Special functions

Course description: This page contains information about the course Special functions, which is designed to study the properties of the most important special functions commonly encountered in mathematical analysis and its applications. For example, Euler's gamma and beta functions, first and second kind Bessel and modified Bessel functions, Gauss, Kummer and Tricomi hypergeometric functions, zeros of Bessel functions and its derivatives and classical orthogonal polynomials will be discussed. In addition to the functional equations and inequalities for the special functions and orthogonal polynomials in question, emphasis is given to asymptotic power series for special functions and orthogonal polynomials, asymptotic expansion of integrals by Laplace method and steepest descent method. Moreover, our aim is to discuss the reality of the zeros of Bessel functions and its derivatives via the Laguerre-Pólya class of real entire functions and the infinite divisibility of some classical distributions, like the Student distribution or the quotient of two gamma random variables via the Stieltjes transform representations of quotients of modified Bessel functions of the second kind and of quotients of Tricomi hypergeometric functions. The representation and inversion theorems on Stieltjes transforms play an important role here. At the end of this course, our aim is to present a new characterization of orthogonal polynomials via Riemann-Hilbert problems by showing the so-called Plemelj-Sokhotsky theorem and Fokas-Its-Kitaev boundary value problem. 

Kurzus leírása: Ez az oldal a Speciális függvények című kurzusról tartalmaz információkat, amelynek célja a matematikai analízisben és annak alkalmazásaiban gyakran előforduló legfontosabb speciális függvények tulajdonságainak tanulmányozása. Például az Euler-féle gamma- és béta-függvények, az első- és másodfajú Bessel- és módosított Bessel-függvények, a Gauss-, Kummer- és Tricomi-hipergeometrikus függvények, a Bessel-függvények és deriváltjainak gyökei, valamint a klasszikus ortogonális polinomok kerülnek tárgyalásra. A szóban forgó speciális függvényekre és ortogonális polinomokra vonatkozó függvényegyenletek és egyenlőtlenségek mellett hangsúlyt kapnak a speciális függvények és ortogonális polinomok aszimptotikus hatványsorai, integrálok aszimptotikus kiterjesztése Laplace-módszerrel és a legmeredekebb lejtő módszere. Célom továbbá a Bessel-függvények és deriváltjai gyökeinek vizsgálata a valós egész függvények Laguerre-Pólya függvényosztályán keresztül, valamint néhány klasszikus eloszlás, mint például a Student-eloszlás vagy két gamma valószínűségi változó hányadosa korlátlan oszthatóságának vizsgálata a módosított másodfajú Bessel-függvények hányadosainak és a Tricomi hipergeometrikus függvények hányadosainak Stieltjes-transzformált reprezentációján keresztül. Ebben fontos szerepet játszanak a Stieltjes-transzformációkra vonatkozó reprezentációs és inverziós tételek. A kurzus végén célom az úgynevezett Plemelj-Sokhotsky tétel, valamint a Fokas-Its-Kitaev-peremérték feladat bemutatásával az ortogonális polinomok új jellemzése Riemann-Hilbert-problémákon keresztül.

1. Euler's gamma and beta functions

This course deals with the basic properties of Euler gamma and beta functions. The gamma function is an extension of the factorial to real or complex arguments and it was introduced by the Swiss mathematician Leonhard Euler in the 18th century. In this course I plan to discuss the properties of gamma function, like Euler's and Weierstrass' definition as an infinite product, Euler's reflection formula, Legendre duplication formula, Bohr-Mollerup theorem, Stirling's approximation, and some basic inequalities. Moreover, I plan to present some basic properties of the Euler beta function as well and as an application of the properties of the Euler gamma function I will show the connection between the probability density function of the Student distribution and of the standard normal distribution through the well-known Wallis formula. 

Bibliography

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999. 

• C.P. Niculescu, L.E. Persson: Convex functions and their applications, Canadian Mathematical Society, Springer, 2006.

1. Euler-féle gamma és béta függvények

Ez a kurzus az Euler-féle gamma- és béta-függvények alapvető tulajdonságaival foglalkozik. A gamma-függvény a faktoriális kiterjesztése valós vagy komplex argumentumokra, és Leonhard Euler svájci matematikus vezette be a 18. században. Ebben a kurzusban a gamma függvény tulajdonságait tervezem tárgyalni, mint például Euler és Weierstrass definícióját végtelen szorzatként, Euler tükrözési képletét, Legendre duplikációs képletét, Bohr-Mollerup tételét, Stirling közelítését és néhány alapvető egyenlőtlenséget. Továbbá tervezem bemutatni az Euler-féle béta-függvény néhány alapvető tulajdonságát is, és az Euler-féle gamma-függvény tulajdonságainak alkalmazásaként a jól ismert Wallis-képleten keresztül megmutatom a kapcsolatot a Student-eloszlás sűrűségfüggvénye és a standard normál eloszlás sűrűségfüggvénye között.

