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2021-2023.
Cours des semestre 1 et semestre 2
Au semestre 1, l'objectif est de faire la liaison entre les mathématiques du lycée et les mathématiques de l'ECG. En analyse, on présente les fonctions usuelles : polynômes, exponentielle, logarithme, racine n-ème etc... On réintroduit les notions de convergence de suites, et de convergence réelle. On définit alors les notions de continuité, dérivée et intégrale. En algèbre, on donne une méthode pour résoudre les systèmes linéaires et l'on introduit les matrices. La nouveauté est en algèbre, c'est la notion d'espace vectoriel et de familles libres/génératrices et bases. En probabilités, nous introduisons un cadre pour faire les probabilités finies. Les variables aléatoires finies classiques sont introduites.
Au semestre 2, on introduit de nouveaux objets. En algèbre, on introduit les notions essentielles de dimension et d'applications linéaires. Puis on fait le lien entre applications linéaires et matrices. En analyse, on définit les notions de séries nécessaire pour étudier les variables aléatoires discrètes en général et l'intégrale impropre nécessaire pour étudier les variables aléatoires à densité (en deuxième année). En probabilités, nous présentons le cadre général d'espace probabilisé et nous nous intéressons aux probabilités dans le cadre discret mais potentiellement infini.
TD des semestre 1 et semestre 2 et les corrigés de quelques exercices pour les semestre 1 et semestre 2.
Séances Informatiques de l'année (dossier .zip à décompresser)
2019-2021.
Cours de L3. 10 ECTS.
Dans ce cours, l'objectif est de solidifier les connaissances de géométrie du secondaire des étudiants. Les trois premiers chapitres sont consacrés à la géométrie plane. Les trois derniers chapitres sont consacrés à la géométrie en dimension supérieure.
Chapitre 1 : C'est une étude du plan affine comme ensemble de points avec action de vecteurs. On rappelle la notion de barycentre. Ensuite on introduit une notion de produit scalaire dans le plan ce qui permet de démontrer les théorèmes de Pythagore et de Thalès et de projection orthogonale sur une droite. On définit ensuite les similitudes classiques du plan et l'on fait des calculs d'aire élémentaire.
Chapitre 2 : On s'intéresse aux classiques de la géométrie du plan. Après avoir rapidement travaillé le point de vue analytique avec les équations cartésiennes, on reprend à la base la notion de cosinus, sinus et d'angle. Ensuite on s'intéresse à des polygones du plan et plus particulièrement au triangle. Après avoir vu les théorèmes analytiques classiques dans le triangle : trigonométrie et formule d'Al-Kashi, on s'intéresse à la concourrance des droites remarquables d'un triangle.
Chapitre 3 : Dans ce chapitre, nous abordons des notions plus avancées de géométrie. Notamment les nombres complexes qui nous servent à décrire de manière plus synthétique les similitudes du plan. Les coniques sont également évoquées. Nous les définissons comme des lieux géométriques définis par une équation cartésienne de degré 2. Nous abordons de manière plus anecdotique la construction à la règle et au compas.
Chapitre 4 : Dans ce chapitre, on généralise la géométrie affine à la dimension quelconque : structure affine, repère affine, espace euclidien ainsi que les théorèmes vus en dimension 2 : théorème de Pythagore, projeté orthogonal sur un sous-espace affine et hyperplan médiateur.
Chapitre 5 : Ce chapitre est l'occasion d'une étude systématique des fonctions affines déjà abordées au chapitre 1. L'étude des propriétés de la linéarisation d'une fonction affine est essentielle. Ensuite, nous étudions le groupes des transformations affines. Enfin nous énumérons les isométries de basse dimension (1,2 et 3).
Chapitre 6 : Dans ce chapitre, on se propose de faire une étude analytique en dimension d (principalement en vue de l'appliquer pour la dimension 3). On s'intéresse d'abord aux équations cartésiennes en dimension classique. Puis on s'intéresse aux méthodes de calculs d'aires et de volumes en dimension quelconque : intégration par tranches et changement de variables pour obtenir les formules classiques d'aires et de volumes. On termine avec quelques méthodes de dessin en dimension 3 : dessin en perspective, objets de révolution.
