Embedded Files
Sidetallet henviser til Gyldendals Gymnasiematematik B1 (2. udgave), B2 (2. udgave) og A (1. udgave)
1. TRIGONOMETRI
Bevis formlen til beregning af arealet af en vilkårlig trekant.
Bevis sinusrelationerne.
Forklar, hvordan sinusrelationerne og cosinusrelationerne anvendes til trekantberegning.
Arealformel NB! Du skal have både den spidse og den stumpe vinkel med.
(Retvinklede trekanter) Dette kan nok godt springes over eller bare antydes hurtigt: "Udfra definitionen af sin og cos kombineret med sætningen om ensvinklede trekanter følger ..."
Læs fx bog I side 13, 19-21, 27-28 og 30-32. Mere bredt er det I s. 12-32.
2.TREKANTSBEREGNING OG VEKTORREGNING
Definer cosinus og sinus ved hjælp af enhedscirklen.
Bevis cosinusrelationerne.
Omtal også brug af vektorer til trekantsberegning.
Cosinusrell (en spids vinkel) Cosinusrel. (en stump vinkel) NB! Du skal have både den spidse og den stumpe vinkel med.
Læs fx bog I side 13-15, 23-24 og s. 26-32 og bog III 100-105. Mere bredt er det I s. 12-32. Du kan også inddrag Euklid II-12
3. VÆKST OG DIFFERENTIALREGNING
Forklar om forskrift, graf og vækstegenskab for potensudviklingen.
Gør rede (bevis) for hvordan konstanterne i forskriften for potensudviklingen bestemmes ud fra to punkter på grafen.
Bestem potensudviklingens monotoniforhold ved hjælp af f'(x).
Egenskaber ved potensfunktionen - to-punkts-formel og vækstegenskaber
Differentiation af x^n Du kan vælge at gå direkte til det generelle bevis, der er de sidste 2½ minut. Det står ikke i bogen! Papirudgave af differentiation af x^n
Monotoniforhold for potensfunktioner ud fra f'(x) Papirudgave af "Monotoniforhold for potensfunktioner"
Introduktion af potensfunktion omtales fx bog I side 94-101. Monotoniforhold for potensfunktioner er en 2.gvinkel på potensfunktioner, hvor vi benytter differentialregning, mens differentiation af x^n er en 3.gvinkel på potensfunktioner (differentiation af sammensat funktion). Det omtales ikke direkte i bogen, men der er noter ovenfor til begge dele.
4. POLYNOMIER OG DIFFERENTIALREGNING
Forklar om andengradspolynomiets forskrift og graf.
Udled formlen for rødderne for andengradspolynomiet.
Omtal hvordan differentialregning kan anvendes til at bestemme ekstrema og monotoniforhold for polynomier.
Andengradsligningen - polynomiets rødder
Toppunktsformel (Dette handler også om ekstremum og monotoniforhold ... eller det kan hurtigt udvides til det)
Polynomier af forskellige grader og deres ekstremumsforhold: Et trediegradspol kan have op til to vandrette tangenter med skift mellem voksende/aftagende (fordi f '(x) er et andengradspolynomium med typisk to rødder9. Tilsvarende med de andre polynomier.
Læs fx bog I s. 123-131 (NB! CAS-beviser duer ikke!) Mere bredt er det bog I s. 123-138 og bog II s 25, 34-35. Vores primære materiale har dog været videoerne.
NB! Sidste spørgsmål åbner op til monotoniforhold for polynomier af højere grad fx. 3.gradspolynomier fx f(x)=x^3-3x. Lettest at bestemme toppunkt vha differentialregning.
SPM 5: DIFFERENTIALREGNING
Definer differentialkvotienten.
Udled differentialkvotienten for to simple funktioner (f.eks. f(x)=1/x, f(x)=x^2 eller kvadratrod af x ).
Giv eksempler på anvendelsen af differentialkvotienter.
