Урок 8. Найменше спільне кратне

Перегляньте відео:

Теоретичний матеріал

Число 24 кратне кожному з чисел 6 і 4. У цьому випадку кажуть, що 24 є спільним кратним чисел 4 і 6.

Випишемо числа, які кратні 4: 4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ,40, ... .

Випишемо числа, які кратні 6: 6,12,18, 24, 30, 36, 42, ... .

Червоним кольором виділено спільні кратні чисел 4 і 6.

Найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з двох даних натуральних чисел, називають най­меншим спільним кратним цих чисел.

Найменше спільне кратне чисел а і b позначають так: НСК (а; b).

Отже, НСК (4; 6) = 12.

Неважко переконатися, що, наприклад, 

НСК (2; 3) = 6, 

НСК (10; 15) =30, 

НСК (12; 24) = 24.

Для пошуку НСК двох чисел, наприклад 18 і 30, можна скористатися такою схемою: будемо послідовно виписувати числа, які кратні 30, доти, доки не отримаємо число, яке кратне 18. Маємо: 30, 60, 90. Число 90 і є найменшим спільним кратним чисел 18 і 30.

Проте частіше для пошуку НСК використовують інший спосіб. Розглянемо розклад на прості множники чисел 18, 30 і числа 90, яке є їх найменшим спільним кратним. Маємо: 

18 = 2· 3· 3 = 2· 32;

30 = 2 · 3 · 5;

90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32· 5.

Як бачимо, НСК містить усі множники з розкладу числа 18 (їх виділено червоним кольором) і множник 5 з розкладу числа 30, якого немає в розкладі числа 18.

Зрозумівши алгоритм знаходження НСК двох чисел, знайдемо, наприк­лад, НСК (84; 90). 

Маємо:

84 = 2·2·3·7;

90 = 2·3·3·5.

Тоді НСК (84; 90) = 2 · 2 · 3 · 7· 3 · 5 = 1260.

Якщо розклад чисел 84 і 90 на прості множники записати у вигляді добутку степенів:

84 = 22·31· 71;

90 = 21· 32· 51,

то НСК зручно знайти за таким правилом.

1) Вибрати степені, основи яких присутні лише в одному з розкладів (у розглядуваному прикладі це 71 і 51).

2) З кожної пари степенів з однаковими основами вибра­ти степінь з більшим показником (у розглядуваному при­кладі це 22 і 32).

3) Перемножити вибрані степені.

Отриманий добуток є шуканим найменшим спільним кратним (у наведеному прикладі НСК (84; 90) = 22· 32·51·71).

Приклад 1.

Знайдіть НСК (250; 3000).

Розв’язання

У цьому випадку немає потреби розкладати числа на прості множники. Число 250 — дільник числа 3000.

Тому НСК (250; 3000) = 3000.

Відповідь. НСК (250; 3000) = 3000.

Взагалі, якщо число а — дільник числа b, то НСК (а; b) = b.

Приклад 2.

Знайдіть найменше спільне кратне чисел 8 і 15.

Розв’язання

Маємо: 8 = 23,

15 = 3 · 5,

НСК (8; 15) = 23· 3 · 5 = 8 · 15 = 120.

Відповідь. НСК (8; 15) = 120.

Числа 8 і 15 — взаємно прості і знайти їх найменше спільне кратне можна було, скориставшись таким правилом: 

най­менше спільне кратне взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.

Зауважимо, що можна знайти найменше спільне кратне будь-якої кількості натуральних чисел, зокрема трьох.

Приклад 3.

Знайдіть НСК (18; 24; 30).

Розв’язання

Подамо дані числа у вигляді добутку степенів простих множників:

18 = 2 · 3 · 3 = 21· 32;

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 31;

30 = 21 · 31· 51.

Тоді НСК (18; 24; 30) = 23  · 32· 51 = 8 · 9 · 5 = 360.

Відповідь. НСК (18; 24; 30) = 360. 

Задача

Крок батька дорівнює 72 см, а крок сина — 54 см. Знайти найменшу відстань, яку потрібно спільно пройти батькові та синові, щоб кожен з них зробив при цьому ціле число кроків.

Розв’язання

Шукана відстань у сантиметрах повинна виражатись таким найменшим числом, яке ділиться на 72 і на 54. Таким числом є найменше спільне кратне цих чисел. Знайдемо НСК(54; 72):

54 = 2 · 33; 72 = 23 · 32;

НСК(54; 72) = 23 · 33 = 216.

Отже, шукана відстань дорівнює 216 см. На такій відстані батько зробить 216 : 72 = 3 кроки, а син — 216 : 54 = 4 кроки.

Відповідь. 216 см

Перевіряємо свої знання (зробіть скриншот результату):

Найменше спільне кратне. Тест 7 (6 клас)

Розв'яжіть задачі:

Довжина кроку Чебурашки дорівнює 15 см, а кроко­дила Гени — 50 см. Яку найменшу однакову відстань має пройти кожний з них, щоб вони обидва зробили по цілому числу кроків? 

В ящику було менше ніж 80 мандаринів. Відомо, що їх можна поділити порівну між двома або трьома, або п'ятьма дітьми, але не можна поділити порівну між чо­тирма дітьми. Скільки мандаринів було в ящику? 

Готуючи подарунки до Нового року, члени батьків­ського комітету шостого класу побачили, що цукерки, які в них є, можна розкласти порівну по 15 або по 20 штук в один подарунок. Скільки було цукерок, якщо відомо, що їх було більше за 600 і менше від 700?