Mots clés : Géométrie affine, droite, barycentre, associativité du barycentre, théorème de Pythagore, théorème de Thalès, projection orthogonale sur une droite, médiatrice similitudes planaires, équations cartésiennes, cercles, cosinus, sinus, angle, parallélogramme, rectangle, losange, carré, triangles, trigonométrie formules d'Al-Kashi, points remarquables d'un triangle, droites remarquables d'un triangle, nombres complexes, coniques, réduction de coniques, centre de symétrie d'une conique, foyer d'une conique, excentricité d'une conique, construction à la règle et au compas, repère affine, sous-espace affine, hyperplan médiateur, application affine, linéarisation, groupe affine, vissage, symétrie glissée, intégrale multiple, changement de variable, perspective, objet de révolution.
Cours de L2. 2,5 ECTS.
Dans ce cours, nous abordons trois thèmes très différents les uns des autres. Dans un premier chapitre, nous effectuons une étude métrique des courbes paramétrées dans le plan et dans l'espace. Après avoir discuté la notion de longueur de courbe et de paramétrage par longueur d'arc, nous introduisons le repère Fresnet. Finalement nous nous intéressons à la courbure dans le plan et la courbure et la torsion dans l'espace. Dans le plan, nous nous intéressons au calcul du cercle osculateur. Dans un second chapitre, nous nous intéressons aux intégrales multiples de fonctions positives pour calculer aires et volumes. Deux méthodes sont présentées, l'intégration par tranches (qui repose sur le théorème de Fubini) et le changement de variable. Dans un troisième et dernier chapitre, nous nous intéressons à l'étude d'équations différentielles non-linéaires. Le théorème de Cauchy-Lipschitz est admis. Différents types d'équations différentielles sont étudiées.
Mots clés : Courbes paramétrées, paramétrage par longueur d'arc, repère de Fresnet, courbure, torsion, cercle osculateur, intégrale multiple, aire, volume, théorème de Fubini, théorème du changement de variable, équations différentielles ordinaires, théorème de Cauchy-Lipschitz, équations différentielles de Bernoulli, équations différentielles de Ricatti, équations différentielles autonome, portrait de phase.
Cours de L3. 7,5 ECTS.
Dans ce cours, nous introduisons la théorie de l'intégration de Lebesgue. Le premier chapitre permet de rappeler des notions élémentaires sur la dénombrabilité et le calcul ensembliste. Dans le deuxième chapitre, nous définissons la notion de tribu et donnons les méthodes classiques de construction des tribus : tribu-image, lemme de transport, tribus boréliennes. Le troisième chapitre est consacré aux notions de fonctions mesurables et étagées. Le point principal étant de démontrer le lemme fondamental d'approximation des fonctions mesurables par les fonctions étagées. Au quatrième chapitre, nous définissons la notion de mesure abstraite. C'est l'occasion de démontrer les propriétés générales des mesures mais aussi de donner des méthodes de construction. La construction de la mesure de Lebesgue est renvoyée au chapitre 8 mais ses propriétés sont étudiées en détail. Au cinquième chapitre nous définissons l'intégrale associée à un espace mesuré et en donnons les principales propriétés. Le point technique du chapitre est la démonstration du théorème de Beppo-Levi. À la fin du chapitre, on fait le lien entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue. On notera que les espaces L^p sont étudiés en TD. Au chapitre 6, on s'intéresse aux théorèmes de convergence sous le signe intégral. On démontre le lemme de Fatou pour ensuite démontrer le théorème de convergence dominée. Ce théorème est ensuite appliqué pour étudier les intégrales à paramètres. Au septième chapitre, nous abordons les mesures produits et notamment le théorème de Fubini-Lebesgue ainsi que le théorème du changement de variable qui est admis. Au huitième et dernier chapitre nous donnons une construction élémentaire de la mesure de Lebesgue.
Mots clés : Tribus, boréliens, lemme de transport, fonctions étagées fonctions mesurables, lemme fondamental d'approximation, mesure, mesure de Lebesgue, intégrale de Lebesgue, théorème de la limite monotone, théorème de Beppo-Levi, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée, mesure produit, théorème de Fubini-Lebesgue, théorème du changement de variable.
Cours de L3. 7,5 ECTS.
