкнутой системы сильно сдвинуты в левую полуплоскость комплексной плоскости. В статье продолжено изучение этого явления при ненулевых начальных условиях, оценена более точно величина всплеска и показано, что эффект больших отклонений возникает и при других расположениях полюсов. Оценивается и верхняя граница для отклонений с помощью техники линейных матричных неравенств. Этот же подход предлагается для уменьшения величины отклонений при стабилизации системы с помощью линейной обратной связи. Исследуются родственные задачи анализа переходного режима при нулевых начальных условиях и внешних возмущениях (единичном скачке или гармонических).
Б.Т. Поляк, О.Н. Кузнецов, В.В. Чумаченко Исследование устойчивости энергосистемы с однополярным электромагнитным тормозом // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. с. 58-69. (Перевод: B. T. Polyak, O. N. Kuznetsov, V. V. Chumachenko, Stability study of a power system with unipolar electromagnetic brake Automation and Remote Control, 2016, Vol. 77, No. 9, 1557-1566) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at14549, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих простейшую энергосистему с установкой устройства однополярного действия – электромагнитного тормоза (ЭМТ). Изучено поведение системы при отсутствии ЭМТ и при его наличии. Доказана локальная асимптотическая устойчивость системы с ЭМТ путем построения специальной функции Ляпунова.
Б.Т. Поляк, Я.И. Квинто Устойчивость и синхронизация осцилляторов: новые функции Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 2017. № 7. с. 76-85. (Перевод: B. T. Polyak, Ya. I. Kvinto, Stability and synchronization of oscillators: new Lyapunov functions, Automation and Remote Control, 2017, Vol. 78, No. 7, 1234-1242) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at14583, Эта же статья на английском
Аннотация: Анализ асимптотической устойчивости нелинейного осциллятора – одна из классических задач теории колебаний. Обычно она решается с помощью функции Ляпунова, равной полной энергии системы. Однако при этом приходится привлекать теорему Барбашина–Красовского и не удается получить оценку скорости сходимости к положению равновесия. Предлагается использовать иную функцию Ляпунова, не имеющую непосредственного физического смысла. С ее помощью оценивается как скорость сходимости, так и область притяжения точки равновесия. Этот результат позволяет также исследовать проблему синхронизации колебаний двух осцилляторов. Выясняется, в каких случаях имеет место частотная синхронизация, а в каких – еще и фазовая синхронизация. Обсуждается возможность обобщения на произвольное число осцилляторов – важная задача для анализа энергосистем.
Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников Метод главных компонент: Робастные версии // Автоматика и телемеханика. 2017. № 3. с. 130-148. (Перевод: B. T. Polyak, M. V. Khlebnikov, Principle component analysis: Robust versions, Automation and Remote Control, 2017, Vol. 78, No. 3, 490-506) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at14465, Эта же статья на английском
Аннотация: В современных задачах оптимизации, оценивания, обработки сигналов и изображений, распознавания образов приходится иметь дело с данными огромной размерности, что вызывает потребность в разработке эффективных методов и алгоритмов обработки таких данных. Важной идеей современного анализа данных является построение маломерных аппроксимаций задач большой размерности. Одним из наиболее популярных методов компактного представления данных является статистический метод главных компонент, который, однако, чувствителен к неточностям исходных данных и к выбросам. В статье предлагаются варианты робастной версии метода главных компонент и численные методы их реализации.
Б.Т. Поляк, Г.В. Смирнов Переходные процессы в матричных дискретных линейных системах // Автоматика и телемеханика. 2019. № 9. с. 112-121. (Перевод: B. T. Polyak, G. V. Smirnov, Transient response in matrix discrete-time linear systems, Automation and Remote Control, 2019, Vol. 80, No. 9, 1645-1652) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at15344, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается поведение траекторий многомерных линейных дискретных систем при ненулевых начальных условиях для двух случаев. Первый — системы с бесконечной степенью устойчивости (процессы конечной длительности), второй — устойчивые системы со спектральным радиусом, близким к единице. Показано, что в обоих случаях возможны большие уклонения траекторий от положения равновесия. Применение этих результатов к ускоренным методам безусловной оптимизации (типа метода тяжелого шарика) поясняет наблюдавшееся в экспериментах немонотонное поведение этих методов.
Б.Т. Поляк, Л.А. Шалби Стабилизация космического аппарата в точках Лагранжа с минимальным расходом топлива // Автоматика и телемеханика. 2019. № 12. с. 160-172. (Перевод: B. T. Polyak, L. A. Shalby, Minimum fuel-consumption stabilization of a spacecraft at the Lagrangian points, Automation and Remote Control, 2019, Vol. 80, No. 12, 2217-2228) Cсылка: http://mi.mathnet.ru/at15226, Эта же статья на английском
Аннотация: Рассматривается движение космического аппарата (КА), описываемое дифференциальными уравнениями задачи трех тел для системы Земля — Луна. Цель состоит в том, чтобы стабилизировать его в окрестности коллинеарных лагранжевых точках, которые являются неустойчивыми точками равновесия, с помощью управления с минимальным расходом топлива. Используемый метод — это l1-оптимизация для линеаризованных и дискретизированных уравнений с терминальными условиями, равными точке назначения. Таким образом, задача преобразуется в задачу линейного программирования, и ее решение определяет импульсные управления для исходных уравнений трех тел. После этого КА на некоторое время остается в неконтролируемом полете, пока его отклонение от лагранжевой точки не превысит некоторого порога. Затем коррекция повторяется, тем самым КА удерживается в небольшой окрестности неустойчивой точки равновесия.
Б.Т. Поляк, И.Ф. Фатхуллин Применение проективного покоординатного спуска в задаче Фекете // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. т. 60. № 5. с. 815-827. (Перевод: to appear) DOI: 10.31857/S0044466920050129, Cсылка: https://sciencejournals.ru/view-article/?j=vychmat&y=2020&v=60&n=5&a=VychMat2005012Polyak
Аннотация: Рассматривается задача минимизации энергии системы из N точек, на поверхности сферы в R^3, взаимодействующих с потенциалом U = 1/r^s, s > 0, где r – евклидово расстояние между парой точек. В работе предлагается метод проективного покоординатного спуска, использующий быстрый счет функции и градиента, а также покоординатный метод второго порядка, который достаточно быстро приближается к известным из литературы минимальным значениям.