Groupe de travail du projet Automata in Number Theory
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Organisateurs : Boris Adamczewski et Thomas Dreyfus.
Tous les lundis de 14h à 16h en salle 112 (bâtiment Braconnier). Voir ici pour plus de détails.
2018-2019
Groupe de travail autour les automates et la théorie des nombres
Les lundis de 14h00 à 16h00 en salle 112 (bâtiment Braconnier). Voir ici pour plus de détails.
Seance 1 Lundi 22 octobre (14h, salle 112) : Pierre Lairez (INRIA)
Titre : Diagonales de fractions rationnelles et sommes binomiales
Résumé : Les mathématiques foisonnent d'identités à base de coefficients binomiaux. Le calcul formel s'est très rapidement intéressé à la systématisation et à l'automatisation du calcul avec les coefficients binomiaux et leur sommes. Pour commencer, je montrerai quelques-uns des
premiers algorithmes dans cette direction. Puis nous verrons que les séries génératrices des sommes binomiales sont des diagonales de
fractions rationnelles et réciproquement. Cette équivalence ainsi que le calcul des équations différentielles de Picard-Fuchs permet le calcul
des sommes binomiales dans une grande généralité.
Seance 2 Lundi 5 novembre (14h, salle 112) : Driss Essouabri (ICJ)
Titre : Sur les équations différentielles des diagonales des fractions rationnelles
Résumé : Soit k un corps de caractéristique 0. Un résultat classique de la théorie des diagonales de fractions rationnelles
stipule que pour toute diagonale f dune fraction rationnelle, il existe un polynôme différentiel L de k[x, d/dx], non nul, tel que L(f)=0. De plus, les travaux de
Deligne et Christol ont montré que l'équation minimale de f provient de la géométrie. Le but de cet exposé est d'expliquer cette dernière affirmation.
Seance 3 Lundi 12 novembre (14h, salle 112) : Clemens Müllner (ICJ)
Titre : The Möbius function and Sarnak's conjecture I
Seance 4 Lundi 19 novembre (14h, salle 112) : Clemens Müllner (ICJ)
Titre : The Möbius function and Sarnak's conjecture II
Seance 5 Lundi 3 décembre (14h, salle 112) : Clemens Müllner (ICJ)
Titre : The Möbius function and Sarnak's conjecture III
2017-2018
Groupe de travail autour les diagonales de fractions rationnelles.
Les lundis de 14h00 à 16h00 en salle 112 (bâtiment Braconnier). Voir ici pour plus de détails.
Séance 1, le 6/11 par Boris Adamczewski.
Les diagonales de fractions rationnelles: Il s'agit d'une classe importante de séries formelles d'une variable obtenues à partir de fractions rationnelles de plusieurs variables. L'intérêt de ce thème est qu'il mélange arithmétique, géométrie, combinatoire, calcul formel, automates finis, équations différentielles et aux différences.
Je ferai un premier exposé informel et introductif afin de vous présenter ce sujet.
Séance 2, le 13/11 par Reem Yassawi.
Diagonales et le théorème de Furstenberg
Je ferai un résumé des propriétés de base de l'anneau des diagonales, ainsi qu'une démonstration du théorème de Furstenberg, qui exprime chaque fonction algébrique en une variable comme une diagonale d'une function rationelle en deux variables.
Séance 3, le 11/12 par Eric Delaygue.
Algébricité mod p et diagonales de fractions rationnelles.
Il sera question de deux résultats importants qui sont le théorème de Furstenberg (qui lie diagonales et séries formelles algébriques en caractéristique p) et le théorème de Christol (qui lie ces dernières à la théorie des automates finis).
Séance 4, le 20/01 par Frédéric Jouhet.
Les diagonales des séries entières D-finies sont D-finies.
Résumé : Le but de cet exposé est d'étudier un article de L.
Lipshitz publié en 1988, dans lequel il prouve que toutes les
diagonales des séries entières multivariées D-finies sont elle-mêmes
D-finies. Je suivrai le plan de cet article assez court, en commençant
par rappeler les définitions des objets mentionnés, en donnant ensuite
un aperçu des connaissances avant ce résultat, puis en expliquant la
démonstration de Lipshitz. Si le temps le permet, je finirai avec
quelques applications fournies par l'auteur.
Séance 5, le 12/02 par Driss Essouabri
Quelques outils géométriques pour les diagonales des fractions rationnelles.
Résumé : Soit k un corps de caractéristique 0. Un résultat
classique de la théorie des diagonales de fractions rationnelles
stipule que pour toute diagonale f dune fraction rationnelle, il
existe un polynôme différentiel L de k[x, d/dx], non nul, tel que
L(f)=0. De plus, les travaux de Deligne et Christol ont montré que
l'équation minimale de f provient de la géométrie.
Le but de cet exposé est d'introduire quelques outils (d'algèbre
homologique et de géométrie) nécessaires pour aborder ce sujet.
