Cálculo Diferencial
Instructor: Francisco Gómez
Clase: Martes y Jueves (2:00 a 4:00)
Programa: Programa
Horario oficina: Martes (11:00-13:00)
email: fagomezj@gmail.com
website: https://sites.google.com/site/fagomezj/differentialcalculus_2019
Libros de texto y material guía: Cálculo Multivarido de James Stewart Cuarta Edición. Cálculo de George Thomas Decimosegunda Edición. Cálculo Vectorial de Marsden- Tromba Cuarta Edición. Calculus Volumen II de T.M Apostol Editorial Reverte.
Descripción del curso:
Estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.
La modalidad de cursos magistrales consiste de dos clases teóricas a la semana, de dos horas cada una. Es recomendable reservar unas horas para la aplicación de talleres: conjunto de ejercicios, diseñados por cada profesor asignado y resueltos en grupos de estudiante que reciben orientación oportuna del profesor.
Programación
1. Repaso de Funciones y Modelos (hasta 3 semanas)
1.1 Definición, dominio, rango, gráfica de una función, prueba de la recta vertical. Función constante, lineal, cuadrática. Álgebra de funciones. Composición de funciones. Función definida por partes. Función valor absoluto y parte entera. función par, impar, funciones crecientes, decrecientes.
1.2 Transformaciones de funciones: desplazamientos verticales y horizontales, alargamientos verticales y horizontales.
1.3 Funciones exponenciales: gráficas, leyes de los exponentes, modelación con funciones exponenciales, el número e. Funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas.
1.4 Función inversa: función uno a uno, prueba de la recta horizontal, definición de función inversa, gráfica de la función inversa.
1.5 Funciones logarítmicas, propiedades. Logaritmo natural, fórmula para el cambio de base. Funciones trigonométricas inversas.
2. Límites y Derivadas (hasta 4 semanas)
2.1. Límite de una función: definición intuitiva, ejemplos gráficos.
2.2. Cálculo de límites: reglas básicas para el cálculo de límites, límites de funciones definidas por tramos, teorema de compresión.
2.3. Continuidad: definición, teoremas básicos sobre funciones continuas, teorema de sustitución para el cálculo de límites de funciones compuestas, teorema del valor intermedio.
2.4. Límites que comprenden el infinito: límites infinitos y asíntotas verticales, límites al infinito y asíntotas horizontales.
2.5. Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.
2.6. Definición de derivada, interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente, interpretación de la derivada como una razón de cambio.
2.7. La derivada como una función, notaciones de la derivada, relación entre diferenciabilidad y continuidad, Derivadas de orden superior.
3. Reglas de Derivación (hasta 3 semanas)
3.1. Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales. Las reglas del producto y del cociente.
3.2. Derivación de funciones trigonométricas. La regla de la cadena.
3.3. Derivación implícita. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Derivada de la función exponencial y logarítmica. Derivación logarítmica.
4. Aplicaciones de la derivada (hasta 5 semanas)
4.1. Aproximaciones lineales y diferenciales.
4.2 Razones de cambio de variables relacionadas.
4.3. Valores máximo y mínimo absolutos, extremos relativos de una función. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat. Valores críticos de una función.
4.4. Derivadas y las formas de las curvas: teoremas de Rolle y del valor medio, prueba para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, prueba de la primera derivada para extremos relativos.
4.5. Definición de concavidad y puntos de inflexión. Prueba de concavidad, prueba de la segunda derivada para extremos relativos.
4.6. Ejemplos de trazado de gráficas. Método de Newton de aproximación de raíces. Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital.
4.7. Problemas de optimización.
Recursos
Estrategia de calificación
Dos evaluaciones parciales de 25 % cada una, 25% promedio de tareas, talleres, 25% examen final conjunto.