Szakirodalom 

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• C.P. Niculescu, L.E. Persson: Convex functions and their applications, Canadian Mathematical Society, Springer, 2006.

2. Gaussian hypergeometric function

The Gaussian hypergeometric function is a particular solution of the Euler hypergeometric differential equation. This equation has three regular singular points: 0, 1 and infinity. Euler's differential is important because any second order linear differential equation with three regular singular points can be converted to the hypergeometric differential equation by a change of variables. In this course I will discuss the regular singular points of the Euler hypergeometric differential equation and by using the well-known method of Frobenius I will deduce the solutions at these regular singular points. Recurrence relations, Euler and Pfaff transformations will be also the subject of this brief presentation of Gauss hypergeometric functions. 

Bibliography

•  R.P. Agarwal, D. O'Regan: Ordinary and partial differential equations, Springer, New York, 2009. 

•  G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999. 

2. Gauss-féle hipergeometrikus függvény

A Gauss-féle hipergeometrikus függvény az Euler-féle hipergeometrikus differenciálegyenlet egy sajátos megoldása. Ennek az egyenletnek három reguláris szinguláris pontja van: 0, 1 és a végtelen. Az Euler-féle differenciálegyenlet azért fontos, mert bármely másodrendű lineáris differenciálegyenlet három reguláris szinguláris ponttal alkalmas változócserével átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté. Ebben a kurzusban az Euler-féle hipergeometrikus differenciálegyenlet reguláris szinguláris pontjait fogom tárgyalni, és a jól ismert Frobenius-módszer segítségével levezetem a megoldásokat ezekben a reguláris szinguláris pontokban. A Gauss-féle hipergeometrikus függvények rövid bemutatásának témája lesz továbbá a rekurzív relációk, az Euler- és Pfaff-transzformációk is. 

Szakirodalom

•  R.P. Agarwal, D. O'Regan: Ordinary and partial differential equations, Springer, New York, 2009. 

•  G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999. 

3. Kummer and Tricomi confluent hypergeometric functions

The confluent hypergeometric function is a solution of the confluent hypergeometric differential equation, which is a degenerate form of the Euler hypergeometric differential equation. There are a few standard forms of confluent hypergeometric functions: Kummer confluent hypergeometric function or confluent hypergeometric function of the first kind, Tricomi confluent hypergeometric function or confluent hypergeometric function of the second kind, Whittaker function of the first kind, Whittaker function of the second kind, Coulomb wave functions. In this course I will show how to deduce the series and integral representations of the Kummer and Tricomi hypergeometric functions, and their asymptotic expansions at infinity by using a variant of the well-known Watson lemma of asymptotic analysis. 

Bibliography

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• N. Temme: Special functions: An introduction to the classical functions of mathematical physics, Wiley, New York, 1996.  

3. Kummer és Tricomi konfluens hipergeometrikus függvények

    A konfluens hipergeometrikus függvény a konfluens hipergeometrikus differenciálegyenlet megoldása, amely az Euler-féle hipergeometrikus differenciálegyenlet degenerált formája. A konfluens hipergeometrikus függvényeknek néhány standard formája létezik: Kummer-féle konfluens hipergeometrikus függvény vagy elsőfajú konfluens hipergeometrikus függvény, Tricomi-féle konfluens hipergeometrikus függvény vagy másodfajú konfluens hipergeometrikus függvény, Whittaker-féle elsőfajú függvény, Whittaker-féle másodfajú függvény, Coulomb-hullámfüggvények. Ebben a kurzusban megmutatom, hogyan lehet levezetni a Kummer- és Tricomi-hipergometrikus függvények sor és integrál reprezentációit, valamint a végtelenben való aszimptotikus kiterjesztésüket az aszimptotikus analízis jól ismert Watson-lemmájának egy változatát felhasználva. 

Szakirodalom

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• N. Temme: Special functions: An introduction to the classical functions of mathematical physics, Wiley, New York, 1996.

