Recherche 2010-2013

>> Publication :

- Dynamique et formes normales d'équations différentielles implicites

(Annales de l'institut Fourier, Vol 64, 2014)

>> Domaines d'études :

Mots-clés : Systèmes dynamiques, formes normales, équations différentielles implicites, champs de vecteurs analytiques, champs de vecteurs liouvilliens et hamiltoniens, petits diviseurs.

- Formes normales de champs de vecteurs holomorphes : On regarde un champ de vecteurs comme une perturbation de son champ linéaire, et on cherche des changements de coordonnées réguliers pour transformer le problème perturbé en une écriture plus simple mais de dynamique équivalente. Les obstructions à la linéarisation sont appelées des résonances et il est toujours possible d’éliminer les termes non résonnants, ces derniers n’ont aucune influence sur la dynamique. Les formes normales sont alors des modèles simplifiés constitués de termes résonnants qui caractérisent la dynamique d’un champ de vecteurs.

- Équations différentielles implicites : On s’intéresse aux équations différentielles de la forme F(x,y,y’) = 0, où F est une fonction de trois variables, non résoluble par rapport à la troisième variable. L’étude de la dynamique au voisinage d’un point singulier est intimement liée à l’étude de champs liouvilliens qui leur sont associés. Pour pouvoir étudier la dynamique des équations implicites, on utilise alors toute la théorie des formes normales des champs vecteurs (Poincaré, Siegel, Sternberg ...) que l’on adapte aux champs liouvilliens sous la contrainte de n’utiliser que des transformations symplectiques.

- Normalisation au voisinage du tore invariant : On s'intéresse à la normalisation d'un champ de vecteurs holomorphe au voisinage d'un tore invariant. Les composantes du champ de vecteurs sont définies sur un domaine $D \subset (\mathbb{C}/2\pi \mathbb{Z})^l \times \mathbb{C}^n$ qui contient le tore $\mathcal{T}^l:=(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})^l \times \{0_{\mathbb{C}^n}\}$. Brjuno énonce un théorème de normalisation, sous des conditions de contrôle des petits diviseurs et d'intégrabilité de ses formes normales ; il ne donne cependant pas de preuve de ce théorème. On donnera une preuve d'un théorème similaire de linéarisation sur le tore invariant, sous une hypothèse légèrement plus forte. La démonstration utilise un procédé d'itération pour linéariser successivement quasi-degré par quasi-degré. L'achèvement de la preuve passe par l'estimation de générateurs infinitésimaux à coefficients fonctionnels analytiques et $2\pi$-périodiques. Ces estimations nécessitent un contrôle des hautes fréquences pour pallier la dimension infinie de ces espaces de fonctions.

>> Exposés et colloques :

Colloque doctorant 2011 du LJAD

Nonlinear Hamiltonian PDEs July 1 - 6, Ascona 2012

CIRM - Dynamique et EDP du 12/11/2012 au 16/11/2012

Séminaires dynamiques et EDP - Saint-étienne-de-tinnée - février 2011 / 2012 / 2013