Álgebra de Boole

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero).

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en lo siguiente:

- El símbolo • representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo •, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.

- El símbolo “+” representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.

- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo “ ‘ “ para denotar la negación lógica, por ejemplo, A’ denota la operación lógica NOT de A, o lo que llamamos "A negado"

- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda.

Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

Si consideramos al operador binario “ º “ definido como una suma o producto lógico podemos enunciar los siguientes postulados:

• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto

a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Por ejemplo: el álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT

• Conmutativo. Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Por ejemplo A + B = B + A o A . B = B . A

• Asociativo. Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Por ejemplo: (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

• Distributivo. Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Por ejemplo: A• (B+C) = (A•B)+(A•C) y A+ (B•C) = (A+B) •(A+C).

• Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “ º “ si A º I = A.

Por ejemplo: El elemento de identidad con respecto a • es uno porque A • 1 = A

y con respecto a + es cero porque A + 0 = A

No existe elemento de identidad para el operador NOT

• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

• Complemento lógico: Para cada valor A existe un valor A’ tal que A•A’ = 0 y A+A’ = 1

Por ejemplo: 1 + 1’ = 1 o 1 . 1’ = 0

Además........

Es posible probar todos los teoremas y es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

• Teorema 1: A + A = A

• Teorema 2: A • A = A

• Teorema 3: A + 0 = A

• Teorema 4: A • 1 = A

• Teorema 5: A • 0 = 0

• Teorema 6: A + 1 = 1

• Teorema 7: (A + B)’ = A’ • B’

• Teorema 8: (A • B)’ = A’ + B’

• Teorema 9: A + A • B = A

• Teorema 10: A • (A + B) = A

• Teorema 11: A + A’B = A + B

• Teorema 12: A’ • (A + B’) = A’B’

• Teorema 13: AB + AB’ = A

• Teorema 14: (A’ + B’) • (A’ + B) = A’

• Teorema 15: A + A’ = 1

• Teorema 16: A • A’ = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de Morgan ( que veremos mas tarde) en honor al matemático que los descubrió.