Differentialkvotient og tangent
Differentiation af kvadratrod af x
Differentiation af x^n Du kan vælge at springe indledning over og gå direkte til det generelle bevis. Det står ikke i bogen! Papirudgave af differentiation af x^n
Læs fx bog II s 181-183, 15-19, 47-53. Mere bredt er det II: 15-53 + 181-190 g bog III: s 15-18. Vores primære materiale har dog været videoerne.
(Udenfor pensum til dem der vil have lidt ekstra: Def af e^x Differentialtion af e^x ) (papirudgave af beviset)
Kommentar til spørgsmålet: Når du bliver bedt om at give eksempler på anvendelser kan det både være i en konkret regnesammenhæng - fx monotoniforhold for funktion eller optimering - men det kan også være eksempler på mere teoretiske anvendelser. Det kan være toppunktsformel for parabel eller sammenhæng mellem areal og integral, hvor A'(x)=f(x) leverer den link, der forbinder teoretisk integralregning med praktisk arealbestemmelse. Når spørgsmålet er dækket kan du sagtens komme ind på bestemmelser af differentialkvotienter ud fra regneregler i stedet for at starte ved definitionen. Det er det vi gør ved (x^n) ud fra omskrivning med eksponentialfunktion eller når vi differentierer x^3 ved at differentiere produktet x*x^2
SPM 6: DIFFERENTIALREGNING
Definer differentialkvotienten.
Præsenter vigtige regneregler for differentiation og bevis en af dem.
Hvordan kan vi bruge regnereglerne til at bevise formlen for differentiation af x^n for forskellige n-værdier?
Differentialkvotient og tangent
(Differentiation af f(x)+g(x) den er næsten for enkel)
Differentiation af f(x)*g(x) (den er "sjovere")
Kæderegel -differentiation af sammensat funktion
Differentiation af x^n Det står ikke i bogen! Papirudgave af differentiation af x^n
(Bonus: Differentiation af x^n - bevis for positive hele n (induktionsbevis) Papirudgave af induktionsbevis for x^n )
Læs fx bog II s 181-187, 15-19 + noterne om differentiation af x^n ovenfor og bog III:199-200. Mere bredt er det II:15-53
Kommentar til spørgsmålet: Der står ikke hvilken regneregel I skal vise men f*g og f(g(x)) er de mest spændende og samtidig de mest interessante når I kommer til spørgsmålet om differentiation af x^n. I det generelle bevis for differentiation af x^n benyttes sammensat funktion, mens der i induktionsbeviset benyttes produktreglen. Det sidste beviser kun reglen for hele n-værdier. Det er ikke sikkert at I skal gennemgå begge beviser for x^n ligesom der kun står at I SKAL bevise en af regnereglerne.
Spm 7: INTEGRALREGNING
Definer arealfunktionen og bevis at arealfunktionen for en funktion f(x) er en stamfunktion for f(x) (kun for en voksende funktion).
Udled sammenhængen mellem areal og det bestemte integral ved hjælp af arealfunktionen.
Giv et eksempel på hvordan man kan beregne et areal ved hjælp af integralregning.
(Arealfunktionen en introduktion) Den er nok ikke interessant til eksamen. Det er mere baggrundsstof
Arealfunktionen er stamfunktion til f(x)
Areal og integral - det sidste trin direkte til beviset
Læs fx bog III s 205-207 om areal og bestemt integral. Bog II: s 62-70
Mere bredt er det II: 55-77 og III: 18-27,213-215
Kommentar til spørgsmålet: Beviset for arealfunktionen er central. Entydighed af stamfunktion behøver man ikke bevise her, men man bruger det. Det med eksempler på beregning af areal kunne være en snak om areal mellem grafer.
Spm 8: INTEGRALREGNING
Definer begreberne stamfunktion og det bestemte integral.
Vi at stamfunktionen er entydigt bestemt pånær en konstant.
Bevis mindst en regneregel for integraler.
