Paradojas

La paradoja de la escalera en el granero

Leyendo Decoding the Universe me encontré con un curioso experimento mental acerca de la teoría de la Relatividad llamado Spear-in-the-Barn, del que no hallé más referencias. Por suerte Lektu y JarFil me enviaron algunos enlaces, porque resulta que también se conoce por otro nombre: la «paradoja de la escalera en el granero» o en inglés Ladder Paradox o Pole-Barn Paradox (ver también The Pole-in-the-Barn Paradox y La paradoja del granero y la pértiga).

Ya sea lanza, palo, pértiga o escalera, este «experimento mental» consiste en hacer pasar un objeto alargado a través de un granero (o garaje), que tiene dos puertas. Quedémonos con una escalera que, digamos, mide 20 metros de largo, y un granero cuyo interior tiene 10 metros, con dos puertas a ambos lados (entrada y salida).

La paradoja surge cuando la escalera se mueve a una velocidad cercana a la de la luz. Por ejemplo a 0,9c (al 90 por ciento de la velocidad de la luz) la teoría de la relatividad predice que, para un observador externo (o para el propio granero), la escalera se contraería unas 2,3 veces. De modo que midiendo ya sólo 9 metros podría caber perfectamente en el interior del granero. En cambio, desde el punto de vista relativo de la escalera, es el granero el que se contrae, de modo que midiendo poco más de 4 metros sería imposible que la escalera cupiera dentro.

En el libro se explica entonces que el experimento se puede complicar un poco situando sensores en las puertas. Por ejemplo, estando las puertas cerradas, un sensor puede abrir la puerta cuando la escalera «toca» la puerta de entrada, cerrándose cuando ha terminado de pasar. Y lo mismo podría hacerse con otro sensor en la puerta de salida. ¿Qué sucedería entonces cuando la escalera pasa a toda velocidad? ¿Cabría la escalera completa en el granero, realmente?

Si la información de la observación dice que la escalera mide nueve metros, es que realmente mide nueve metros, así que la escalera cabe perfectamente. Lo extraño es que para un observador que estuviera sentado encima de la escalera, el objeto sigue midiendo 20 metros de largo y es el granero el que se ha contraído hasta medir sólo 4 metros… Para él, claramente la escalera no cabe. ¿Se vería el observador a sí mismo dentro del granero, con ambas puertas cerradas?

La solución a esta paradoja no es, como cabría esperar, nada intuitiva ni fácil de entender. Básicamente tiene que ver con un efecto colateral de los efectos relativistas, que es que el concepto de simultaneidad al que estamos acostumbrados se ve modificado. Aunque para un observador externo ambas puertas estarían en cierto momento simultáneamente cerradas y la escalera dentro, para alguien que fuera montado en la escalera el orden de los eventos sería distinto: vería abrirse la primera puerta, entrar la escalera, luego abrirse la segunda puerta, empezar a salir la escalera, luego cerrarse la primera puerta y finalmente al salir, cerrarse la segunda puerta.

Los dos observadores no podrían ponerse de acuerdo sobre qué había sucedido realmente: si la escalera estaba completamente dentro o no, si las puertas estaban cerradas a la vez o no… Ambas escenas serían consistentes dentro de sus (relativas) percepciones y, lo más divertido, ambas cosas habrían sucedido realmente para ambos y serían tan ciertas la una como la otra.

Rizando el rizo, se puede intentar un escenario imposible a ver qué sucede: hacer que el primer sensor sea el que abra la segunda puerta sólo cuando ha cerrado la primera puerta. Si el cierre de la primera puerta causa la apertura de la seguda, y las relaciones causa-efecto nunca pueden invertirse según las leyes de la física, el observador en la escalera no podría verlo en otro orden… ¿Qué sucedería entonces?

Lo que sucedería sería… un buen porrazo contra la puerta.

La sutileza del asunto es que para que ese mecanismo imaginario funcionara, el sensor debería enviar información a la segunda puerta, aunque fuera un solo bit. Pero esa información debe viajar una distancia, el largo del granero, y la escalera ya lleva bastante ventaja debido a su gran velocidad. Como la información no puede viajar más deprisa que la velocidad de la luz, cuando la señal del sensor va a llegar a la segunda puerta… la escalera ya ha colisionado.