4. Asymptotic power series and their properties

This course contains a brief introduction to the definition and properties of the so-called Bachmann-Landau symbols, asymptotic sequences and asymptotic series in the sense of Henri Poincaré as well as of asymptotic power series. The asymptotic power series are special asymptotic expansions, and they are quite useful since asymptotic power series may be added, multiplied, divided and integrated just like convergent power series. In addition, I will show the proof of a variant of the Watson's lemma, which is a result connecting the asymptotic behaviour of a function near zero with the asymptotic behaviour of its Laplace transform near infinity.

Bibliography

• P.D. Miller: Applied asymptotic analysis, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2006.

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984. 

4. Aszimptotikus hatványsorok és tulajdonságaik

Ez a kurzus rövid bevezetést tartalmaz az úgynevezett Bachmann-Landau-szimbólumok, a Henri Poincaré-féle aszimptotikus sorozatok és aszimptotikus sorok, valamint az aszimptotikus hatványsorok definíciójába és tulajdonságaiba. Az aszimptotikus hatványsorok speciális aszimptotikus kiterjesztések, és igen hasznosak, mivel az aszimptotikus hatványsorok ugyanúgy összeadhatók, szorozhatók, oszthatók és integrálhatók, mint a konvergens hatványsorok. Ezen kívül megmutatom a Watson-lemma egy változatának bizonyítását, amely egy olyan eredmény, amely egy függvény nulla közeli aszimptotikus viselkedését összeköti a végtelenhez közeli Laplace-transzformációjának aszimptotikus viselkedésével.

Szakirodalom

• P.D. Miller: Applied asymptotic analysis, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2006.

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984. 

5. Asymptotic expansion of integrals by Laplace method

The Laplace method, named after Pierre-Simon Laplace, is a general technique for obtaining the asymptotic behaviour of Laplace integrals and relies on the following observation: if the real function appearing in the exponent of the Laplace integral has its maximum at a point, then it is only the immediate neighbourhood of this point that contributes to the asymptotic expansion of the Laplace integral. In this course I will show how it works the Laplace method and its extension, and as an example I will deduce the asymptotic power series expansion of Euler's gamma function for large argument.     

Bibliography

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984. 

• R. Wong: Asymptotic approximations of integrals, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 2001. 

5. Integrálok aszimptotikus sorfejtése Laplace módszerével

A Pierre-Simon Laplace-ról elnevezett Laplace-módszer a Laplace-integrálok aszimptotikus viselkedésének meghatározására szolgáló általános módszer, amely a következő megfigyelésen alapul: ha a Laplace-integrál exponensében megjelenő valós függvénynek egy pontban van a maximuma, akkor csak ennek a pontnak a közvetlen környezete járul hozzá a Laplace-integrál aszimptotikus kiterjesztéséhez. Ebben a kurzusban bemutatom, hogyan működik a Laplace-módszer és annak kiterjesztése, és példaként levezetem az Euler-féle gamma-függvény aszimptotikus hatványsorát nagy argumentumra.

Szakirodalom

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984. 

• G. Nemes: Aszimptotikus analízis, B. Sc. Szakdolgozat, Eötvös Lóránd Tudományegyetem, 2010.

6. Bessel functions of the first and second kind

Bessel functions of the first and second kind are particular solutions of the second order homogeneous ordinary Bessel differential equation, which has a regular singularity at zero and an irregular singularity at infinity. In this course, by using the Frobenius method I will deduce the general solution of the Bessel differential equation in terms of Bessel functions of the first and second kind. The explicit expression of the Bessel function of the second kind (called also as Neumann or Weber function) is also given in the case when the order is a natural number. Moreover, I will show the well-known Weierstrass infinite product representation of the Bessel functions of the first kind via residue calculus, and also via the Hadamard theorem on Weierstrass primary factors of entire functions. 

Bibliography

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• G.N. Watson: A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, New York, 1944. 

6. Első és másodfajú Bessel függvények

Az első- és másodfajú Bessel-függvények a másodrendű homogén Bessel-differenciálegyenlet sajátos megoldásai, amelynek van egy reguláris szingularitása a nullában és egy irreguláris szingularitása a végtelenben. Ebben a kurzusban a Frobenius-módszer segítségével az első és másodfajú Bessel-függvények segítségével levezetem a Bessel-differenciálegyenlet általános megoldását. A másodfajú Bessel-függvény (Neumann- vagy Weber-függvénynek is nevezik) explicit kifejezését is megadom arra az esetre, ha a rend természetes szám. Ezen túlmenően, a reziduum tétel segítségével, valamint az egész függvények Weierstrass-féle elsődleges faktoraira vonatkozó Hadamard-tételen keresztül, megmutatom az elsőfajú Bessel-függvények Weierstrass-féle végtelen szorzatának felírását. 

