Raices
Vamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31. Voy a apuntarlos.
Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5. Como he dicho anteriormente, un programa que facilitará enormemente esta tarea es el "Conversor Numérico".
Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.
Veamos en qué consiste el método:
Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:
Queremos calcular la raíz cuadrada de 110 .
El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:
Raíz cuadrada de 430
Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen.
Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.
De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:
Raíz cuadrada de 319
Esta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.
Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:
Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.
Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:
972 = 9409
Otros ejemplos
De forma un poco más rápida calculamos 222
Ahora uno un poco más complicado: 762
Explicación matemática
Primero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:
ab = (10 · a) + b
(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2
Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)
(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2
El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.
Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.
Trucos y consejos
A medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:
Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .
¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.
412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681
La fórmula conocida por todos es esta:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales
Empezaremos por esta operación por ser la más sencilla. Para poder llevarla a cabo deberemos conocer perfectamente los cubos de los números del 1 al 9. Esta tabla:
Primero os daré algunos consejos para memorizar la tabla. He sombreado de amarillo las columnas en las que el número al cubo acaba con el mismo número que el que elevamos. Por ejemplo, 9 al cubo es 729 , 729 termina en 9. Fijaos que cada resultado termina por un número diferente. Si queréis aprender a memorizar números de forma fácil e incluso divertida os recomiendo mi programa "Conversor Numérico".
Los primeros 5 cubos son muy comunes y seguramente ya os sean familiares, el número 8 al cubo es 512, este también es muy común para mis compañeros de gremio, los informáticos. En caso de que estos 6 cubos ya os resulten familiares sólo tendríais que aprender 3 cubos, los del 6, 7 y 9, de estos 3 cubos hay 2 sombreados de amarillo. Bueno, que como veis es muy fácil hacerse con estos 9 cubos y más cuando os diga que esto os permitirá sacar 100 raíces cúbicas exactas.
¡Vamos allá!
Pedimos a alguien que eleve al cubo un número del 1 al 100 y nos diga el resultado, nosotros seremos capaces de desvelar al número que se ha elevado, la raíz cúbica.
Suponemos que se ha elegido el número 54.
543 = 157.464
El resultado lo vamos a partir en 2 números, la parte del número anterior al punto de los miles y la posterior:
Anterior 157 : Como ya conocemos perfectamente la tabla anterior sabemos que 157 está entre 125 y 216, los cubos de 5 y 6, con esto ya sabemos que la decena es 5 .
Posterior 464 : Acaba en 4, igual que 4 al cubo (64 ), así que las unidades son 4.
La raíz cúbica de 157.646 es 54
Algunos ejemplos más para que quede claro del todo:
571.787
Anterior 571 : Entre 512 (83) y 729 (93), decenas 8.
Posterior 787 : 33 termina en 7, unidades 3 .
Resultado: 83
6.859
Anterior 6: entre 1 (13) y 8 (23), decenas 1 .
Posterior 859: termina en 9, igual que 93 , unidades 9 .
Resultado: 19
A todas aquellas personas que no saben hacer una raíz cuadrada sin calculadora (yo estoy entre ellas), les traigo el cálculo de raíces cúbicas de números de 9 dígitos de memoria, al que a partir de ahora lo abreviaremos en RCN9D.
Lo primero que hay que saber, es que en el rango de números de 9 dígitos sólo existen 999 números que tienen raíces cúbicas, así el conjunto de 9 dígitos se ha reducido bastante.
Primer truco: aprenderse los cubos de los 10 primeros números, como si estuvieramos en 2º de Primaria, con las tablas de multiplicar. Con esto conseguiremos sabe la base de nuestras RCN9D, consiguiendo saber las raíces cúbicas de números de 3 dígitos.
Segundo truco: ahora vamos a atacar las raíces cúbicas de números de 6 dígitos, para ello cogeremos los tres primeros dígitos de nuestro número y veremos una aproximacíon, con las raíces cúbicas de 3 dígitos, por ejemplo: 300763 => 300 => Raíz cúbica entre 6 y 7, por esto la de 300763 estará entre 60 y 70.
Gracias a esta imagen podremos realizar un cálculo para obtener la raíz cúbica de nuestro número de 6 dígitos, se realiza el siguiente cálculo, a los últimos tres dígitos se les aplica el módulo 10 obteniendo un dígito, que mirandolo en la tabla conseguiremos su resultado de elevarlo al cubo y aplicarle el módulo 10. Para entendernos todos, solo debemos hacer el módulo 10 a los tres últimos dígitos del número de 6 dígitos y conseguimos un número (parte izquierda) que en la tabla está relacionado con otro (parte derecha), así con este resultado y la primera aproximación hallamos la raíz cúbica.
