Algebra Lineal Teleco (UAM 2014-15)

Queridos alumnos o interesados:

Antes de que sigais leyendo, tengo que hacer 3 avisos:

1) Como sabeis, esto NO ES UNA PÁGINA OFICIAL DE LA UNIVERSIDAD. Este material, no es oficial, lo subo por mi cuenta y riesgo por si os sirve de ayuda. En particular, pueden existir errores, de los que no me responsabilizo.

2) Si un ejercicio es fundamentalmente importante, lo contaré con detalle en las clases. Si un ejercicio es muy poco importante, muy poco interesante, o he hecho otros parecidos, no me voy a molestar en subirlo. Lo que este aquí, por lo tanto, no es clave, pero sí tiene "algo" útil de alguna manera (aunque sea por cultura matemática).

3) La referencia principal (para la asignatura y el material que aquí aparecerá) es el libro de Carl D. Meyer "Matrix Analysis and Applied Linear Algebra", que tiene un manual con las soluciones (sin explicar) disponible en la biblioteca de la EPS..

Muchas gracias por visitar este blog ¡Espero que os sea de ayuda!

Felipe

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27/09/2014 ¿Cómo se hace eliminación Gaussiana? ¿Cómo se hace eliminación hacia atras? ¿Cuántas operaciones hacen falta?

• En este enlace puede verse como se hace eliminación gaussiana en un sistema 3x3 general, y se comprueba que hacen falta 11 multiplicaciones y 8 sumas (y se dan pistas para contar las operaciones en el caso nxn):

Conteo operaciones Eliminación de Gauss 3x3

• En este otro enlace, partiendo de un sistema al que ya le hemos hecho la eliminación gaussiana, se obtiene la solución mediante eliminación hacia atrás haciendo 6 multiplicaciones y 3 sumas (y se dan pistas para contar las operaciones en el caso nxn)

Conteo operaciones Sustitución hacia atrás 3x3

• Por lo tanto, esto resuelve el ejercicio 7 de la hoja 1. Para resolver un sistema 3x3 por eliminación de Gauss y luego sustitución hacia atrás hacen falta 11+6=17 multiplicaciones y 8+3=11 sumas, como se quería comprobar.
• En general, recordemos que para resolver un sistema nxn haciendo primero eliminación de Gauss y despues sustitución hacia atrás hacen falta: n^3/3+n^2−n/3 multiplicaciones (o divisiones) y n^3/3+n^2/2−5n/6 sumas (o restas). (Sí, en este conteo hemos contado la sustitución hacia atrás, contrariamente a lo que dije en clase).

28/09/2014 ¿Cómo se hace Gauss-Jordan? ¿Cuántas operaciones hacen falta?

• En este enlace puede verse como se hace Gauss-Jordan en un sistema 3x3 general, y se comprueba que hacen falta 11 multiplicaciones y 12 sumas, 18 multiplicaciones, lo que resuelve el ejercicio 6 de la hoja 2. (He corregido un error respecto a lo que hice en la pizarra).

Conteo operaciones Gauss Jordan 3x3

• En general, recordemos que para resolver un sistema nxn haciendo Gauss-Jordan hacen falta n^3/2+n^2/2 multiplicaciones y n^3/2-n^2/2 sumas.

10/10/2014 Demostración de que el producto de dos matrices triangulares superiores es triagular superior

• En el siguiente enlace puede verse una demostración de que el producto de dos matrices cuadradas triangulares superiores es triangular superior, que es el ejercicio 6 de la hora 4. Como dije en clase, si no somos capaces de hacer un ejercicio direcamente es buena idea primero intentar COMPROBAR con un ejemplo sencillo y luego intentar DEMOSTRAR de manera teórica (QUE ES LO QUE HAY QUE HACER).

