Medida de la constante G de la Gravitación Universal

En esta página, se describe dos experiencias simuladas que mide la constante G de la Gravitación Universal. La segunda es una experiencia muy distinta a la de Cavendish que describen la mayor parte de los libros de texto.

La experiencia de Cavendish

La masa de la Tierra se puede determinar una vez que se conoce el valor de la constante G.

En primer lugar, la fuerza de atracción de una distribución esférica de masa de radio R y masa M sobre una partícula de masa m situada fuera de la esfera, es equivalente al de una partícula cuya masa sea la de la esfera situada en su centro.

Aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m que cae libremente, sabiendo que su aceleración de caída, en las proximidades de la superficie de la Tierra es g.

Como el radio R de la Tierra es conocido y g también puede ser medido mediante varias experiencias, una de las más simples es la medida del tiempo t que tarda en caer un cuerpo una determinada altura h, h=gt²/2.

Si la aceleración de la gravedad medida es g=9.8 m/s² y el radio de la Tierra, supuesta esférica es R =6.37·10⁶ m tenemos que la masa de la Tierra es

Podemos calcular también la densidad media de la Tierra dividiendo la masa M entre el volumen de una esfera de radio R, resultando ρ=5506.5 kg/m³=5.5 g/cm³.

Para “pesar la Tierra” necesitamos determinar el valor de G, mediante una experiencia similar a la efectuada por Cavendish.

La balanza de gravitación es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atracción entre dos masas y determinar el valor de la constante G.

El péndulo de torsión consta de un hilo de torsión cuya constante K es del orden 10^-8 N·m. Por su extremo inferior sujeta a una varilla horizontal de masa despreciable que tiene dos pequeñas esferas de m=20 g de masa cada una y de 7.5 mm de radio. La distancia del hilo de torsión al centro de cada una de las esferas es d=50 mm.

El péndulo oscila con un periodo de aproximadamente, 10 minutos.

Estas pequeñas esferas son atraídas por dos esferas fijas de M=1.5 kg de masa y de 32 mm de radio.

Para determinar la constante G, mediante la balanza de gravitación es necesario medir la posición inicial y la final de equilibrio y el movimiento oscilatorio amortiguado entre estas dos posiciones. El ángulo entre estas posiciones de equilibrio es una medida de la fuerza de atracción. Para medir el ángulo, se dispone de un haz LASER que incide sobre un espejo cóncavo. La oscilación del péndulo, se observa indirectamente mediante el movimiento de la marca luminosa producida por el rayo reflejado en una regla graduada situada a L=4.425 m de distancia.

Posición inicial de equilibrio

En la posición inicial de equilibrio, debido a la fuerza de atracción de las dos esferas grandes sobre las pequeñas, el péndulo gira un ángulo –α/2. El ángulo que forma el rayo incidente y reflejado es α. La regla marca la posición x₀=0.

Oscilaciones del péndulo

Una vez que el péndulo se mantiene estable en la posición inicial de equilibrio, las esferas grandes se mueven rápidamente a la posición diametralmente opuesta. El péndulo empieza a oscilar con un periodo

donde 2md² es el momento de inercia de la varilla de masas despreciable y de las dos esferas consideradas como masas puntuales, y K es la constante de torsión del hilo.

Se mide el periodo P de las oscilaciones tal como se muestra en la figura, el tiempo que trascurre entre dos máximos de la amplitud.

La constante de amortiguamiento es pequeña, de modo que el péndulo oscila durante bastante tiempo antes de alcanzar la posición final de equilibrio

Posición final de equilibrio

El momento del par de fuerzas debido a la atracción entre las esferas, respecto del eje de oscilación, hace que el péndulo gire un ángulo α/2. El ángulo que forma el rayo incidente y reflejado es α. La regla marca la posición x_f.

Ejemplo:

• El periodo del péndulo es el intervalo de tiempo entre dos máximos, en la gráfica x-t de la oscilación, P=10.8 min=648 s

• Posición final de equilibrio en la regla, x_f=17.3 cm

• Distancia del espejo de la balanza de torsión a la regla, L=4.425 m

• Masa de la esfera grande, M=1.5 kg

• Distancia entre los centros de la esfera grande y de la esfera peqeña en la posición de equilibrio es b=0.047 m

• Distancia de la pequeña esfera al eje de oscilación d=0.05 m

Actividades

El programa interactivo, genera aleatoriamente, un valor de la constante K de torsión dentro de ciertos límites.

Se pulsa el botón titulado Inicio

El péndulo de torsión se sitúa en la posición inicial de equilibrio

Se pulsa el botón titulado Empieza

Las esferas grandes se sitúan en posición diametralmente opuesta

El péndulo de torsión comienza a oscilar, hasta que al cabo de un cierto tiempo medido en minutos, se para en la posición final de equilibrio.

Se mide el periodo P de la oscilación y la posición x_f final de equilibrio. Se calcula la constante G de la ley de la Gravitación Universal.