De este modo se resuelve esta otra paradoja: ambos observadores verían lo mismo: la escalera choca contra la puerta. La teoría de la relatividad y la teoría de la información prohíben transmitir información de forma instantánea, las relaciones causa-efecto se mantienen, y la segunda puerta simplemente no puede abrise a tiempo en ese escenario.

Actualización: José Luis nos recomendó Relatividad sin fórmulas, una serie de anotaciones que tratan muchas otras paradojas relativísticas de forma divulgativa, incluyendo esta misma, que allí llaman la paradoja del corredor.

Paradoja del corredor

Iniciamos la serie de Relatividad sin fórmulas en esta entrada. No voy a recordar todas las demás porque, francamente, si llegado a este punto no las has leído, deberías hacer click en el enlace y empezar desde el principio. No tiene sentido que empecemos a discutir aparentes paradojas que se deducen de la Teoría de la Relatividad Especial si no estamos en la misma onda respecto a la teoría.

Vamos a dedicar un par de entradas a dos paradojas muy conocidas, una relativamente sencilla y otra más compleja. Espero que veas que las “paradojas relativistas” lo son por parecer absurdas, pero no son realmente absurdas: parece que hay algo que no encaja, pero todo tiene perfecto sentido si se mira con cuidado. El problema es, como siempre, que nuestra intuición se ha desarrollado en un mundo de cosas que se mueven despacio, de modo que lo que nos parece “evidente” es evidente si las cosas no van muy rápido.

La primera paradoja que discutiremos es la llamada del palo y el granero, de la escalera y el granero, del corredor y con otros nombres, todas ellas básicamente la misma “paradoja”. Por supuesto, nosotros utilizaremos a Alberto y Ana para describir la situación. Veremos si, en primer lugar, ves la paradoja, y si en segundo lugar puedo convencerte de que, realmente, todo encaja.

1. La paradoja del palo y el granero

Supongamos que Alberto y Ana, nuestros observadores relativistas, están en una granja en la que hay un granero de base cuadrada de diez metros de lado. El granero tiene dos puertas, una en una pared y otra en la pared opuesta. Ana se encuentra en reposo junto al granero, que tiene una puerta abierta y la otra cerrada.

Aparece Alberto, que lleva en las manos un palo de diez metros de longitud y corre hacia la puerta abierta del granero a una velocidad de, por ejemplo, 240.000 km/s. ¡Alberto es un pedazo de atleta! Veamos que es lo que observa cada uno de ellos con dibujos. Lo que ve Ana, que está en reposo respecto al granero y ve a Alberto moverse, es que el granero tiene diez metros de largo (normal), y que Alberto lleva en las manos un palo más corto de diez metros, debido a la contracción de la longitud. Pongamos que, en el sistema de referencia de Ana, el palo mide seis metros. Ella vería esto:

Pero Alberto, por supuesto, no ve lo mismo. Su palo, cuando lo mira, mide diez metros, pues está en reposo respecto a él. Es el granero el que es más corto…al estar moviéndose hacia Alberto a 240.000 km/s, de puerta a puerta Alberto no ve 10 metros, sino que ve 6 metros (la misma contracción de longitud que Ana ve en el palo). Esto es lo que ve él:

Pero Ana, que no se cree la Teoría de la Relatividad Especial, opina que la contracción de la longitud es una ilusión óptica. De modo que decide comprobarla: va a encerrar a Alberto en el granero, para ver si realmente cabe dentro. Puesto que lo que ella ve es que el palo mide seis metros y el granero diez, no debería haber ningún problema.

Ana instala un automatismo en las puertas que hace lo siguiente: en cuanto el extremo de atrás del palo de Alberto entre en el granero, la puerta trasera se cerrará (de modo que, en ese instante, ambas puertas están cerradas con Alberto dentro), e inmediatamente la puerta de salida se abrirá, dando tiempo de que el extremo anterior del palo salga del granero sin problemas (el texto es un poco difícil de leer pero sólo repite lo que estamos diciendo fuera de la imagen):

De esta manera, Ana comprobará que, efectivamente, el palo es más pequeño que el granero y cabe dentro, sin que el experimento altere la velocidad de Alberto: el palo pasa por ambas puertas sin encontrar obstáculos.