Siguiendo el ejemplo sería, 300763 => 300 => Raíz cúbica entre 6 y 7, por esto la de 300763 estará entre 60 y 70, 763 mod 10 = 3, que poniendolo en la tabla obtenemos 7 y como 77 no puede ser al pasarse del rango, pues el resultado es 67.
Tercer truco: Ya podemos realizar nuestras buscadas RCN9D, para ello basándonos en las mismas técnicas de antes podremos hacer aproximaciones rápidas. Por ejemplo: 580093704, cogiendo los tres primeros dígitos 580 podemos saber que está entre 512 (8 al cubo) y 729 (9 al cubo), para saber así que el resultado de la RCN9D estará entre 800 y 900 (gracias a nuestro primer truco). Ahora cogiendo el último dígito, 4 con la tabla del segundo truco sabemos que el resultado será del tipo 8X4, donde X es un número del 0 al 9, solo nos queda saber cual será ese número. Para esto, haciendo algo parecido a nuestro segundo truco, conseguiremos otra tabla basada en módulos y sus respectivos cubos, para poder hallar así al número central:
Con esta tabla, vemos los módulos de 9 y de 11 que usaremos ahora para calcular nuestra RCN9D, aunque el módulo 9 no se va a usar los autores lo pusieron porque explicaban algo más que yo. Así usando el módulo 11 y nuestro número, tendremos que realizar el siguiente cálculo, restar y sumar alternativamente de derecha a izquierda, sucesivamente hasta tener un número menor de 11, restarlos de manera que quede un número positivo de un dígito, a ese número le aplicaremos el módulo 11 e iremos a la tabla para saber su resultado.
Siguiendo el ejemplo, que es como mejor se entera uno, 580093704 = 4 – 0 + 7 – 3 + 9 – 0 + 0 – 8 + 5 = 14 = 4 – 1 = 3 modulo 11, mirando la tabla conseguimos que la raíz cúbica es igual a 9 mod 11, por esto tendremos que realizar la siguiente ecuación, sabiendo que el número es del tipo 8X4, resolveremos la ecuación 4 – x + 8 = 9 modulo 11 => 12 – x = 9 modulo 11, so x = 3 modulo 11. Esta ha sido fácil, no se si saldrán ecuaciones más díficiles.
Cualquiera puede hacer raíces cúbicas mentalmente
Pídele a un compañero que escoja un número entero entre el 1 y el 100 y que lo eleve al cubo con ayuda de una calculadora. Que te diga el resultado. Tú, mentalmente, vas a hacer la raíz cúbica y a averiguar el número original. ¡Cálculo mental de alto nivel!
No requiere mucho esfuerzo, sinceramente. Lo que se tiene que hacer, en primer lugar, esmemorizar los cubos de los números del 1 al 9. También se pueden apuntar en un papel e irlo mirando, pero es mejor tener clase y elegancia que tener una chuleta con los resultados.
13=1 63=216
23=8 73=343
33=27 83=512
43=64 93=729
53=125 103=1.000
Prácticamente ya está. Imagina que te dicen el 157.464. Tomas la cantidad que va antes del punto, el 157, y te fijas que es más grande que 53, pero no llega a 63. Por tanto, la primera cifra del número que buscamos es un 5. Para averiguar la segunda cifra observa el último dígito del resultado; en este caso, el 4. Solo hay una cifra cuyo cubo acabe en 4: el propio 4. Por tanto, el número buscado es el 54.
Otro ejemplo. Te dan el 10.648. Tomas el 10, que está entre entre 23 y 33. Por tanto, la primer cifra es un2. El cubo termina en 8, y solo el 23 termina en 8. Por tanto, la segunda cifra es un 2. El número que han pensado es el 22.
¡Extra! ¡Más difícil todavía! ¡Cómo hacer la raíz quinta! (Clic en Leer más)
En este caso, análogo al método anterior, hay que memorizar o apuntar los siguientes números. No me pasaré de listo, es mejor apuntarlos, son muy largos.
15=1 65=7.776
25=32 75=16.807
35=243 85=32.768
45=1.024 95=59.049
55=3.125 105=100.000
Cuando te den el número, quítale las últimas 5 cifras. Si te dicen el 28.629.151, te quedas solo con el 286, que está entre 35 y 45. Por lo tanto, la primera cifra del número que buscamos es 3. El segundo dígito coincide con la última cifra del número grande. En nuestro caso es 1, así que la segunda cifra es 1. El número buscado es el 31.