Entydighed af stamfunktion Spring indledningen over og gå direkte til beviset
Regneregler for stamfunktion - ubestemt integral og/eller Regneregler for bestemt integral
(Arealfunktionen er stamfunktion til f(x) ) (Dette er en centrale sætning der kunne vises men som også bare kan refereres til. Den er kernen i spm 7)
Rumfang af omdrejningslegeme og beregning af RF af en kegle (Dette er et eksempel på rumfangsbestemmelse - vi beviser ikke sætningen om omdrejningslegemer)
Læs fx bog II: s 55-72. III: s 184-187
Mere bredt er det II: 55-77 og III: 18-27,205-207
Kommentar til spørgsmålet: Når vi indfører stamfunktion og senere bestemt integral bliver entydigheden af stamfunktion (Stamfunktionen er entydigt bestemt pånær "+k") en central sætning. I store træk er regnereglerne for bestemt integral bare en omskrivning af regnereglerne for ubestemt integral og de er igen omskrivninger af differentiationsreglerne. Dermed kan beviset for (f+g)' sagtens inddrages her og derefter omskrives til reglerne for stamfunktion af en sum og slutte med sætningen om det bestemte integral af f+g.
Spm 9. VEKTORER I PLANEN
Indfør skalarproduktet og se på sammenhængen mellem skalarprodukt og vinkler for vektorer.
Udled sætningen om projektion af vektor på vektor
Projektion af vektor på vektor Det kunne være et eksempel på brug af skalarprodukt
(Determinant for vektorer - 2D) Her benytter vi sætning for projektion af vektor på vektor, så det kunne være et eksempel på en anvendelse
Læs fx III s 100-107 og mere bredt III s 80-131
Spm 10. VEKTORER I PLANEN
Præsenter den rette linjes parameterfremstilling og linje.
Bevis afstandsformlen mellem punkt og linje.
Omtal cirkel og cirkeltangent.
Linjens parameterfremstilling og ligning i 2D
Afstand fra punkt til linje i 2D
Projektion af vektor på vektor (Bruges i beviset ovenfor og den kan bevises her, men det er ikke noget krav)
Skæring mellem linjer og cirkler i 2D
Læs fx III s 113-131 og mere bredt III s 80-131
Kommentar: Når der står "omtal cirkel og cirkeltangent", så er det en løs formulering, der kan indeholde selvfølgelig cirklens ligning og dens sammenhæng med formlen for afstand mellem to punkter/længde af et linjestykke. Filmen 'Skæring mellem cirkel og linje" tager udgangspunkt i at vi har en linje og e cirkel og skal afgøre om den er tangent. Man kunne også starte med en cirkel og et punkt og så bestemme tangenten ... dvs præsentere metoden.
Spm 11. VEKTORER I RUMMET
Hvordan beskrives linjer og planer i rummet *)
Bevis afstandsformlen for punkt og plan. *)
Forklar hvordan man i rummet bestemmer projektioner og vinkler mellem relevante objekter blandt punkter, linjer og planer.
Linjens parameterfremstilling og planens ligning i 3D
Prikproduktet i 3D (sammenhæng mellem vinkler og vektorer i 3D er det samme som i 2D - hvorfor? Projektion af vektor på vektor er det samme)
(Projektion af vektor på vektor i 2D) Man benytter denne sætning og kunne evt bevise den. Beviset her er egentlig fra 2D, men alle argumenterne er de samme i 3D, hvor det hele bare foregår i et plan udspændt af de to vektorer. Du kan også bare referere til sætningen og benytte resultatet.
(Afstand fra punkt til linje i 3D )
Læs fx 158-178, 150-154 og mere bredt er det 133-181
Kommentar til spørgsmålet: Krydsproduktet er naturligt at omtale fx ud fra praktiske problemer som bestemmelse af plan ud fra kendskab til tre punkter i planen, men det nævnes ikke direkte i spørgsmålet, fordi store dele af sætningen ikke bevises i bogen. Du kan sagtens komme ind på egenskaberne alligevel.
12. DIFFERENTIALLIGNING OG VÆKST
Forklar om forskrift og graf for den eksponentielle funktion/den eksponentielle udvikling
Hvad karakteriserer en eksponentielle funtion/eksponentiel udvikling.
Forklar om differentialligningen y'=k*y og bevis løsningsformlen for den.
