Урок 47-48. Лінійне рівняння з двома змінними

Поняття рівняння із двома змінними

Ви вже вмієте розв'язувати рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду aх = b, де а і b - деякі числа, а х - змінна.

Розглянемо приклад, який приводить до рівняння з двома змінними.

Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне число позначити через х, а друге - через у, то матимемо рівняння:

х + у = 8,

яке містить дві змінні: х та у. Таке рівняння називають рівнянням з двома змінними.

Рівняння  3х - 2у = 1, 9х + 4у = 5,  x^2 + у^2 = 9,  ху = 10 теж є рівняннями із двома змінними. 

Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду ах + by = c, де a, b, c - числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями із двома змінними.

Означення.

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ах + by = c, де х та у - змінні, a, b, c - деякі числа (коефіцієнти рівняння).

Розв'язки рівняння із двома змінними

Розглянемо рівняння х + у = 8. Якщо х = 2, у = 6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х = 2, у = 6 є розв'язками рівняння х + у = 8.

Означення

Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х = 4, у = 4;    х = 4,5, у = 3,5;    х = 10, у = -2.

Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першому місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.

Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.

Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у = 1. Нехай х = -3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у = 11.

Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. 

Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.

Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.

Властивості рівнянь із двома змінними

Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:

1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)

2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.

Розглянемо рівняння 3х + 2у = 9.

Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилежний: 2у = -3х + 9.

Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2: у = -1,5х + 4,5.

Користуючись формулою  у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари деяких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.

Пари чисел кожного стовпчика - розв'язки рівняння 3х + 2у = 9.