Otra forma de medir G

Una partícula de masa M describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular constante ω. Un péndulo está hecho con un largo hilo inextensible de longitud l del que cuelga una partícula de masa m, está inicialmente en su posición de equilibrio. La fuerza de atracción entre las dos partículas hace que la partícula de masa m se mueva describiendo una trayectoria en forma de espiral cuando se cumple una determinada condición.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:

La fuerza F₁ restauradora, que se produce cuando el péndulo está desviado un pequeño ángulo θ con respecto de la posición de equilibrio. La componente tangencial del peso vale mg·senθ, tal como se indica en la parte derecha de la figura. Si el ángulo θ es pequeño, podemos escribir

F₁≈ mg·senθ=mgr/l

Las componentes de esta fuerza son (véase la figura más abajo)

F_1x=-F₁·x/r=-mgx/l

F_1y=-F₁·y/r=-mgy/l

La fuerza F₂ de atracción entre la partícula de masa m y la partícula de masa M, tiene por módulo

La ecuación del movimiento de la partícula de masa m es

ma_x=F_1x+F_2x

ma_y=F_1y+F_2y

Si consideramos que el desplazamiento r del péndulo respecto de la posición de equilibrio es pequeño frente al radio R de la partícula de masa M, las componentes F_2x y F_2y se expresarán

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, es decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula.

Solución de la primera ecuación diferencial

La solución particular de la primera ecuación diferencial es x₁=K·cosωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=x₁+A·senω₀t+B·cosω₀t

Las condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

Solución de la segunda ecuación diferencial

La solución particular de la segunda ecuación diferencial es y₁=K·senωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

La solución completa de la ecuación diferencial es

y=y₁+A·senω₀t+ B·cosω₀t

Las condiciones iniciales t=0, y=0, dy/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

Caso particular

Cuando ω≈ω₀ tenemos para la solución de la primera ecuación diferencial

Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modo que la frecuencia

coincida con gran aproximación con la velocidad angular ω de rotación de la partícula de masa M.

Actividades

Se introduce

• La masa M de la partícula en kg, que describe el movimiento circular, en el control de edición titulado Masa

• El radio R de la circunferencia que describe en cm, en el control de edición titulado Radio, el valor introducido deberá estar comprendido entre 6 y 10 cm.

• La velocidad angular de rotación ω, en rad/s, en el control de edición titulado V. angular

• La longitud del péndulo se ha fijado en el valor l=1.2 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo, y a continuación, de pulsa en el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, el péndulo estará prácticamente inmóvil en el origen. En la parte superior izquierda del applet, se indica el instante t en segundos, y la desviación del péndulo (distancia al origen) r en mm.

Introducimos el tiempo t en medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza.

• En el control área de texto situado a la izquierda, se guardan los datos del tiempo t en horas y de la desviación r en mm.

• Se observa el movimiento del péndulo en dicho instante y posteriores.

Volvemos a introducir otro tiempo medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza, y así sucesivamente.

Cuando tengamos suficientes resultados “experimentales” pulsamos el botón titulado Gráfica.

Para empezar otra experiencia, con otros datos de la masa M, el radio R y la velocidad angular de rotación ω, se pulsa el botón titulado Nuevo.

Podemos cambiar la escala de observación, activando alguno de los botones de radio titulados dm, cm y mm. En la primera escala dm observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, en las otras escalas está muy alejada del origen y desaparece de la ventana del applet.

El péndulo no se desviará apenas de su posición de equilibrio si ω es distinto de ω₀, tal como podemos comprobar en el applet y calcular a partir de las ecuaciones del movimiento.

Ejemplo:

• Sea la masa M=50 kg de la partícula que describe el movimiento circular de radio R=8 cm=0.08 m

• La longitud del péndulo es l=1.2 m

• La aceleración de la gravedad g=9.8 m/s²

• La constante de la gravitación universal es G=6.67·10^-11 N²m²/kg²

La frecuencia

se diferencia muy poco de la frecuencia angular de oscilación del péndulo, debido a que el segundo término que contiene la constante G es muy pequeño.

Introducimos la velocidad angular de rotación ω=3 rad/s. calculamos x e y en el instante t=1hora=3600 s

Lo mismo ocurre para y. El péndulo no se desvía apenas del origen, incluso después de un tiempo muy grande.

La desviación se incrementa apreciablemente cuando ω≈ω₀=2.857739, al cabo de una hora la desviación del péndulo es

Que podemos observar activando el botón de radio titulado mm.

Se debe procurar introducir un tiempo t que no sea lo suficientemente grande como para que deje de cumplirse la condición de que r<<R, en la que nos hemos basado para obtener una expresión simple que describa aproximadamente el movimiento del péndulo.

Comprobar que cuando ω≈ω₀ la desviación r

• Es proporcional a la masa M

• Es inversamente proporcional al cuadrado del radio R de la partícula de masa M que describe la trayectoria circular.

• Es proporcional al tiempo t.

En la experiencia simulada, se obtendrá el valor de G a partir de la medida de pendiente de la recta

Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se traza una línea recta y se dibujan una serie de puntos de color rojo que representan los resultados “experimentales”.

• en el eje vertical, se representa la desviación del péndulo r en mm,

• en el eje horizontal, el tiempo transcurrido t en horas.

Si introducimos los datos

• La masa M=50 kg de la partícula que describe el movimiento circular

• Su radio R=8 cm=0.08 m

• Velocidad angular ω=2.8577 rad/s

Pulsamos el botón titulado Nuevo, cambiamos varias veces el valor del tiempo t pulsando el botón titulado Empieza y finalmente, pulsamos el botón titulado Gráfica. Observamos la representación gráfica de los datos "experimentales" y de la recta. Anotamos el valor de su pendiente 0.328. mm/h. Con este dato calculamos G.