Pero, ¿qué vería Alberto? La paradoja consiste en lo siguiente: si en el sistema de referencia de Alberto el palo mide 10 metros y el granero 6, cuando las puertas estén cerradas, es imposible que el palo quepa en el granero. En el sistema de referencia de Alberto, debería pegarse un morrazo con la puerta de salida, porque como la parte de atrás del palo no habrá superado la puerta de entrada cuando la parte de delante llegue a la puerta de salida, esta segunda puerta estará cerrada. ¿Cómo es esto posible?

Antes de leer la explicación, piensa un par de minutos. Si has entendido esta serie hasta ahora, no espero que tengas la solución exacta, pero ya deberías oler más o menos por dónde van los tiros. Una vez lo hayas pensado un rato, sigue leyendo.

2. La explicación relativista

Si has entendido los anteriores artículos de la serie, aunque no sepas exactamente qué está pasando, probablemente te hueles que tiene que ver con el tiempo: para empezar, lo que Ana ve simultáneo Alberto puede no verlo a la vez. Si has pensado algo así, enhorabuena, porque entiendes el fundamento de la solución.

En efecto, Ana ve las dos puertas cerradas en un instante de tiempo, porque el granero está en reposo respecto a ella. Pero puesto que Alberto se mueve respecto al granero, el tiempo no pasa igual para él. Si recuerdas la entrada de relatividad de la simultaneidad, entiendes de qué manera.

En el sistema de referencia de Alberto, los sucesos de la pared de delante del granero se producen antes que en el de Ana, porque un rayo de luz que sale de ese lugar va hacia Alberto y Alberto hacia él. Pero, por el contrario, un suceso en la pared por la que Alberto entra en el granero está “retrasado”, porque un rayo de luz que salga de esa pared del granero tiene que perseguir a Alberto, que se aleja de la pared.

De modo que Alberto ve las cosas pasar antes de tiempo en la puerta de salida, y después de tiempo en la puerta de entrada. No vamos a entrar en exactamente cuánto tiempo hay de diferencia, pero fíjate en lo rara que es la conclusión: si Ana ve las dos puertas cerradas al mismo tiempo, y la segunda puerta abrirse inmediatamente después de que se cierre la primera, Alberto verá la puerta de salida abrirse antes de que se cierre la primera. Es decir: Alberto nunca ve las dos puertas cerradas.

Esto es lo que ve Alberto, teniendo en cuenta la relatividad:

De manera que, en su sistema de referencia, todo tiene sentido. Sí, su palo es más largo que el granero, pero no hay problema, porque antes de que el extremo anterior del palo alcance la puerta de salida, ésta se ha abierto. Y cuando la puerta de entrada se cierra, el extremo posterior del palo ya ha superado la puerta hace un tiempo.

Es extraño, pero si recuerdas la entrada sobre la relatividad de la simultaneidad verás que es exactamente lo mismo. ¿Quién tiene razón? Los dos. Desde luego, Ana ha comprobado que la contracción de la longitud no es una ilusión óptica: en un momento determinado, Alberto está completamente dentro del granero y corriendo a casi la velocidad de la luz, sin tocar ninguna pared.

Paradoja de los gemelos

Iniciamos la serie de Relatividad sin fórmulas en esta entrada. No tiene sentido que leas este artículo sin antes leer los conceptos básicos de la serie, o no te servirá de mucho.

En la entrada anterior hablamos de una de las dos paradojas más conocidas de la relatividad general: la del corredor o del palo y el granero. Hoy vamos a hablar de otra más compleja pero más interesante, la de los gemelos. Para entenderla, espero que te quedase clara la entrada acerca de la adición de velocidades, pues hay conceptos importantes en ese artículo que aplicaremos aquí.

