Agrégation
Je tiens à remercier mes amis agrégés qui m'ont aidé pendant mes études :
mes amies : Isaline AUBERT, Laura GAY, Ninon FETIQUE, Camille FRANCINI et Maylis VARVENNE avec lesquelles nous avons formé un groupe de travail. Tous les plans de leçons sur ce site (modulo nos deux impasses : les leçons 110 et 233) ont été écrits par l'une de nous.
Maud JOUBAUD, Florian LEMONNIER, Arnaud STOCKER qui m'ont apporté tout leur soutien.
Valentin BAHIER pour sa présentation des métaplans en latex.
Marine FONTAINE pour ses plans qui ont servi de structure à une partie de nos plans.
Attention : les plans ci-dessous ont pu être modifiés par la suite et sont sujets à d'éventuelles erreurs. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez une erreur ou un problème sur le site.
LEÇONS D'ALGÈBRE
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et Applications.
105 : Groupe des permutations sur un ensemble fini. Applications
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
107 : Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
109 : Exemples et représentations de groupes finis de petit cardinal.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et Applications.
123 : Corps finis. Applications.
124 : Anneau des séries formelles. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemple d'équations diophantiennes.
127 : Droite projective et birapport
140 : Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
143 : Résultant. Applications.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
151 : Dimension d'un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Applications à la réduction d'un endomorphisme en dimension finie.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
161 : Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimension 2 et 3.
162 : Systèmes d'équations linéaires : opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
171 : Formes quadratiques réelles. Exemples et Applications.
180 : Coniques. Applications.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
182 : Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.
183 : Utilisation des groupes en géométrie.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement
LEÇONS D'ANALYSE
201 : Espaces de fonctions : exemples et applications.
202 : Exemples de parties denses et applications.
203 : Utilisation de la notion de compacité.
204 : Connexité. Exemples et applications.
205 : Espaces complets. Exemples et applications.
206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
213 : Espaces de Hilbert. Bases Hilbertiennes. Exemples et applications.
214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
217 : Sous-variétés de Rn. Exemples.
218 : Applications des formules de Taylor.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
220 : Équations différentielles X'=f(t,X). Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence u(n+1)=f(un). Exemples et applications.
228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou sommes partielles des séries numériques. Exemples.
232 : Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X)=0. Exemples
234 : Espaces Lp.
235 : Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
240 : Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
244 : Fonction développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
249 : Suites de variables de Bernoulli indépendantes.
253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
254 : Espace de Schwartz et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S et S'.
255 : Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.
260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.
261 : Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.
262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications
Quelques documents supplémentaires :
l'ensemble des métaplans des leçons. Ceci est ma version personnelle, il y a donc parfois des différences avec les plans écrits.
le résumé des leçons d'analyse et d'algèbre avec le couplage de développements que j'ai choisi pour chacune des leçons.
Voici mon mémoire de master 2 enseignement qui correspond à la leçon 171
Développements
Voici la liste des développements que j'ai travaillés cette année. Certains ont été abandonnés à cause de leur manque d'intérêt ou leur difficulté ou encore parce que je n'en avais plus besoin. Vous trouverez une version "propre" de la plupart de ces démonstrations sur les sites de Florian et de Laura.
