Урок 122. Координатна площина

Перегляньте відео:

Теоретичний матеріал:

Ви вже знаєте, що таке координатна пряма (мал. 1). На ній точка О — початок відліку, стрілка показує напрямок зростання чисел, а ціна поділки становить одну одиницю.

Мал. 1

Проте на практиці часто доводиться користуватися орієнтирами не тільки вздовж прямої, а й на площині.

Ви знаєте, що у грі «Морський бій» положення корабля визначають за допомогою «координат» із цифр і «координат» із літер (мал. 2). Залежно від обраної букви пересуваються на певну кількість клітинок праворуч або ліворуч, а цифра вказує, на скільки клітинок треба зміститися вгору чи вниз. Отже, місце корабля на полі бою визначають двома «координатами».

Щоб визначити місце в залі кінотеатру, теж треба знати дві «координати»: номер ряду та номер крісла в цьому ряді (мал. 3). Причому порядок «координат» у такій парі є строго визначеним. Справді, наприклад, пари чисел 3 і 12 та 12 і 3 спрямують нас у зовсім різні місця залу: в 3-й ряд на 12-те місце чи в 12-й ряд на 3-тє місце. На відміну від попереднього прикладу, для орієнтування в залі кінотеатру порядок координат не змінюють, незручно спочатку шукати номер місця в ряді, а лише потім — сам ряд.

Мал. 2

Maл. 3

Мал. 4

Мал. 5

Отже, щоб охарактеризувати розміщення точки на площині, треба задати дві координатні прямі з рівними одиничними відрізками, одна з яких задає напрямок праворуч-ліворуч, а друга — вгору-вниз. Для цього координатні прямі зображають перпендикулярно одна до одної й так, щоб початки відліку на них збігалися (мал. 4). Одну із цих прямих (як правило горизонтальну) вважають першою, а іншу — другою. Така пара координатних прямих утворює прямокутну систему координат.

Першу координатну пряму називають віссю абсцис. Її позначають ОХ. Другу координатну пряму називають віссю ординат. Її позначають OY. Спільний початок відліку координатних прямих називають початком координат (мал. 5).

Площину з уведеною на ній системою координат називають координатною площиною.

Кожній точці на площині можна поставити у відповідність пару чисел, взятих у певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка координатної площини. Така упорядкована пара чисел називається координатами точки в даній системі координат. Координату за віссю абсцис називають абсцисою точки, а координату за віссю ординат — ординатою точки.

Коротко записують: М(х; у), А(3; 2). Читають: «Точка М з координатами х і у», «Точка А з координатами 3 і 2» або «3 — абсциса точки А, 2 — її ордината».

Задача 1. На координатній площині побудуйте точку:

1) В(3; 2); 

2) А(5; 0).

Розв’язання. Уведемо прямокутну систему координат на площині (мал. 6).

1. У точки В(3; 2) абсциса дорівнює З, а ордината — 2. На осі абсцис позначимо точку, що відповідає числу 3, а на осі ординат — точку, що відповідає числу 2. Через точки, побудовані на осях координат, проведемо дві прямі, паралельні осям (мал. 167). Точка перетину побудованих прямих — шукана точка В(3; 2).

2. Оскільки ордината точки А(5; 0) дорівнює 0, то ця точка лежить на осі абсцис і відповідає числу 5 на цій осі.

Maл. 6

Зверніть увагу:

• точка лежить на осі абсцис, якщо її ордината дорівнює нулю, і навпаки;

• точка лежить на осі ординат, якщо її абсциса дорівнює нулю, і навпаки;

• початок координат — точка О, має координати (0; 0).

? Як визначити координати точки, побудованої на координатній площині, наприклад, точки А на малюнку 7? Для цього треба через дану точку провести прямі, паралельні осям координат.

Мал. 7

Пряма, паралельна осі ординат, перетинає вісь абсцис у точці, що відповідає числу 5.

Отже, першою координатою даної точки А є число 5. Пряма, паралельна осі абсцис, перетинав вісь ординат у точці, що відповідає числу -4. Отже, другою координатою точки А є число -4. Тоді точка А має координати 5 і -4, тобто А (5; -4).

Координатні осі розбивають координатну площину на чотири частини. їх називають координатними чвертями і позначають так:

І чверть, IIчверть, III чверть, IV чверть (мал. 8).

• Точки І чверті мають додатну абсцису і додатну ординату. І навпаки, якщо абсциса й ордината точки додатні, то вона лежить у І чверті, як, наприклад, точка В(3; 2). 

• Аналогічно міркуючи, можна з'ясувати, що точки II чверті мають від'ємну абсцису й додатну ординату.

• Точки III чверті — від’ємну абсцису й від’ємну ординату.

• А точки IV чверті — додатну абсцису й від’ємну ординату.

На малюнку 9 показано знаки координат точок, які лежать у відповідних чвертях.

Мал. 8

Мал. 9

ЦІКАВО ДІЗНАТИСЯ:

• Положення будь-якої точки на поверхні Землі визначається двома координатами: географічною широтою та географічною довготою.

• Географічні координати ввів давньогрецький вчений Гіппарх у ІI ст. до н. е. Географічні координати застосовують для визначення положення точок земної поверхні відносно екватора та початкового (нульового) меридіана. Наприклад, Київ має такі географічні координати: 30°30' східної довготи, 50°27' північної широти.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Поясніть, як побудувати прямокутну систему координат на площині.

2. Які назви мають осі координат? точка їх перетину?

3. Що називають координатною площиною?

4. Як визначити координати точки в прямокутній системі координат.

5. Які координати має початок відліку?

6. Які особливості мають координати точок, що лежать на осях координат? Наведіть приклади.

7. На скільки координатних чвертей розбивають площину координатні осі? Які знаки мають координати точок у кожній з них?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ усно:

1521'. Скільки координатних прямих треба задати, щоб визначити розміщення точки на площині:

1) одну; 

2) дві; 

3)три?

1522'. Чи правильно, що в прямокутній системі координат на площині:

1) дві осі координат;

2) осі координат не перетинаються;

3) осі координат взаємно перпендикулярні;

4) на осях координат обрано рівні одиничні відрізки;

5) першою вважають вісь ординат?