1. La paradoja de los gemelos

La paradoja, básicamente, es la siguiente: supongamos que hay dos gemelos idénticos. Uno de ellos decide hacer un viaje hasta el planeta (digamos) Einstenon, que está a 10 años-luz de la Tierra, y viaja a una velocidad muy grande (digamos que el 87% de la velocidad de la luz). Entonces, visto desde la Tierra, el tiempo del gemelo viajero pasa muy lentamente, de modo que, al volver, en vez de haber pasado muchos años, para él han pasado pocos y es joven, mientras que el gemelo que se quedó en la Tierra es viejo.

Pero, visto desde el sistema de referencia del gemelo viajero, es el gemelo que se queda en la Tierra el que se mueve, de modo que para él pasa el tiempo más lentamente y es él el que debería ser joven cuando vuelven a encontrarse. Cuando se miran a la cara, ¿cuál es joven y cuál es viejo? Está muy bien decir “en cada sistema de referencia, el otro es joven y yo soy viejo”, pero ¿qué pasa, que cada uno le dice al otro “te veo muy joven”?

2. La explicación relativista

Para explicar lo que está pasando realmente, utilizaremos, por supuesto, a Alberto y Ana en vez de a dos gemelos desconocidos. Ana decide hacer un viaje a Einstenon, que está a 10 años-luz de la Tierra, viajando al 87% de la velocidad de la luz. De modo que tenemos dos observadores: Alberto, que está en la Tierra y no se mueve de ella, en reposo respecto a todo lo demás excepto Ana. Y Ana, que se mueve de la Tierra hacia Einstenon en el viaje de ida, y luego se da media vuelta y vuelve de Einstenon a la Tierra.

Alberto y Ana tienen, ambos, relojes que emiten un destello luminoso cada segundo, para que Alberto pueda ver cómo pasa el tiempo de Ana y al revés.

Veamos en primer lugar lo que experimenta Ana. Para ella, la distancia entre Einstenon y la Tierra no es de 10 años-luz, es de 5 años-luz debido a la contracción de la longitud. De modo que ella, que se mueve al 87% de la velocidad de la luz, debe recorrer 5 años-luz de distancia de ida (lo cual le lleva unos 5,77 años) y lo mismo de vuelta (otros 5,77 años más o menos), de modo que el viaje total, para ella, dura 11,55 años.

Sin embargo, cuando ella mira hacia Alberto según se aleja de él, como dijimos en el artículo de adición de velocidades, el efecto Doppler relativista hace que los destellos del reloj de Alberto sean más lentos (por un lado, Alberto se mueve de modo que Ana lo ve “en cámara lenta”, como dijimos en la dilatación del tiempo y, por otro, los rayos de luz deben perseguir a Ana). De hecho, como Ana va a una velocidad bastante parecida a la de la luz, los destellos del reloj de Alberto se producen cada 3,73 segundos.

Por lo tanto, cuando Ana llega hasta Einstenon, aunque ella ha experimentado un tiempo de viaje de 5,77 años, el reloj de Alberto ha marcado 3,73 veces menos: unos 1,55 años. Pero, sin embargo, cuando Ana se da la vuelta en Einstenon y empieza a moverse hacia la Tierra, ve los destellos de Alberto acelerados, justo por lo contrario que antes: ahora ella se mueve hacia la fuente de la luz, de modo que cada destello debe recorrer menos que el anterior. Ahora, los destellos de Alberto son 3,73 veces más rápidos en vez de más lentos: se producen cada 0,27 segundos. De modo que, durante el viaje de vuelta, Ana ve a Alberto “en cámara rápida”, de modo que en vez de pasar 5,77 años, para él pasan 21,55 años.

Lo que ve Ana en el viaje de ida, el cambio de sentido y el viaje de vuelta.

Es decir, Ana hace cuentas y piensa: mi reloj ha marcado 5,77 años de ida y otros 5,77 años de vuelta, es decir, el viaje ha durado para mí 11,55 años (redondeando). El reloj de Alberto ha marcado 1,55 años en el viaje de ida y 21,55 años en el de vuelta, es decir, para Alberto han pasado 23,1 años.

