My work lies in differential geometry in the tradition of Élie Cartan: moving frames, structure equations, and geometric structures modeled on Lie groups and homogeneous spaces. A recurring theme is that, in special geometric problems, Cartan's structure equations acquire a spectral parameter and become integrable systems.
International students who are interested in differential geometry, surface theory, integrable systems, harmonic maps, geometric structures, Hessian geometry, information geometry, or optimization are welcome to contact me.
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修士課程では、最初から専門的な知識を仮定するわけではありません。線形代数、微積分、常微分方程式、複素解析などの基礎から出発し、学生の興味と準備に応じて、具体的な曲面・曲線・微分方程式の計算からテーマを決めていきます。
私の研究は、エリー・カルタン以来の微分幾何の流れ、すなわち moving frame、構造方程式、リー群・等質空間をモデルとする幾何構造の研究に根ざしています。とくに、古典的な幾何学的問題において、カルタンの構造方程式がスペクトルパラメータを伴って変形され、可積分系として現れる現象に関心を持っています。
微分幾何学では、曲線、曲面、多様体などの「曲がった空間」を、曲率、接続、微分形式、Lie 群、微分方程式などを用いて調べます。私の研究室では、平均曲率一定曲面、ガウス曲率一定曲面、曲線の時間発展、戸田格子、sine-Gordon 方程式、sinh-Gordon 方程式、調和写像、統計多様体、凸最適化など、幾何と微分方程式が交わるテーマを扱っています。
これらの対象は一見すると異なる分野に属するように見えますが、背後には moving frame、Lie 群、flat connection、可積分系、幾何構造といった共通の考え方があります。具体的な曲面や曲線の研究から出発し、その背後にある構造を理解することを目指しています。
・平均曲率一定曲面・極小曲面・ガウス曲率一定曲面
・曲線の時間発展とソリトン方程式
・戸田格子、sine-Gordon 方程式、sinh-Gordon 方程式
・調和写像と可積分系
・等質空間の幾何
・Lorentz 空間・Minkowski 空間内の曲面
・Hessian 幾何・情報幾何・凸最適化
・アフィン微分幾何と対称錐
・幾何構造と Cartan geometry
具体的な曲面や曲線の研究から出発し、必要に応じて Lie 群、微分形式、Riemann 幾何、可積分系、flat connection、幾何構造などを学びます。
・周期戸田格子の楕円関数解とポンスレの定理（2025）
・sine-Gordon, sinh-Gordon, Pohlmeyer–Lund–Regge 方程式の準周期解の存在について（2024）
・有限非周期戸田格子について（2024）
・共役対称統計多様体について（2022）
・渦糸ソリトンの安定性について（2021）
・自己調和障壁関数による凸最適化問題（2020）
・3次元ミンコフスキー空間の空間的平均曲率一定曲面の表現公式について（2018）
・3次元ミンコフスキー空間における一方の曲率線が平面曲線である空間的な平均曲率一定曲面について（2018）
・曲線の時間発展のベックルンド変換とソリトン方程式（2016）
・3次元定曲率空間形における平均曲率一定回転面の構成法について（2013）
これらのテーマは、いずれも具体的な計算から始めることができます。一方で、深く進むと可積分系、Lie 群、調和写像、幾何構造などの現代的な理論へつながります。
・Homogeneous structures of 3-dimensional Riemannian manifolds（2025）
博士課程では、修士課程よりもさらに深く、等質空間、接続、曲率、Lie 群の作用、幾何構造などを扱い、独自の研究成果を得ることを目指します。
修士課程では、最初から高度な抽象理論を知っている必要はありません。線形代数、微積分、多変数解析、常微分方程式、複素解析などを基礎として、一つのテーマを丁寧に理解することを重視します。必要に応じて、多様体、微分形式、Lie 群、Riemann 幾何、可積分系などを学んでいきます。
博士課程では、より抽象的な幾何構造、等質空間、接続、曲率、Lie 群の作用などを扱い、独自の研究成果を得ることを目指します。
研究では、文献を正確に読み、具体例を計算し、自分の言葉で説明し、論理的に文章を書く力を身につけることを目標にします。必要に応じて、多様体、微分形式、Lie 群、Riemann 幾何、可積分系などを学んでいきます。
興味と準備のある学生は、具体的な曲面や可積分系の計算から出発して、調和写像、flat connection、DPW 法、Cartan geometry、幾何構造などの現代的な理論へ進むこともできます。
図形、曲率、対称性、微分方程式、ソリトン、最適化、統計多様体などに興味のある学生を歓迎します。