Урок 109. Рівняння. Основні властивості рівняння

Теоретичний матеріал:

Ви вже знаете, що таке рівняння, корінь рівняння. Пригадаємо основні формулювання.

Запам’ятайте!

Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.

Невідоме число в рівнянні позначають буквою х, або у, або z тощо. 

Наприклад, запис 4х + 7 = 15 є рівнянням, де х — невідоме і є шуканим.

Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.

Так, коренем рівняння 4х + 7 = 15 є число 2, бо 4-2 + 7 = 15.

Рівняння може мати більше, ніж один корінь. Наприклад, рівняння 0 ∙ х = 0 має безліч коренів, оскільки будь-яке число перетворюе рівняння на правильну числову рівність. З рівняннями, які мають два, три або більше коренів, ви зустрінетеся пізніше.

Рівняння може не мати коренів. Наприклад, рівняння 0 ∙ х = -12 не має коренів, бо не існує числа, яке в добутку з числом 0 дає число -12.

Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або встановити, що рівняння не має жодного кореня.

У 5 класі ви ознайомились із найпростішими рівняннями. Розв'язуючи їх, ви знаходили корінь рівняння як невідомий компонент арифметичної дії. Під час розв'язування складніших рівнянь спираються на властивості рівностей. Розглянемо основні з них.

Подивіться на малюнок 1. Ви бачите, що на лівій шальці терезів розміщується кавун невідомої маси, а на правій — гирі масою 5 кг і 3 кг. Якщо на обидві шальки терезів покласти по гирі масою З кг, то терези залишаться в рівновазі (мал. 2). Зрозуміло, що, знявши ці гирі або поставивши на терези однакові гирі іншої маси, знову дістанемо рівновагу на терезах. Цей приклад ілюструє таку властивість рівностей.

Запам’ятайте!

Якщо до обох частин рівності додати (від обох частин рівності відняти) одне й те саме число, то рівність не зміниться.

Мал. 1

Мал. 2

Задача 1. Розв'яжіть рівняння: х - 12 = 20.

Розв’язання. До лівої і правої частий рівняння додамо число 12 і спростимо отриману рівність:

х - 12 = 20;

х - 12 + 12 = 20 + 12;

х= 20 + 12;

х= 32.

Розв’язуючи рівняння, у лівій його частині «усамітнили невідоме». Такий самий результат отримаємо, якщо число 12 перенесемо з лівої частини у праву, змінивши при цьому його знак.

Запам’ятайте!

Доданок можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданка на протилежний.

? Чи можна переносити до іншої частини рівняння доданок, що містить невідоме? Так.

Подивіться на малюнок 3. Ви бачите, що маса пакета борошна дорівнює 2 кг. Зрозуміло, що маса трьох таких пакетів утричі більша (мал.4). Цей приклад ілюструє іншу властивість рівностей.

Запам’ятайте!

Якщо обидві частини рівності помножити (поділити) на одно й то само число, відмінно від нуля, то рівність не зміниться.

Мал. 3

Мал. 4

Наведену властивіств використовують для розв'язування рівнянь. Розглянемо приклад.

Задача 2. Розв'яжіть рівняння

Розв’язання. Щоб позбутися дробового коефіцієнта, помножимо на 3 обидві частини рівняння:

Запам’ятайте!

Основні властивості рівнянь

1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.

2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Дізнайтеся більше

Вважають, що мова алгебри — це рівняння. «Щоб розв'язати питання, які відносяться до чисел або до абстрактних відношень величин, потрібно лише перекласти задачу з рідної мови на мову алгебраїчну», — писав великий І. Ньютон (1643—1727) у своєму підручнику з алгебри, названому «Загальна арифметика».

ПРИГАДВЙТЕ ГОЛОВНЕ з прочитаного:

1. Що таке рівняння? корінь рівняння?

2. Що означає «розв'язати рівняння»?

3. Скільки коренів може мати рівняння?

4. Сформулюйте основні властивості рівнянь.