Analyse :
Densité des polynômes orthogonaux, leçons 201 202 207 208 209 213 234 239 240 245, Objectif agrégation, Beck, p110,111,140
Théorème de Weiertrass, leçons 201 202 209 228 241 249 260 264, Analyse pour l'agrégation, Zuily-Queffelec, p518
Ellipsoïde de John-Loewner, leçons 203 219 253 152 158 170 171 181 , Oraux X-ENS algèbre 3, Francinou-Gianella-Nicolas, p229,222
Cauchy-Lipschitz, leçons 203 206 220 221,Petit guide du calcul différentiel, Rouvière, p180
Surjectivité de l'exponentielle, leçons 204 156, Un max de maths, Zavidovique,p49
Simplicité de SO3, leçons 204 108 160 161 183, Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Caldero-Germoni, p239,39 + détails dans Cours d'algèbre, Perrin, p144,142
Théorème de Riesz-Fischer, leçons 205 234, Analyse fonctionnelle, Brézis + Analyse fonctionnelle, Rudin
Densité des fonctions continues nulle part dérivable, leçons 205 208 228, Analyse pour l'agrégation, Zuily-Queffelec, p270
Méthode de Newton, leçons 206 218 223 226 232, Petit guide du calcul différentiel, Rouvière, p152
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible, leçons 207 230 235 241 243 244, Gourdon analyse, p252
Projection sur un convexe fermé, leçons 213, Gourdon analyse, p407
Lemme de Morse, leçons 214 215 217 218 158 170 171, Petit guide du calcul différentiel, Rouvière, p354
Théorème des extrema liés, leçons 214 215 219 151 159, Gourdon analyse, p317,327,319
SLn et On sous-variétés, leçon 217,Petit guide du calcul différentiel, Rouvière, p284
Equation de Bessel, leçons 220 221, Oraux X-ENS analyse 4, Francinou-Gianella-Nicolas, p101
Equation de la chaleur sur un anneau, leçons 222 246, Oraux X-ENS analyse 4, Francinou-Gianella-Nicolas, p49
Processus de Galton-Watson, leçons 223 226 229 260 264, Exercices de probabilité, Cottrell, p72
Série harmonique, leçon 224, Oraux X-ENS analyse 1, Francinou-Gianella-Nicolas, p145
Partitions d'un entier en parts fixées, leçons 224 124 126 140, Oraux X-ENS analyse 2, Francinou-Gianella-Nicolas, p197
Inégalité de Hoeffding, leçons 229 249 253 261, Probabilités 2, Ouvrard, p127-128 + Statistiques, Cadre
Nombres de Bell, leçons 230 243 244 190, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella, Nicolas, p14
Algorithme du gradient à pas optimal, leçons 232 162, Optimisation et analyse convexe, Hiriart-Urruty, p53,17
Formule sommatoire de Poisson, leçons 235 239 240 246 254 255, Gourdon analyse, p273,165 + Analyse harmonique réelle, Willem, p149
Intégrale de Fresnel, leçon 236, Gourdon Analyse, p342
Formule des compléments, leçons 236 239 245, Analyse complexe, Amar-Matheron, p249
VP(1/x), leçons 254 255, Eléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles, Zuily, p23,36,38
Théorème central limite + appli à un intervalle de confiance asymptotique, leçons 261 262 263, Analyse pour l'agrégation, Zuily-Queffelec, p540,555,563
Estimateur du maximum de vraisemblance U([0,θ]), leçons 262 263, Statistiques, Cadre-Vial + Probabilité 2, Ouvrard, p91
Etude de la loi gamma, Exercices de probabilité, Cottrell
Ruine du joueur, Probabilités 2, Ouvrard, p380
Théorème de Grothendieck, Un max de maths, Zavidovique,p180+ Analyse fonctionnelle, Rudin p115
Théorème des événements rares de Poisson, Probabilité 1, Ouvrard, p226 + Probabilité 2, Ouvrard, p321
Lois normales, Probabilité 2, Ouvrard, p271
Algèbre :
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, leçons 102 141, Gourdon Algèbre, p91
Simplicité de An, leçons 101 103 104 105 108, Cours d'algèbre, Perrin, p29
Action de Steinitz, leçons 101 106 150 151 152, Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Caldero-Germoni, p2,3,10,11