(Lidt om eksponentielle funktioner) (baggrundsviden)
Topunktsformel for eksponentielle funktioner
Vækstformel for eksponentiel vækst
(En differentialligning er ... ) (baggrundsviden)
(Tilvækst og hastighed for lineær og eksponentiel vækst kan udelades)
(Udenfor pensum til dem der vil have lidt ekstra: Def af e^x Differentialtion af e^x ) (papirudgave af beviset)
Læs fx bog I s 84-94, II s 44-45, III s.201-202 og mere bredt er det hele kap 2 i bog III
Kommentar til spørgsmålet: Her kombineres 1.g-stoffet om eksponentiel vækst med især 3.g stoffet om differentialregning og differentialligninger. Du kan vælge at gå lidt hurtigt hen over 1.gstoffet og bare referere topunktsformel og vækstformel, eller du kan gå mere i detaljer med den del af stoffet også. Bogens fremstilling tager udgangspunkt i at (a^x)'=ln(a)*a^x og ud fra dette "beviser" man så at (e^x)'=e^x. Hvis du vilkelig ønsker selv at gå i kødet på differentiation af eksponentialfunktionerne skal du se på de to film om "Def af e^x" og "Differentiation af e^x" men det er ikke en del af pensum og står ikke i bogen.
13. DIFFERENTIALLIGNING OG VÆKST
Bevis løsningsformlen for y'=b-ay.
Giv en behandling af differentialligningerne y'=b-a*y og y'=a*y*(M-y) , hvor du skal kommentere udseendet af (x,y)-grafen og (y,y')-grafen for begge differential-ligningerne.
y'=y*(b-ay) der er det samme som y'=a*y*( b/a - y) eller y'=a*y*(M-y) Dette bevis spørges der ikke direkte til i spørgsmålet, men du kan godt komme ind på det
Læs fx III s 201-205 og 39-49 og mere bredt er det hele kap 2 i bog III
14. TRIGONOMETRI OG TREKANTSBEREGNING
Præsenter Euklids sætning II-12 og sammenlign med den moderne cosinusrelation
Euklid II-12 Euklids sætning II-12 i papirudgave
Cosinusrell for en spidsvinkel (Cosinusrel. for en stumpvinklet)
Læs fx papiret om Euklid II-12 samt bog I side 13-15, 23-24 og s. 26-32. Mere bredt er det I s. 12-32.
15. STATISTIK
Præsenter helt overordnet og kort ideen bag tests, og præsenter tosidige og ensidige test, normalområde og kritisk mængde.
Med udgangs punkt i et af bilagene skal du præsentere mindst et af testene uafhængighedstests, homogenitetstest eller goodnes-of-fit-test. Du skal herunder komme ind på population, stikprøve, nul-hypotese, forventede, T-værdi og p-værdien.
Du skal desuden, med udgangspunkt i et eller flere af taleksemplerne fra de vedhæftede bilag, diskutere hvordan man kunne tolke af resultatet.
Bilag til Chi2-tests
Om ensidige ot tosidige test, normalfordelte blodprøver og chi2-tests. Kristiske mængde og normalområdet Videoen præsenterer selve grundideen i at lave tests. Den er lang og du kan gøre det meget kortere men det er vigtigt at du har ideen
Uafhængighedstest - præsentation ud fra bilag
Homogenitetstest - præsentation ud fra bilag
Goodnes-of-fit-test - præsentation ud fra bilag
Noter til chi2 og normalfordeling (oversigtsnote)
Læs fx oversigtsnoten ovenfor. Noget af det står også i bog II 133-160. Den skelnen der er mellem homogenitetstest og uafhængighedstest, som der er i bilagene finder du ikke beskrevet i bogen, men kun i noterne og videoerne
Kommentar til spørgsmålet: Der er et krav om at vi skal dække to fordelinger. Vi har brugt en simpel normalfordeling (en blodprøve) som den ene fordeling (med tosidigt test) og chi2-fordelingen (med ensidigt test) som den anden. I de konkrete regnesammenhænge har vi kun arbejdet med chi2.
Page updated
Google Sites
Report abuse