Demostración TS·TS=TS

20/10/2014 Fórmula explícita para la inversa de una matriz triangular superior

El otro día en los últimos minutos de clase comencé a hacer un ejercicio (Hoja 5, ejercicio 5), y comencé haciéndolo mal. Aquí os lo subo corregido. Falta algún detalle, aunque al menos os doy la solución. Me parece un ejercicio muy pesado, aunque no está nada mal para practicar. Intentad hacer y entender al menos el caso 4x4, los casos más grandes son iguales pero con más cuentas. Este lo he pasado a ordenador, para que se entienda mejor la letra en los subíndices. Seguro que sigue habiendo erratas (espero que esta vez no muy imortantes).

Ejercicio 5, hoja 5

24/10/2014 Definición de Grupo

Como comentamos en clase, os subo unas notitas que hacen unos comentarios muy breves sobre ¿qué es un grupo? y ¿donde aparecen grupos? Como indico en el documento, la definición de grupo la podeis consultar en cualquier sitio, lo único bueno de esto es que la he escrito para no matemáticos y con algún ejemplito:

Definición de Grupo

24/10/2014 Algunos comentarios a la hoja 6

Aquí va la teoría necesaria para resolver la hoja 6. Es el archivo que comenté en clase (pero mejorado):

Teoría Necesaria Hoja 6

06/11/2014 Sobre las "permutaciones" que aparecen en las Hojas 6 y 7

Una permutación de filas (o columnas) es una "manera de desordenar" esas filas (o columnas). Hay una definición más general diciendo que una permutación de los números 1,...,n, es una "manera de desordenar" los numeros 1,...,n.

Dos cosas hay que saber sobre permutaciones de filas (o columnas):

1. Permutar dos filas (o columnas) de una matriz M es lo mismo que multiplicar una matriz elemental del tipo adecuado P por M (o M por P en el caso de las columnas). Esto está visto en teoría, en clase de prácticas o en el Meyer.
2. Todas las posibles "maneras de desordenar" las filas (o columnas) de una matriz M se obtienen haciendo la multiplicación PM (o MP en el caso de las columnas) donde P tiene solo 1's y 0's y exactamente un 1 en cada fila y en cada columna. Esto se comprueba muy fácilmente. Las matrices de este tipo yo (no sé si el profesor de teoría) las llamaré matrices de permutación.
3. Por último, cualquier permutación de las filas, se puede conseguir permutando las filas de 2 en 2. Este resultado interpretado en el contexto de matrices diciendo que cualquier matriz de permutación se puede obtener como producto de matrices elementales del tipo correspondiente.

17/12/2014 Sobre la fórmula que he dado hoy para la transformación de Householder

Incorrectamente he escrito Id-(1/||u||)·u·u*, queriendo decir:

Id-(1/||u||^2)·u·u* o lo que es lo mismo Id-(1/<u,u*>)·u·u* (página 324 del libro de Meyer)

Recordad que u es un vector columna, digamos de tamaño n, y por lo tanto u·u* es una matriz n x n. Id, denota la matriz identidad de tamaño n x n.

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IMPORTANTE

Si alguien me consulta cualquier duda, antes del final por correo electrónico, y yo veo que puede ser de interés común, subiré tanto la pregunta como la respuesta aquí:

HOJA 4

7) Es el ejercicio 3.6.11 del libro de Meyer (y viene resuelto en el

libro de soluciones) y se basa en el ejemplo 3.6.5.

Sabiendo que traza(XY)=traza(YX) (ejemplo 3.6.5)

traza(ABC)=traza((AB)C)=traza(C(AB))=traza(CAB)

Para terminar, busca unas matrices 2x2 tales que traza(ABC) sea

distinto que traza(ACB) (no debería ser muy difícil, si no sale, te

puedo dar más pistas)

8) Simplemente se te pide que hagas la multiplicación:

(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+AB+BA+B^2)(A+B)=...

La gracia es que el producto de matrices no es conmutativo, y eso hace

que no haya una solucion tan bonita como para números reales.

¿Cuales son las matrices que si son commutativas entre sí y se

comportan muy parecido a los números reales? Las matrices diagonales

(esto hay que recordarlo siempre). Encuentra dos matrices diagonales

que satisfagan esto.