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Esta seção é destinada à proposição e resolução de problemas matemáticos interessantes, desde os mais simples aos de complexidade maiores. Os temas serão discutidos em outra seção do site, mas desde já propomos algums problemas e suas soluções antes do conteúdo teórico necessário para a solução. Para aqueles que gostam de resolver problemas, teremos uma grande fonte, incluindo a proposta de resolução.
Problema 1
A diferença entre dois números (reais) positivos é igual a 1 (um). O produto desses mesmos números é também igual a 1 (um). Qual a diferença entre os cubos desses números?
Para solucionar este problema começaremos rescrevendo-o em linguagem matemática:
A . B = 1 => A = B -1 (1)
A - B = 1 => A = ( 1 + B ) (2)
Reescrevendo o sistema, para uma incógnita encontramos:
B -1 = ( 1 + B ) => B2 + B + 1 = 0 (3)
As raízes desta equação solucionam o problema
( A 3 - B 3 ) = R (4)
As raízes são:
B' = ( -1 + √5 ) / 2
B'' = ( -1 -√5 ) / 2
O problema propõe que os números A e B são reais e positivos logo usamos a raíz B' = ( -1 + √5 ) / 2.
de (1) tiramos
( A 3 - B 3 ) = R <=> ( ( B -1 )3 - B 3 ) = R <=> ( B - 3 - B 3 ) = R
R = ( ( -1 + √5 ) / 2 ) - 3 - ( ( -1 + √5 ) / 2 )3 = 4
Problema 2
Se hoje Pedro tem o dobro da idade de Maria e daqui a 20 anos Maria será 10 anos mais jovem do que Pedro, qual será a idade de Pedro nessa época?
Problema 3
{x->a} lim (x^1/m - a^1/m)/(x^1/n - a^1/n)
Basta aplicar L'Hôpital ..
{x->a} lim (x^1/m - a^1/m)/(x^1/n - a^1/n)
{x->a} lim (1/m)x^((1/m)-1) / (1/n)x^((1/n)-1)
{x->a} lim x^((1/m)-1 -(1/n)+1) * n/m
{x->a} lim x^((1/m)-(1/n)) * n/m
a^((1/m)-(1/n)) * n/m
Problema 4
Em uma reunião de agentes da Polícia Rodoviária Federal, verificou-se que a presença por Estado correspondia a 46 % do Rio de
Janeiro, 34 % de Minas Gerais e 20 % do Espírito Santo. Alguns agentes do Rio de Janeiro se ausentaram antes do final da reunião,
alterando o percentual de agentes presentes do Rio de Janeiro para 40 %. O percentual referente ao número de agentes que se
retirou em relação ao total inicialmente presente na reunião é de
Problema 5
O peixe
O peixe
A cabeça de um peixe mede 9 cm.
A cauda mede o tamanho da cabeça mais metade do tamanho do corpo, e o corpo mede o tamanho da cauda mais o tamanho da cabeça.
Quanto mede o peixe inteiro?
ps.: cabeça + corpo + cauda = peixe inteiro.
Estou dizendo isso pq teve gente q confundiu corpo do peixe com peixe inteiro...
Problema 6
{x->0}Lim [sqrt(1/x+sqrt(1/x + sqrt(1/x))) - sqrt(1/x-sqrt(1/x + sqrt(1/x)))]
Problema 7
Calular a integral:
I = ∫ sec²(x)dx
Para realizar a integração anterior necessitamos primeiro realizar uma transformação:
(1) Agora integramos:
(2) Para solucionar esta integral, utilizamos o processo de integração por partes através da regra da cadeia na forma:
(3) Temos então:
(4) (5) Substituímos (4) e (5) em (3) e obtemos:
Logo:
(6) Substituindo (6) em (1) obtemos:
Problema 8
2+2=5
2+2=5
Mto loko isso mas... tente entender.
-20=-20
isso nós podemos escrever assim:
16-36=25-45
e assim...arrumando:
4²-2*4*9/2=5²-2*5*9/2
lembre-se que 2*4*9/2, cancelando os 2 que temos, ficamos com 4*9=36 o q nao nos ajudaria em nada, assim como deixando ele não atrapalha.
agora, vamos somar (9/2)² dos dois lados
4²-2*4*9/2+(9/2)²=5²-2*5*9/2+(9/2)²
podemos agora escrever esses dois lados da igualdade como sendo (a+b)². Não esqueçam que (a+b)²=a²+2ab+b²
Assim temos:
(4-9/2)²=(5-9/2)²
Passando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
4-9/2=5-9/2
Cortando o -9/2 de cada lado, temos:
4=5
como 4=2+2, temos
2+2=5
Qual é o erro?
Problema 9
Calcular a integral a seguir:
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