Por otro lado, ¿qué ve Alberto? Él ve que Ana se aleja de él al 87% de la velocidad de la luz y debe recorrer 10 años-luz, de modo que tarda en llegar a Einstenon unos 11,55 años. Y en el viaje de vuelta tarda otros 11,55 años, es decir, que para Alberto el viaje dura un total de 23,1 años.

Pero, ¿qué observa Alberto que pasa para Ana? En el viaje de ida, Ana se aleja de él, de modo que Alberto la ve “en cámara lenta”: los destellos de Ana le llegan cada 3,73 segundos. Llegamos aquí a la clave de la paradoja, de modo que frena y lee esto despacio, porque si lo entiendes has entendido la paradoja de los gemelos:

Aunque Ana se da la vuelta al llegar a Einstenon (a los 11,55 años de partir, para Alberto),** Alberto no ve inmediatamente que los destellos de Ana se aceleren**. Ana se da la vuelta, y a partir de entonces sus destellos, efectivamente, se mueven hacia Alberto y están “acelerados”…¡pero esto ha ocurrido a 10 años-luz de Alberto! Él no ve el cambio instantáneamente: sólo verá el cambio cuando el primer destello enviado cuando Ana se da la vuelta le llegue a él…lo cual no ocurre hasta 10 años después de que Ana dé la vuelta: como está a 10 años-luz, el primer destello tarda 10 años en llegar a Alberto. Todos los demás destellos “ralentizados” que aún no le han llegado en el momento en el que Ana se da la vuelta, aún tienen que llegar a Alberto hasta que el primer destello “acelerado” le llegue.

De modo que Alberto no ve el tiempo de Ana “ralentizado” durante 11,55 años, sino durante 21,55 años (11,55 hasta que Ana se da la vuelta más otros 10 hasta que el primer destello “acelerado” le llega). En ese tiempo, como Ana va “en cámara lenta”, para ella habrán pasado, no 21,55 años sino 3,73 veces menos: sólo unos 5,77 años. A partir de ese momento, Alberto ve a Ana en “cámara rápida”…pero sólo la ve así durante un tiempo muy corto. Piensa que, como el primer rayo “acelerado” llega a Alberto 10 años después de que ella se diera la vuelta y en esos 10 años ella ha estado viajando hacia la Tierra (y el viaje de vuelta dura, para Alberto, 11,55 años), cuando Alberto empieza a verla “acelerada” ella está a tan sólo 1,55 años de la Tierra.

Lo que ve Alberto en el viaje de ida de Ana, el cambio de sentido y el viaje de vuelta.

Esos 1,55 años que dura la última parte del viaje, Alberto ve a Ana lanzando destellos 3,73 veces más rápidos de lo normal, de modo que para ella pasan unos 5,77 años. De modo que Alberto echa cuentas y piensa: el viaje de Ana ha durado en total 11,55 años de ida y otros 11,55 de vuelta, en total, para mí han pasado 23,1 años. Y para Ana ha durado 5,77 años “ralentizada” y otros 5,77 “acelerada”, en total, para ella han pasado 11,55 años…exactamente lo mismo que ha medido ella. ¡Todo encaja!

Para que no queden dudas, repetiré dónde está la explicación de la paradoja: Alberto está en reposo respecto a los dos planetas, y es Ana la que se da la vuelta. Ana ve el reloj de Alberto ir lento durante la mitad del tiempo, y rápido durante la otra mitad, pero Alberto no: para que él empiece a ver el reloj de Ana rápido, los rayos del reloj en el momento de que ella se dé la vuelta deben alcanzarlo, y para entonces ella ya ha recorrido parte del camino de vuelta, de modo que al final no hay duda por parte de ninguno de los dos de que ella es más joven que él.

Espero que la paradoja no haya resultado más liosa de lo que realmente es - no es fácil de explicar sin fórmulas y, de hecho, he leído muy pocas explicaciones intuitivas de por qué se produce que vayan más allá de “Ana no es un sistema inercial porque se da la vuelta en un momento determinado”. La cuestión está en que la relatividad, realmente, encaja - simplemente hay que tener en cuenta todos los “efectos raros” que produce.

En la próxima entrada, la relatividad en la realidad. ¡No nos estamos inventando fórmulas vacuas, la relatividad existe y se ha comprobado!