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Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura.
Para economizar el combustible, es necesario que la nave espacial siga una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann para lo que es necesario proporcionarle dos impulsos:
En el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la órbita de transferencia.
En la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la órbita circular exterior.
Descripción
Descripción
Para resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las propiedades central y conservativade la fuerza de atracción que hemos estudiado en páginas anterirores, y de la dinámica del movimiento circular uniforme.
Órbita circular interior
Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de la velocidad vA se puede calcular aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme
(1)
Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal, y m es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del movimiento.
La energía E1 de la nave espacial en la órbita circular inicial es
la mitad de la energía potencial
Órbita semielíptica de transferencia
Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción.
Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B
Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.
Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.
(2)
La energía de la nave espacial es constante en todos los puntos de la trayectoria e igual a
La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es la diferencia E2-E1 o bien,
Órbita circular exterior
Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo, aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.
(3)
La energía E3 de la nave espacial en la órbita circular final es
La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es la diferencia E3-E2 o bien,
El tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, es la mitad del periodo P.
Siendo a, el semieje mayor de la elipse.
Combustible gastado por la nave espacial
Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso.
Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0
(4)
donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final y Δv=v-v0 es la variación de velocidad.
La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma
A partir de la expresión (4), podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y el cambio de velocidadΔv que experimenta la nave espacial al pasar de la órbita interior a la exterior.
Ejemplo
Ejemplo
Para situar un satélite de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe una órbita circular a 350 km de altura, determinar
La velocidad que debe tener el remolcador en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición
La velocidad que es necesario proporcionarle en el punto B para transferirlo finalmente a la órbita geoestacionaria
Calcular la energía que es necesario suministrar a un satélite de masa m para transferirlo desde la órbita circular a baja altura a la órbita geoestacionaria
Datos
Masa de la Tierra, M=5.98·1024 kg.
Constante de la gravitación universal, G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Radio de la Tierra, R=6370 km
En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)·1000 m, rB=(35770+6370)·1000 m.
Mediante la fórmula (1), calculamos la velocidad del satélite en la órbita circular de 350 km de altura, vA=7704.22 m/s. La energía inicial es E1=-29.68·106·m J ( m es la masa de la nave espacial)
Mediante las fórmulas (2), calculamos la velocidad que debe alcanzar v’A =10118.5 m/s, para transferirlo a la órbita de transición, y la velocidad del satélite al finalizar dicha órbita elíptica, vB =1613.6 m/s. La energía de la nave espacial es E2=-8.16·106·m J. El tiempo que tarda la nave espacial en describir la órbita de transferencia es de 18994.2 s.
Mediante la fórmula (3), calculamos la velocidad del satélite en la órbita geoestacionaria, v’B =3076.6 m/s. La energía de la nave espacial es esta órbita es E3=-4.73·106·m J
La variación de energía cinética DEA, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita circular de baja altura a la órbita elíptica de transición, DEA=21.5 106 m J.
La variación de energía cinética DEB, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita elíptica de transición a la órbita circular de mayor altura, DEB=3.43 106 m J.
La energía total que tenemos que suministrar al satélite será la suma de ambas cantidades DE=DEA+DEB=24.9 106 m J.
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