Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

• • 2 y 3 s.

  • 2 y 2.1 s.

  • 2 y 2.01 s.

  • 2 y 2.001 s.

  • 2 y 2.0001 s.

  • Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

• • La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1

  • La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1

  • El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt²

  • La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

• • La velocidad

  • La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t³-4t² +5 m/s. Si en el instante t₀=2 s. está situado en x₀=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x₀

Interpretación geométrica de la derivada

El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la representación de la función elegida

Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t₀.

Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento

• • Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica

  • Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t₀ elegido

  • Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t₀.

Ejemplo:

Elegimos la primera función y el punto t₀=3.009

Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es

para t₀=3.0 la derivada tiene vale -1.0

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entret_i-1 y t_i es

El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento totalx-x₀ entre el instante inicial t₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente

donde n es el número de intervalos

Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale

Movimiento de caída de los cuerpos

En este programa se van a estudiar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración de la gravedad.

Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los cursos de Física, desde los más elementales, persisten algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la posición del móvil con espacio recorrido.

Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento rectilíneo, y que para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:

• 1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el movimiento

  2. El valor y signo de la aceleración

  3. El valor y el signo de la velocidad inicial

  4. La posición inicial del móvil

  5. Escribir las ecuaciones del movimiento

  6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

Descripción

Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.

El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0, resolviendo una ecuación de segundo grado.

Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x₀ es cero, pero el suelo se encuentra en la posición -x₀ respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el techo del edificio, no desde el origen.

Regresión lineal

En esta página, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta denominado regresión lineal, que se usa en el laboratorio en varias situaciones:

• • Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo

  • Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle

  • etc.

El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:

• • La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido Da

  • La ordenada en el origen b

  • El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta

Descripción

Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea lineal x=x₀+vt. Donde x₀ es la posición del móvil en el instante t=0.

Si medimos las posiciones del móvil x₁ y x₂ en los instantes t₁ y t₂, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x₀ y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.

Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.

Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.

Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendiente a cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones e de los valores de y, véase la figura, serán

• • e₁=y₁-(ax₁+b)

  • e₂=y₂-(ax₂+b)

  • ...................

  • e_i=y_i-(ax_i+b)

  • ...................

  • e_n=y_n-(ax_n+b)

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones

E(a,b)=(y₁-ax₁-b)²+(y₂-ax₂-b)²+...(y_i-ax_i-b)²+...+(y_n-ax_n-b)²

Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que

Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es

Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, Da y el error de b, Db

La pendiente de la recta se escribirá a±Da, y la ordenada en el origen b±Db. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.

• • Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.

  • Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa

  • Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y

Ejemplo

Un vehículo que se mueve supuestamente con velocidad constante. Los datos de las medidas del tiempo en cuatro posiciones separadas 900 m son las siguientes

Ajustar los datos a la línea recta

x=x₀+vt

y estimar el mejor valor de la velocidad v aplicando el procedimiento de mínimos cuadrados

Estudio práctico del movimiento rectilíneo uniforme

Descripción

Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.

Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se cambiar pulsando el botón titulado Nuevo, cuelga de la cuerda.

Cambiando la pesa cambiamos la fuerza sobre el carrito y su aceleración durante el trayecto que va desde su posición inicial hasta el origen, por tanto, se modifica la velocidad final justo cuando pasa por el origen, que es a su vez la velocidad constante con que realiza el resto del trayecto.

El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha .

De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.

La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.

La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:

• • Se pulsa el botón izquierdo del ratón, cuando el puntero está sobre la flecha.

  • Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón.

  • Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón.

Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado Empieza

Fundamentos físicos

Si el carrito se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme la su posición x en el instante t es proporcional a t de acuerdo a la ecuación

x=x₀+vt

Poniendo en el eje de las ordenadas las medidas de x y en el eje de abscisas los tiempos t, la pendiente de la recta que mejor ajusta nos dará la medida de la velocidad v.

Experiencia

Se efectúan con el cronómetro las medidas del tiempo, colocando la flecha roja a 5, 10, 15 , 20, 25, etc. cm del origen y se anotan en una tabla tiempo-desplazamiento. El applet registra estos datos en el control área de texto situada a su izquierda.