L'exposé ne nécessite aucun pré-requis particulier.
Séance 6: le lundi 12 mars Driss Essouabri
Quelques outils géométriques pour les diagonales des fractions rationnelles II.
Résumé : Dans cet exposé nous continuerons notre introduction de
quelques outils (d'algèbre homologique et de géométrie) nécessaires
pour aborder les travaux de Deligne et Christol sur la théorie des
diagonales de fractions rationnelles. Nous traiterons (brièvement) en
particulier les sujets suivants :
- Homologie singulière : Définition, propriétés, calcul de quelques
exemples...
- Variétés différentielles, variétés complexes, fibrés vectoriels,
formes différentielles, intégration sur les variétés...
- Cohomologie de de Rham : définition, propriétés, calcul de quelques
exemples...
Séance 7: le lundi 19 mars. Driss Essouabri
Quelques outils géométriques pour les diagonales des fractions rationnelles III.
Séance 8: le lundi 9 avril. Driss Essouabri
Quelques outils géométriques pour les diagonales des fractions rationnelles IV.
Séance 9: le lundi 14 mai Driss Essouabri
Quelques outils géométriques pour les diagonales des fractions rationnelles V.
2016-2017
Tous les lundis de 13h30 à 15h30 en salle 112 (bâtiment Braconnier). Voir ici pour plus de détails.
Séance 1, le 18/10 par Boris Adamczewski. Suites et ensembles automatiques : autour d'un théorème de Cobham. (de 10h30 à 12h30, salle Fokko du cloux)
Résumé : Le groupe de travail du projet ANT reprend cette année avec un cycle d'exposés autour d'un joli théorème dû à Cobham à la fin des années soixante. Ce résultat formalise, à l'aide de la théorie des automates finis, l'idée naïve et intuitive suivante : s'il est aisé de reconnaître qu'un entier écrit en base 2 est une puissance de 2, cela est bien moins évident lorsque cet entier est écrit en base 3. Tout le sel du théorème de Cobham vient du fait qu'il a donné lieu à des travaux d'origines très diverses (théorie des modèles, pavages, fractales, arithmétique, équations aux différences et analyse...), notamment récemment.
Dans ce premier exposé, qui ne nécessitera aucun pré-requis, j'expliquerai ce que sont les suites et les ensembles automatiques, je présenterai le théorème de Cobham et certaines de ses généralisations, ainsi que son lien avec les équations mahlériennes.
2015-2016
Tous les lundis de 14h à 16h en salle 112 (bâtiment Braconnier). Voir ici pour plus de détails.
Résumé : Cette théorie a pour but de comprendre les équations différentielles d'un point de vue algébrique. Plus précisément, à une équation différentielle linéaire, on peut associer un groupe, le groupe de Galois différentiel, qui mesure les relations algébriques entre les différentes solutions de ce système. D'une part, cette théorie joue un rôle important pour des questions de transcendance et d'indépendance algébrique en théorie des nombres. D'autre part, de nombreuses séries génératrices en combinatoire énumérative sont solutions d'équations différentielles linéaires. Il s'agit donc d'un thème très riche. Le but de ce groupe de travail est, dans un premier temps, de découvrir ce domaine au travers d'exposés introductifs, ne nécessitant aucun prérequis.
Séance 1, le 1/12 par Thomas Dreyfus. Extensions de Picard-Vessiot.
Séance 2, le 8/12 par Thomas Dreyfus. Groupe de Galois différentiel.
Séance 3, le 15/12 par Thomas Dreyfus. Correspondance de Galois, extensions Liouvilliennes.
Séance 4, le 11/1 par Gwladys Fernandes. Théorème de Siegel-Shidlovsky.
Séance 5, le 18/1 par Gwladys Fernandes de 14h à 15h. Théorème de Siegel-Shidlovsky, suite et fin.
Séance 6, le 25/1 par Claude Mitschi (Strasbourg). Théorie de Galois différentielle analytique : introduction aux théorèmes de densité.
Séance 7, le 1/2 par Jacques-Arthur Weil (Limoges). Algorithme de Kovacic.
Séance 8 , le 15/2 par Thomas Dreyfus. Introduction à la théorie de Galois aux différences.
Séance 9 , le 29/2 par Julien Roques (Grenoble). Théorème de Siegel-Shidlovsky raffiné par Beukers.
Séance 10 , le 14/3 par Lucia Di Vizio (Versailles). Théorie de Galois à paramètre continu.
Séance 11 , le 21/3 par Charlotte Hardouin (Toulouse). Théorie de Galois à paramètre discret.
Séance 12 , le 18/4 par Julien Roques (Grenoble). Equations hypergéométriques dont le groupe de Galois fini. (salle 125)
Séance 13 , le 25/4 par Amador Martin-Pizarro. Le théorème d'Ax sur la conjecture de Schanuel différentielle. (salle 125)
Séance 14 , le 13/6 par Jacques Sauloy (Toulouse). Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion, monodromie, confluence.