Dans ce cours, nous reprenons le cours de L2 sur les critères de réduction des endomorphismes. Nous complétons cela avec une étude des sous-espaces caractéristiques. Le polynôme caractéristique est redéfini. Au deuxième chapitre, nous nous intéressons à la décompostion de Dunford et son application au calcul de l'exponentielle de matrices. Au troisième chapitre, nous introduisons la notion de groupe et de morphisme de groupes. Nous démontrons le théorème de Lagrange. Enfin nous donnons des exemples classiques de groupes issus de la géométrie et de la combinatoire. Au quatrième chapitre, nous parlons de sous-groupes distingués et groupes quotients. Ensuite, on donne une première approche de la notion d'action de groupes. On applique les actions de groupes pour démontrer les théorèmes de Sylow.
Mots clés : Diagonalisation, trigonalisation, polynôme caractéristique, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, matrices nilpotentes, décomposition de Dunford, exponentielle de matrices, groupe, théorème de Lagrange, groupes cycliques, groupes diédraux, groupes symétriques, sous-groupe distingués, groupes quotients, actions de groupes, formules des classes, p-groupes, p-Sylow, théorèmes de Sylow.
Cours de L2. 7,5 ECTS.
Dans ce cours nous définissons l'intégrale de Riemann au premier chapitre et nous introduisons les méthodes de calcul intégral classiques : théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, changement de variable, règles de Bioche. Enfin, on utilise le calcul intégral pour calculer la valeur de sommes de Riemann. Le deuxième chapitre est consacré aux équations différentielles linéaires classiques et les équations différentielles s'y ramenant (en TD notamment). Au troisième chapitre, nous étudions les intégrales généralisées, le calcul mais aussi l'étude de convergence. Des exemples d'intégrales semi-convergentes sont abordés. Au quatrième chapitre, on s'intéresse aux séries et à leurs convergence. Au-delà des méthodes usuelles, on s'intéresse à la comparaison série-intégrale. La transformée d'Abel est abordée en TD.
Mots clés : Intégrale de Riemann, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, changement de variable, décomposition en éléments simples, équations différentielles linéaires, intégrale généralisée, intégrale impropre, séries numériques, convergence absolue, séries semi-convergentes, transformée d'Abel.
2018-2019
Analyse 2 pour physiciens et ingénieurs, cours. Ce cours d'analyse tourne autour de la notion d'intégrale. En introduction, on redonne la construction des fonctions classiques. Les deux premiers chapitres sont consacrés à l'intégrale de Riemann, le premier s'intéressant à la construction théorique de cette intégrale. Le second s'intéresse au calcul intégral. Dans un troisième chapitre nous proposons des méthodes de résolution pour les équations différentielles (principalement linéaires). On introduit ensuite la notion d'intégrale généralisée et de séries numériques. On étudie les convergences absolues principalement. Le dernier chapitre est consacré à l'étude des fonctions de plusieurs variables, continuité et différentiabilité de ces fonctions. Les théorèmes classiques sont abordés.
Mots clés : Intégrale de Riemann, théorème fondamental de l'analyse, changement de variable, décomposition en éléments simples, équations différentielles linéaires, intégrale généralisée, intégrale impropre, séries numériques, convergence absolue, séries semi-convergentes, fonctions de plusieurs variables, espaces vectoriels normés de dimension finie, différentiabilité, dérivées partielles, théorème de Schwarz, théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites.
Analyse 1 pour physiciens et ingénieurs, fiches TD et corrections. Les trois premières fiches tournent autour de la récurrence, de la notion de relation et des rudiments d'analyse réelle. Ensuite, nous introduisons la notion de limite de suite réelle. Le reste des fiches est dédié à l'étude des fonctions réelles : limite de fonctions, continuité et dérivabilité. On s'appuie sur les fonctions classiques : polynômes, logarithme, exponentielle, racines n-ème et fonctions trigonométriques.
Mots clés : convergence et divergence de suites, analyse réelle, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, taux d'accroissement, dérivation, théorème de la bijection.
2017-2018
Introduction to programming (en anglais), les cours, travaux à la maison et fichiers supports sont contenus dans ce fichier zip.
2013-2016
Algèbre et combinatoire,
Chapitre 1 Combinatoire énumérative. Dans les prérequis, on définit la notion de cardinal qui est essentielle pour compter. On fait également quelques rappels sur les relations ainsi que de l'arithmétique élémentaire. Dans le cours, après avoir introduit la notion de fonction caractéristique, on donne quelques méthodes de dénombrement élémentaires. De nombreuses démonstrations reposent sur la construction d'une bijection. Finalement, nous donnons un exemple un peu plus élaboré de problème combinatoire avec la formule d'Euler pour les graphes plans.