Théorème de Kronecker, leçons 102 142 143 144, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella-Nicolas, p213+Mathématiques L3 Algèbre, Szpirglas, p573 + Gourdon algèbre, p89
Sous-groupes distingués et caractères, leçons 103 107 109, Théorie des groupes, Ulmer, p158+ L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Peyré, p227
Théorème de Burnside, leçons 104 106 157, Oraux X-ENS algèbre 2, Francinou-Gianella-Nicolas, p117,171
Isométries du cube et du tétraèdre, leçons 105 161 183, Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Caldero-Germoni, p363,364 + Thèmes de géométrie, Alessandri, p63-66
Table de S4, leçons 107 109, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Peyré, p228
Générateurs de GLn et SLn, leçons 108 162, Oraux X-ENS algèbre 2, Francinou-Gianella-Nicolas, p177
Simplicité de SO3, leçons 204 108 160 161 183, Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Caldero-Germoni, p239,39 + détails dans Cours d'algèbre, Perrin, p144,142
Théorèmes de Chevalley-Warning et Erdös-Ginzburg-Ziv, leçons 120 121 123 142 144, Un max de maths, Zavidovique, p32
Théorème des 2 carrés, leçons 120 121 122 123 126, Cours d'algèbre, Perrin, p56,57,58
Anneaux principaux, leçon 122, Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Francinou-Gianella, p70
Surjectivité de Xexp(X), leçon 124 156, Un max de maths, Zavidovique, p58-60
Partitions d'un entier en parts fixées, leçons 224 124 126 140, Oraux X-ENS analyse 2, Francinou-Gianella-Nicolas, p197
Polynômes irréductibles sur Fq, leçon 125 141 190 , Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Francinou-Gianella, p289,93
Polygones constructibles, leçons 125 182 183, Théorie des corps- La règle et le compas, Carrega, p48,49,214
Automorphisme de K(X), leçons 127 140, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella-Nicolas, p245 ou Mathématiques L3 Algèbre, Szpirglas
Isomorphismes exceptionnels, leçon 127, Cours d'algèbre, Perrin, p106+Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Caldero-Germoni, p251
Résultant de 2 polynômes, leçon 143 152, Gourdon algèbre, p208
Réduction des endomorphismes normaux, leçons 150 153 154 155, Gourdon algèbre, p260
Théorème des extrema liés, leçons 214 215 219 151 159, Gourdon analyse, p317,327,319
Ellipsoïde de John-Loewner, leçons 203 219 253 152 158 170 171 181 , Oraux X-ENS algèbre 3, Francinou-Gianella-Nicolas, p229,222
Décomposition de Dunford, leçons 153 154 155 157, Gourdon algèbre, p194
Dual de Mn(K), leçon 159, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella-Nicolas, p329,331,335
Points extrémaux de la boule unité de L(E), leçons 160 181, Oraux X-ENS algèbre 3, Francinou-Gianella-Nicolas, p130,128
Algorithme du gradient à pas optimal, leçons 232 162, Optimisation et analyse convexe, Hiriart-Urruty, p53,17
Lemme de Morse, leçons 214 215 217 218 158 170 171, Petit guide du calcul différentiel, Rouvière, p354
Ellipse et nombres complexes leçons 180 182, La géométrie des nombres complexes, Trignan, p187
Cercle orthoptique d'une ellipse, leçon 180, Oraux X-ENS algèbre 3, Francinou-Gianella-Nicolas, p276
Nombres de Bell, leçons 230 243 244 190, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella, Nicolas, p14
Table de Dn,L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Peyré, p227
Théorème de Sophie Germain, Oraux X-ENS algèbre 1, Francinou-Gianella-Nicolas, p167,140
Théorèmes de Sylow, Cours d'algèbre, Perrin, p17,18,19
Ellipse de Steiner, Annales du CAPES externe de mathématiques 2009 à 2011, Mercier, p144,145
Groupe circulaire, Géométrie, Audin, p204,199
Théorème de Molien, Exercices corrigés posés à l'oral des concours de Polytechnique et des ENS , Leichtnam, p95
Théorème de Frobenius, Eléments d'analyse et d'algèbre, Colmez, p246