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Argomenti del corso
Meccanica Newtoniana.
Meccanica Lagrangiana.
Vincoli olonomi, anolonomi, scleronomi, reonomi, lisci e scabri.
Coordinate lagrangiane.
Principio di d'Alembert.
Equazioni di Lagrange.
Proprietà delle equazioni di Lagrange.
Principi variazionali.
Spazio delle configurazioni.
Azione.
Principio di Hamilton.
Principi variazionali in altri contesti.
Geodetica del piano e geodetica della sfera.
Equazione della catenaria.
Equazione della brachistocrona.
Equazione geodetica.
Geometrizzazione della dinamica.
Metrica di Jacobi.
Principio di Maupertuis.
Leggi di conservazione.
Conservazione dell'energia.
Impulso totale.
Coordinate cicliche.
Momento coniugato ad una coordinata generalizzata.
Integrazioni per quadrature delle equazioni del moto per sistemi unidimensionali.
Calcolo del periodo.
Moto in un campo di forze centrali, problema dei due corpi.
Seconda legge di Keplero.
Problema di Keplero.
Condizione per orbite chiuse: Teorema di Bertrand.
Vettore di Lenz, tipi di orbite.
Prima legge di Keplero.
Terza legge di Keplero.
Trasformazioni di coordinate.
Invarianza delle equazioni di Lagrange,
Invarianza in valore di L.
Invarianza sotto trasformazioni (infinitesime) continue: Teorema di Noether.
Eliminazione di coordinate cicliche: procedura di Routh.
Piccole oscillazioni.
Procedimento per il caso generale.
Cinematica del corpo rigido.
Rotazioni in 2 e 3 dimensioni spaziali.
Rotazioni proprie.
Teorema di Eulero.
Angoli di Eulero.
Derivata temporale di un vettore rispetto a sistemi ruotanti.
Dinamica del corpo rigido.
Equazioni di Eulero.
Elissoide d'inerzia.
Trottola simmetrica con un punto fisso: Precessione e nutazione.
Formulazione Hamiltoniana della dinamica.
Trasformata di Legendre.
Hamiltoniana.
Equazioni del moto di Hamilton.
Spazio delle fasi.
Coordinate ciclicle.
Parentesi di Poisson.
Integrale del moto.
Teorema di Jacobi-Poisson.
Trasformazioni canoniche.
Trasformazioni canoniche.
Seconda forma del Principio di Hamilton.
Funzioni generatrici delle trasformazioni canoniche.
Variabili azione-angolo.
Trasformazioni canoniche infinitesime.
Evoluzione temporale come trasformazione canonica.
Trasformazione simplettica.
Invarianza del volume dello spazio delle fase.
Teorema di Liouville.
Teoria di Hamilton-Jacobi ed equazione di Hamilton-Jacobi.
Densità lagrangiana.
Dai sistemi discreti ai continui.
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Newtonian Mechanics.
Lagrangian Mechanics.
Constraints.
Lagrangian coordinates.
d'Alembert's principle.
Lagrange's equations of motion.
Properties of the Lagrange's equations.
Variational principles.
Configuration space.
Action.
Hamilton's action principle.
The role of the variational principles in other fields.
Geodesic on a pian and geodesic on a sphere.
Catenary equation.
Brachistochrone equation.
Geodesic equation.
Geometrization of the dynamics.
Jacobi metrics.
Maupertuis's principle.
Conservation laws.
Energy conservation.
Total momentum conservation.
Cyclic coordinates.
Momentum conjugate to a generalized coordinates.
Integration by quadrature of the equations of motion for one dimensional systems.
Period.
Central force motion.
Kepler's second law.
Kepler's problem.
Closed trajectories: Bertrand's theorem.
Lenz vector, trajectories.
Kepler's first law.
Kepler's third law.
Coordinates transformation.
Invariance of the Lagrange's equation,
Invariance of L in value.
Invariance for continuous infinitesimal trasformarmations continue: Noether's theorem.
Eliminating cyclic coordinates: the Routh procedure.
Small oscillations.
Procedure in the general case.
kinematics of the rigid body.
Rotations in 2 and 3 spatial dimensions.
Proper rotations.
Euler's theorem.
Euler's angles.
Rate of chance of a vector respect to a rotating frame.
Rigid body dynamics.
Euler's equations.
Inertia ellipsoid.
The heavy symmetrical top with one fixed point: Precession e nutation.
Hamiltonian formulation of the dynamics.
Legendre transformation.
Hamiltonian.
Hamilton's equation of motion.
Phase-space.
Cyclic coordinates.
Poisson brackets.
Integrals of motion.
Jacobi-Poisson theorem.
Canonical transformation.
Canonical transformations.
Second form of the Hamilton's principle.
Generating canonical transformation functions.
Action-angle variables.
Infinitesimal canonical transformations.
Time evolution as canonical transformation.
symplectic transformation.
Invariance of the volume of the phase-space.
Liouville's theorem.
Hamilton-Jacobi theory and Hamilton-Jacobi equation.
Lagrangian density.
From a discrete to a continuous system.
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