Mots clés : combinatoire énumérative, fonction caractéristique, formule du crible, dénombrement, arrangement, combinaison, permutation, formule d'inversion de Pascal, formule d'inversion de Moebius, graphes plans, solides de Platon.
Chapitre 2 De la combinatoire à la cryptographie. Dans ce prérequis, on fait des rappels essentiels sur les calculs de congruence. On introduit aussi la notion de complexité d'un algorithme car elle permet d'appréhender la notion de cryptage assymétrique. Le cours du chapitre tourne autour de la loi de réciprocité quadratique, elle nous permet d'introduire un test de primalité fondamental pour construire un système de cryptage RSA introduit en première partie. En appendice, nous donnons 6 démonstrations différentes de la loi de réciprocité quadratique. Ensuite, nous élargissons l'étude des cryptages en introduisant d'autres systèmes de chiffrement à clés publiques mais aussi des moyens d'attaquer ces systèmes de chiffrement. Tous les algorithmes sont décrits en pseudo-code.
Mots clés : anneaux de congruence, cryptographie, chiffrement symbole de Legendre, loi de réciprocité quadratique, algorithmes, test de primalité, RSA, El-Gammal, Lucas-Lemmer, Solovay-Strassen, Miller-Rabin, p-1 de Pollard, rho de Pollard, Baby step/Giant step.
Chapitre 3 Combinatoire et séries formelles. En prérequis, nous parlons de polynômes formels et de fractions rationnelles. On rappelle notamment le théorème de décomposition en éléments simples ainsi que son calcul concret. On rappelle aussi la structure d'anneau euclidien et de corps des fractions associé à un anneau intègre dont K[X] et K(X) sont des exemples importants. Nous adoptons pour ce cours un point de vue formel sur l'anneau des séries formelles en présentant notamment la notion de valuation. Après avoir constaté l'existence d'une division euclidienne ainsi qu'une condition simple d'inversibilité, on donne un certain nombre de méthodes pour lier des problèmes combinatoires aux séries formelles en utilisant les fonctions génératrices. En appendice, on commence par étudier les séries formelles arithmétiques en faisant le parallèle avec les séries formelles classiques. Pour finir on donne une démonstration élémentaire du théorème de Puiseux qui, sous cette forme, consiste en le calcul de la clôture algébrique de l'anneau des séries formelles.
Mots clés : Décomposition en éléments simples, anneau des séries formelles, valuation, fonction génératrice, séries formelles arithmétiques, Lemme de Hensel, théorème de Puiseux, clôture algébrique.
Chapitre 4 Dénombrement par action de groupe. En prérequis, nous faisons un rapide rappel de notions classiques en théorie des groupes : sous-groupe, morphisme de groupes, noyau d'un morphisme. Ensuite, nous donnons quelques rappels sur les groupes symétriques. On donne également des méthodes clés en main pour dessiner les cinq solides de Platon. Le cours tourne autour du dénombrement par actions de groupe. On utilise notamment les formules des classes pour compter le nombre de points fixes pour des actions de p-groupes, ce qui aboutit aux théorèmes de Sylow. On s'intéresse également aux sous-groupes finis de symétries dans le plan et dans l'espace. On calcule les groupes de symétries des cinq solides de Platon. La formule de Burnside est alors démontrée et appliquée en détail pour dénombrer des coloriages sur ces solides. En appendice nous faisons la liste complète des sous-groupes de SO(3,R). Ensuite on démontre la formule de Polya et on l'applique au problème de dénombrement des graphes sans labels. On parle brièvement de chiralité. Finalement, dans une introduction à la théorie des invariants, on parle de systèmes complets d'invariants et l'on démontre une version primitive du théorème de Fricke-Vogt.
Mots clés : Groupes, groupes symétriques, permutations, sous-groupes distingués, formules des classes, p-groupes, p-Sylow, théorèmes de Sylow, groupe de symétrie d'un solide, formule de Burnside, sous-groupes finis de SO(3,R), Formule de Polya, chiralité, théorème de Fricke-Vogt.