Hyrje

Gjeometria është degë e matematikës që i studion figurat e rrafshit dhe hapësirës dhe relacionet në mes tyre. Fjala gjeometri vjen nga greqishtja dhe ka kuptimin "matje e tokës" këtë fjalë e krijoi Herodoti.

Me kalimin e shekujve gjeometria është bërë një kompleks studimesh dhe kërkimesh shumë të gjëra dhe shumë të pasura. Koha se kur ka "lindur" gjeometria si shkencë sipas Euklidit është shekulli i III-të.Kontribute në gjeometri kanë dhënë edhe matematikanët Arkimedi dhe Apolloni i Perges. Në Egjipt rreth lumit Nil pas vërshimeve zhdukeshin kufijtë e parcelave dhe për këtë arsye njeriu u detyrua që ti rindante prapë ato dhe për këto duheshin njohje të disa rregullave të cilat të përmbledhura e morën emrin gjeometri.

Në shekullin e XVI-të gjeometria merr karakter algjebrik, që përgatiste rrugën për në gjeometrinë analitike e shtruar nga Fermat dhe Cartesiusi (Descartesi). Një ndarje e studimit të gjeometrisë sipas degëve të ndryshme ndodh në shekullin e XIX-të. Në këtë periudhë bëjnë pjesë Gaspard Monge, Edouard Poncelet, Chasles, Steiner, Plücker, Staudt të tjerë si Grassmann, Jacobi, Cayley e Sylvester zhvillojnë gjeometrinë hiperspaciale. Gaussi dhe Riemanni praktikojnë gjeometrinë diferenciale.

*Njohuri historike mbi zhvillimin e gjeometrisë

Shkrimi I parë që përmban fakte të thjeshta gjometrike është gjetur në Egjipt dhe është I shek. XVII p.e.s. Në të përmbanhen rregullat e njehsimit të syprinave të disa figurave dhe vëllimeve të disa trupave. Këto rregulla ishin marrë me rrugë gjeometrike pa asnjë vërtetim logjik të vërtetësisë së tyre. Krijimi I gjeometrisë si shkencë matematike ndodhi më vonë dhe lidhet me emrat dijetarëve grek Tales (625-547 p.e.s ), Pitagora (580-500 p.e.s), Demokriti (460-370 p.e.s) dhe Euklid (shek. III p.e.s) etj. Në veprën e shquar të Euklidit “Bazat “ ishin sistemuar faktet kryesore gjeometrike që njiheshin në atë kohë. Më kryesore është se në “Bazat “ u zhvillua mënyra aksiomatike e ndërtimit të gjeometrisë, e cila konsiston në atë që ne fillim formulohen tezat kryesore (aksiomat) dhe pastaj mbi bazën e tyre, nëpërmjet arsyetimeve vërtetohen fjalitë e tjera (toremat). Rezultatet e marra përdoren sin ë praktikë ashtu edhe ne studimet e mëtejshme shkencore. Disa nga aksimoat e propozuara nga Euklidi përdoren tani në kurset e gjeometrisë disa kanë formlime të ndryshuara, si p.sh “ Nëpër cdo dy pika kalon një drejtëz dhe vetëm një “. Kontribut të madh në studimin e mëtejshëm të cështjeve të ndryshme të gjeomterisë sollën Arkimedi (287-212 p.e.s), Apolloni (shek III p.e.s) dhe dijetarë të tjerë të antikitetit grek. Një etapë cilsisht e re në zhvillimin e gjeometrisë filloi vetëm shumë shekuj më vonë, në shek. XVII të erës sonë dhe ishte lidhur me arritjet e deriatëhershme të algjebrës. Matematikani dhe filozoi I shquar rancez R.Dekart (1596-1650) propozoi një qasje të re për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Në veprën e tij “ Gjeometria “ (1637) ai futi metodën e koordinatave duke lidhur gjeometrinë me algjebrën, gjë që lejoi të zgjidhen shumë problem gjeometrike me metoda algjebrike.

Në zhvillimin e gjeometrisë një rol të rëndësishëm luajti aksioma, e cila në “Bazat “ e Euklidit quhej postulate I pestë. Ormulimi I tij tek Euklidi është mjat I ndrelikuar: “ Nëse drejtëza që prêt dy drejtëza ormon dy kënde të njëanshëm të brendshëm me shumë më të vogel se 2d, atëher ato drejtëza do të priten në atë anë “. Prandaj zakonisht atë e zëvendësojmë me një aksiomë ekuivalente të drejtëzave paralele. “Nëper pikën që nu shtrihet në nje drejtëz të dhënë kalon vetëm një drjetëz paralele me të dhënën” Për shumë shekuj përpjekjet e një numri të madh shkencëtarësh u drejtuan në vërtetimin e postulatit të pestë. Kjo shpjegohej me të që numri I aksiomave synohej të cohej në minimum. Duke u bazuar në aksiomat e tjera. Në fund të shek. XVIII, tek disa gjeometra lindi mendimi për pamundësinë e vërtetimit të postulatit V. ata e zëvendësuat postulatin V me të kundërtin e tij; “ Nëpër një pikë qe nuk shtrihet në drejtëz mund të hoqen të paktën dy drejtëza qe nuk e presin atë”. Gjeometria e ndëruar mbi këtë system të ri aksiomash është -joeuklidiane. Harutes të saj janë Gauss (1777-1855). Boljai (1802-1860) dhe Llobacevski (1792-1856). Vërtetësia e njërës apo tjetrës gjeometri mund të përcaktohet vetëm me rrugë ekspirimentale. Shkenca sot ka treguar që gjeomatria euklidiane vetëm që na rretho, kurse në përmaza kozmike ajo ka një devijim të dukshëm nga gjeomatria e hapsirës reale.

Rrethi dhe tangjentja e tij Më e thjeshta nga vijat e lakuara, rrethi, është nga figurat më të lashta që njihet në gjeometri. Për qindra vjet, deri në shek. XVII, astronomët mendonin që planetët lebizin rreth Dielit sipas rrathësh, sic mendonte Aristoteli. Babilionasit dhe indianët e lashtë konsideronin si element më të rëndëishëm të rrethit pikërisht rrezen e tij (latinisht radius). Grekët e lashtë nuk e përdorin jalën rreze. Euklidi dhe pasuesot e tij flisnin për “drejtëz nga qendra “. Fjala “rreze “ në trajtën latine “radius “ për herë të parë haste në veprën “ Gjeometria “ të dijetarit rancez Ramus në vitin 1569; ajo filloi të përdorej gjerësisht vetëm në fund të shek. XVII. Fjala “kordë” (nga greqishtja e lashtë “korde-litar I tendosur) filloi të përdorej nga dijetarët europianë në sek. XII-XIII. Përcaktimi I tangjentes si drejtëz qe ka me rrethin vetëm një pikë të përbashkët haset për herë të parë në testin “ Elementet të gjeometrisë “, te matematikantit francez Lezhandër (1752-1833). Në “Bazat “ e Euklidit jepet pëcaktimi që vijon: “Drejtëza është tangjente me rrethin nëse ajo e takon atë dhe në vazhdimin e saj nuk e pret atë”. Fakti që tangjentja ndaj rrethit është pingule me rrezen qe kalon në këtë pikë, ishte I njohur për arhitin e tarentit (430-365 p.e.s), I cili ka qenë një nga matematikanët e astronomët më të shquar të antikitetit. Vërtetimi I faktit që segmented e tangjenteve të hequra ndaj rrethit nga një pikë e jashtme janë të barabartë, tek Euklidi mungon. Ai I përket komentatorit të Euklidit, Heroit të Aleksandrisë