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Dentro de la electrónica digital, existe un gran número de problemas a resolver que se repiten normalmente. Por ejemplo, es muy común que al diseñar un circuito electrónico necesitemos tener el valor opuesto al de un punto determinado, o que cuando un cierto número de pulsadores estén activados, una salida permanezca apagada. Todas estas situaciones pueden ser expresadas mediante ceros y unos, y tratadas mediante circuitos digitales. Los elementos básicos de cualquier circuito digital son las compuertas lógicas. Hay disponible una gran variedad de compuertas estándar, cada una con un comportamiento perfectamente definido, y es posible combinarlas entre si para obtener funciones nuevas. Desde el punto de vista practico, podemos considerar a cada compuerta como una caja negra, en la que se introducen valores digitales en sus entradas, y el valor del resultado aparece en la salida. Si bien al pensar en la electrónica digital es muy común que asumamos que se trata de una tecnología relativamente nueva, vale la pena recordar experimentos con relés e interruptores conectados en serie, paralelo u otras configuraciones para crear las primeras compuertas lógicas funcionales.
Implementación de circuitos digitales mediante combinación de compuertas.
Cada compuerta tiene su función individual, posee varias entradas y una salida, ésta salida proporciona un valor lógico de uno ó cero según la particularidad operacional de cada compuerta, este dato puede conectarse ó enviarse a la entrada de otra u otras compuertas para ser procesado y dependerá de la función del elemento a cual se conecta el resultado de su salida y así sucesivamente se pueden conectar diversas cantidades de compuertas para formar un circuito digital.
Observe el circuito de la figura y su tabla de verdad
La compuerta que tiene la salida resultante X es una And, una entrada de la And está conectada directamente con la variable A y la otra entrada está conectada con la salida de la compuerta Or, esto significa que el resultado de la función Or se enviará a la entrada de la And.
En las cuatro primeras combinaciones de la tabla de verdad cualquier entrada cero en una And produce una salida de cero, en este caso la variable A se encuentra en cero, cuando ésta pasa a 1 le permite que la otra entrada decida la salida. En la quinta combinación A está en 1 lo que significa que la compuerta Or decide en este caso la salida X, como las variables B y C están en cero la salida de la Or envía un cero a la entrada de la And dando como resultado una salida de cero. En la sexta combinación de la tabla B está en 1 y C en 0, dando una salida en la Or de 1, este resultado multiplicada por 1 que tiene la variable A envían la salida X de la And a 1. En las últimas combinaciones la compuerta Or proporciona un 1 a la salida y como la And tiene 1 en la entrada la salida X tiene un 1. De esta forma se completa la tabla de verdad para circuito en particular.
EXPRESIONES BOOLEANAS
Existe una forma sencilla y eficaz de analizar el comportamiento de los circuitos lógicos conocida como el álgebra Boleana, en honor de su creador el matemático inglés George Boole (1815-1864). En rigor de verdad, cuando George Boole creó el álgebra Boleana, no lo hizo precisamente con circuitos lógicos digitales en mente, ya que en su época no sólo no se habían inventado los circuitos integrados ni los transistores, ni siquiera existían los costosos bulbos electrónicos que posibilitaron el desarrollo de la radio. Fue un ingeniero de nuestros tiempos, Claude Shannon (1916-2001), a quien se le ocurrió la idea de que los principios del álgebra Boleana que había aprendido en sus estudios universitario eran muy similares a los de los circuitos eléctricos que estaba estudiando. De hecho la hemos estado utilizando desde que se introdujeron las tres funciones lógicas básicas. Las funciones OR, AND y NOT son expresiones tomadas directamente de la lógica simbólica. Lo que haremos aquí es formalizar estos conceptos usando símbolos para representar las palabras binarias. El álgebra Boleana consiste en utilizar literales en lugar de combinaciones de "unos" y "ceros" para el análisis de los circuitos lógicos, es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener sólo dos valores posibles: 1 (valor alto) ó 0 (valor bajo). Las operaciones boolenas son posibles a través de los operadores binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.
OPERACIONES BOOLEANAS.
Inversión o negación (complemento)
Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable, en este curso emplearemos esta última notación. El apóstrofe (’) es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la señal de entrada de un inversor, entonces X’ representa el complemento de tal señal.
Suma booleana
La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables, la suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma: X = A + B
Multiplicación booleana
La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo punto (·) entre las dos variables. La multiplicación booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma: X = A · B
Propiedades de las Operaciones Booleanas
Las operaciones booleanas están regidas por tres leyes similares a las del álgebra convencional. Estas incluyen las leyes conmutativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva.
A. Leyes conmutativas en dos variables
1. Ley conmutativa de la suma se enuncia como sigue: X + Y = Y + X
En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR.
2. Ley conmutativa de la multiplicación X·Y = Y· X
En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta AND.
B. Leyes asociativas en tres variables
1. Ley asociativa de la adición, se escribe en forma algebraica de la siguiente forma:
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
2. Ley asociativa de la multiplicación: A·( B· C) = ( A·B )· C
C. Ley distributiva para tres variables
En el álgebra de Boole, la multiplicación lógica se distribuye sobre la suma lógica:
A·( B + C ) = A·B + A·C
Información: Algeba Booleana
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