Урок 5. Розкладання натуральних чисел на прості множники

План вивчення теми уроку:

1. Розклад числа на прості множники.

2. Алгоритм розкладання числа на прості множники.

Перегляньте відео

Теоретичний матеріал

Розглянемо складене число 24.

Його можна записати як добуток двох множників, наприклад, 24 = 6 · 4.

Кажуть, що число 24 розкладено на два множники – 6 і 4. Але ці множники не прості числа.

Числа 6 і 4 теж можна розкласти на множники: 6 = 3 · 2; 4 = 2 · 2.

Тепер число 24 можна записати так: 24 = 3 · 2 · 2 · 2. У добутку 3 · 2 · 2 · 2 всі множники є простими числами.

Отже, число 24 розкладено на прості множники.

Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел. 

Будь-яке складене число можна подати у вигляді добут­ку простих чисел, тобто розкласти на прості множники.

Наприклад,

10 = 2·5;

18 = 2·3·3;

30 = 2·3·5;

80 = 2·2·2·2·5;

81 = 3·3·3·3;

200 = 2·2·2·5·5.

Зауважимо, що будь-які два розклади числа на прості множники можуть відрізнятися лише порядком розміщення множників.

Зазвичай добуток однакових множників у розкладі числа на прості множники замінюють степенем. Наприклад, пишуть:

18 = 2·32;

80 = 24·5;

81 = 34;

200 = 23·52.

У тих випадках, коли на прості множники треба розклас­ти велике число, наприклад 2940, зручно користуватися та­кою схемою:

1) 2940 кратне 2, 2940 : 2 = 1470;

2) 1470 кратне 2, 1470 : 2 = 735;

3) 735 не кратне 2, але кратне 3, 735 : 3 = 245;

4) 245 не кратне 3, але кратне 5, 245 : 5 = 49;

5) 49 не кратне 5, але кратне 7, 49 : 7 = 7;

6) 7 кратне 7, 7 : 7 = 1.

Отже, 2940 = 2 · 1470 = 2 · 2 · 735 = 2 · 2 · 3 · 245 = 2·2·3·5·49 = 2·2·3·5·7·7 = 22·3·5·72.

Наведений нижче «числовий стовпчик» наочно демон­струє, як працює запропонована схема розкладання числа на прості множники:

Перевіряємо свої знання (зробіть скриншот результату):

Розкладання чисел на прості множники. Тест 5 (6 клас)

Цікавинки

Розташування простих чисел

Твердження про те, що кожне відмінне від 1 натуральне число можна записати у вигляді добутку простих множників і до того ж єдиним способом, якщо не брати до уваги порядок розміщення співмножників, є так званою основною теоремою арифметики — однієї з найдавніших математичних наук.

(У перекладі з грецької мови «арифметика» — «мистецтво чисел».)

Відповідно до основної теореми арифметики прості числа є ніби цеглинами, з яких «будуються» натуральні числа. Цим і пояснюється увага до простих чисел з боку математиків усіх часів. Ще давньогрецький математик Евклід (бл. 365 - бл. 300 р. до н. е.) довів, що простих чисел є нескінченно багато, тому найбільшого простого числа не існує. Але ще й досі не з'ясовані закономірності розташування простих чисел у натуральному ряді.

Найталановитіші математики багатьох країн прагнули знайти закон розташування простих чисел.

У розв'язанні цього складного питання важливий результат одержав російський учений, академік Пафнутій Львович Чебишев (1821 - 1894). Він довів, що між будь-яким натуральним числом, яке більше від 1, і його подвоєнням завжди міститься хоча б одне просте число.

Про властивості простих чисел висловлено чимало цікавих гіпотез. Серед них найцікавішою є гіпотеза члена Петербурзької Академії Наук Хрістіана Гольдбаха (1690 - 1764), яка формулюється так: будь-яке натуральне число, більше від п'яти, є сумою трьох простих чисел.

Властивості простих чисел можна наочно уявити так:

а) уявімо прямолінійний дріт, що виходить із кімнати у світовий простір, проходить повз Місяць і далі за вогняну кулю Сонця — у нескінченність;

б) уявно підвісимо на ньому через кожен метр електричні лампочки і пронумеруємо їх натуральними числами;

в) уявно увімкнемо світло з таким розрахунком, щоб засвітилися лампочки, номери яких с простими числами;

г) полетимо уздовж цього дроту. 

Перед нами розгорнеться така картина:

1. Лампочка за номером 1 не світиться, оскільки одиниця не є простим числом.

2. Дві наступні лампочки за номерами 2 і 3 світяться, оскільки числа 2 і 3 — прості. Більше таких лампочок, які є сусідніми та світяться, не побачимо.

3. Спостерігатимемо пари лампочок, що світяться, які відповідають числам-близнюкам (3 і 5, 5 і 7, 11 і 13 тощо). Найбільшою із відомих пар чисел-близнюків є 10 999 949 і 10 999951.

4. Що далі летітимемо, то ставатиме темніше, бо рідше світитимуться лампочки. А ось настав чималий проміжок темноти. Але ми згадуємо властивість простих чисел, відкриту Евклідом, і сміливо рухаємося уперед, оскільки знаємо, що попереду ще обов'язково є лампочки, які світяться, і їх чимало.

5. Знову довго летимо, а попереду та позаду — темінь. Згадуємо властивість простих чисел, доведену Чебишевим, і прямуємо далі, впевнені в тому, що, пролетівши шлях, не більший від того, що пролетіли, ми обов'язково побачимо світло.

    1       2         3        4       5       6        7       8      9    10      11      12      13     14   15   16