Embedded Files
Перегляньте відео:
Теоретичний матеріал
Число 28 має такі дільники: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Дільниками числа 42 є числа 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Червоним кольором виділено числа 1, 2, 7, 14, які є спільними дільниками чисел 28 і 42.
Серед спільних дільників число 14 є найбільшим.
Натуральне число, на яке ділиться кожне з даних натуральних чисел називається спільним дільником цих чисел.
Найбільше натуральне число, на яке ділиться націло кожне з двох даних натуральних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.
Найбільший спільний дільник чисел а і b позначають так: НСД (а; b). Отже, НСД(28; 42) = 14.
Неважко встановити, наприклад, що
НСД (10; 25) = 5,
НСД (18; 24) = 6,
НСД (7; 12) = 1.
У розглянутому прикладі ми легко знайшли найбільший спільний дільник чисел, записавши всі дільники кожного з них. Якщо числа великі й мають багато дільників, то знаходження найбільшого спільного дільника цим способом доволі громіздким.
Розглянемо ще один спосіб знаходження найбільшого спільного дільника, взявши числа 210 і 294. Розкладемо кожне із цих чисел на прості множники
210 | 2 294 | 2
105 | 3 197 | 3
35 | 5 49 | 7
7 | 7 7 | 7
1 | 1 |
210 = 2 · 3 · 5 · 7; 294 = 2 · 3 · 7 · 7.
Підкреслимо всі спільні прості множники в розкладах даних чисел: 2, 3, 7.
Числа 210 і 294 діляться на кожне із чисел 2, 3, 7 і на їх добуток: 2 · 3 · 7 = 42.
Число 42 є найбільшим спільним дільником чисел 210 і 294:
НСД(210; 294) = 42.
Приклад 1
Знайти НСД (180; 840).
Розв’язання
Скориставшись схемою розкладання числа на прості множники, отримаємо:
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5;
840 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7.
Як бачимо, у розкладі даних чисел деякі прості множники повторюються. Наприклад, число 2 у першому розкладі зустрічається двічі, а в другому — тричі. Проте зрозуміло, що спільним дільником даних чисел буде число 2 · 2, а не число 2 · 2 · 2. Аналогічні міркування стосуються і множника 3.
Отже, числа 180 і 840 діляться націло на кожне з чисел 2, 2, 3, 5. Вони також діляться націло й на їх добуток 2 · 2 · 3 · 5. Таким чином,
НСД (180; 840) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60.
Відповідь. НСД (180; 840) = 60.
Якщо розклад чисел 180 і 840 на прості множники записати у вигляді добутку степенів:
180 = 22 · 32 · 51;
840 = 23 · 31 · 51 · 71
то НСД зручно знайти за таким правилом.
1) Визначити степені, основи яких є спільними простими дільниками даних чисел (у розглянутому прикладі це основи 2, 3, 5).
2) З кожної пари степенів з однаковими основами вибрати степінь з меншим показником (у розглянутому прикладі це 22, 31, 51).
3) Перемножити вибрані степені. Отриманий добуток є шуканим найбільшим спільним дільником (у наведеному прикладі НСД (180; 840) = 22 · 31 · 51).
Приклад 2
Знайти НСД (585; 616).
Розв’язання
Маємо:
585 = 32 · 5 · 13;
616 = 23 · 7 · 11.
Бачимо, що числа 585 і 616 не мають спільних простих дільників. їх найбільший спільний дільник дорівнює 1,
тобто НСД (585; 616) = 1.
Відповідь. НСД (585; 616)= 1.
Якщо найбільший спільний дільник двох натуральних чисел дорівнює 1, то їх називають взаємно простими.
Числа 585 і 616 взаємно прості.
Зазначимо, що будь-які два простих числа є взаємно простими.
Наприклад, НСД (17; 43) = 1, НСД (101; 919) = 1.
Приклад 3.
Знайдіть НСД (250; 3000).
Розв’язання
У цьому випадку немає потреби розкладати числа на прості множники. Число 250 — дільник числа 3000.
Тому НСД (250; 3000) = 250.
Відповідь. НСД (250; 3000) = 250.
Взагалі, якщо число а — дільник числа b, то НСД (а; b) = а.
Зауважимо, що можна знайти найбільший спільний дільник будь-якої кількості натуральних чисел, зокрема трьох.
Приклад 4
Знайдіть НСД (132; 180; 144).
Розв’язання
Маємо:
132 | 2
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1 |
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |
144 | 2
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
132 = 22 · 3 ·11; 180 = 22 · 32 · 5; 144 = 24 · 32
Отже, НСД (132; 180; 144) = 22 · 3 = 12.
Відповідь. НСД (132; 180; 144) = 12.
Задача
Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок, використавши всі квіти?
Розв’язання
З даних квітів можна, наприклад, скласти 2 букети, у кожному з яких буде 12 волошок і 16 ромашок.
Не можна скласти три букети, бо 32 ромашки не можна розділити на 3 однакові частини.
Можна скласти чотири однакові букети, бо і 24 волошки, і 32 ромашки можна розділити на 4 однакові частини.
Очевидно, що для розв’язання задачі потрібно знайти найбільше число, на яке можна розділити 24 волошки і 32 ромашки, тобто знайти найбільший спільний дільник чисел 24 і 32.
Оскільки НСД(24; 32) = 8, то найбільше можна скласти 8 однакових букетів.
Кожен такий букет складатиметься із 24 : 8 = 3 волошок і 32 : 8 = 4 ромашок.
Відповідь. 8 букетів
Перевіряємо свої знання (зробіть скриншот результату):
Найбільший спільний дільник. Тест 6 (6 клас)
Розв'яжіть задачі:
Між учнями шостого класу поділили порівну 155 зошитів і 62 ручки. Скільки в цьому класі учнів?
Для новорічних подарунків придбали 96 шоколадок, 72 апельсини і 84 банани. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна з них зробити?
Page updated
Google Sites
Report abuse