Szakirodalom

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• G.N. Watson: A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, New York, 1944. 

7. Zeros of Bessel functions of the first kind

Due to Eugen von Lommel it is known that when a>-1, then the all the zeros of the Bessel function of the first kind J_a(x) are all real. In this course our aim is to show an elegant proof for this result by Dimitar Dimitrov and Youssef Ben Cheikh, which involves the so-called Laguerre-Pólya class of real entire functions and associated Laguerre polynomials. It will be also shown that the only Jensen polynomials that are orthogonal are the associated Laguerre polynomials.  Moreover, I will present another proof for Lommel result on zeros of Bessel functions of the first kind and I will show that the zeros of dJ_a(x)/dx are all real when a>0 and the positive zeros of the Bessel function of the first kind are interlacing with the positive zeros of the first derivative of Bessel functions of the first kind. Finally, by following Dimitar Dimitrov and Yen Chi Lun, I will show that the zeros of the nth derivative of the Bessel function of the first kind J_a(x) are all real when a>n-1, and the positive zeros of the nth derivative are increasing functions of the order a.  

Bibliography

• D.K. Dimitrov, Y. Ben Cheikh: Laguerre polynomials as Jensen polynomials of Laguerre-Pólya entire functions, J. Comput. Appl. Math. 233(3) (2009) 703-707.

• D.K. Dimitrov, Y.C. Lun: Monotonicity of zeros of derivatives of Bessel functions, J. Approx. Theory 305 (2025) Art. 106102, 8 pp. 

7. Elsőfajú Bessel függvények gyökei

Eugen von Lommelnek köszönhetően ismert, hogy ha a>-1, akkor a J_a(x) elsőfajú Bessel-függvény minden gyöke valós. Ebben a kurzusban az a célunk, hogy megmutassuk ennek az eredménynek egy elegáns bizonyítását Dimitar Dimitrov és Youssef Ben Cheikh által, amely a valós egész függvények úgynevezett Laguerre-Pólya függvényosztályát és a Laguerre-polinomokat érinti. Azt is megmutatjuk, hogy az egyetlen Jensen-polinomok, amelyek ortogonálisak, azok a Laguerre-polinomok.  Ezen kívül bemutatok egy másik bizonyítást az elsőfajú Bessel-függvények gyökeire vonatkozó Lommel-eredményre, és megmutatom, hogy a dJ_a(x)/dx gyökei mind valósak, ha a>0, és az elsőfajú Bessel-függvény pozitív gyökei közbeeső tulajdonsággal rendelkeznek az elsőfajú Bessel-függvények első deriváltjának pozitív gyökeivel. Végül Dimitar Dimitrov és Yen Chi Lun nyomán megmutatom, hogy az elsőfajú Bessel-függvény J_a(x) n-edik deriváltjának gyökei mind valósak, ha a>n-1, és az n-edik derivált pozitív gyökei az a rend növekvő függvényei. 

Szakirodalom

• D.K. Dimitrov, Y. Ben Cheikh: Laguerre polynomials as Jensen polynomials of Laguerre-Pólya entire functions, J. Comput. Appl. Math. 233(3) (2009) 703-707.

• D.K. Dimitrov, Y.C. Lun: Monotonicity of zeros of derivatives of Bessel functions, J. Approx. Theory 305 (2025) Art. 106102, 8 pp.

8. Modified Bessel functions of the first and second kind

Modified Bessel functions of the first and second kind are linearly independent particular solutions of the so-called modified Bessel differential equation, which is a second order homogeneous ordinary differential equation. This equation is obtained from Bessel differential equation just changing the variable to be purely imaginary and it has the same singularities as the Bessel differential equation. In this course the focus is on the properties of modified Bessel functions of the first and second kind. We will discuss the  series and infinite product representations for the modified Bessel function of the first kind, recurrence relations and integral representations for both modified Bessel functions, MacDonald integral representation for the product of two modified Bessel functions of the second kind, Nicholson integral representation for the product of two modified Bessel functions of the second kind, the Grosswald-Ismail integral representation of the quotient of two modified Bessel functions of the second kind due to Emil Grosswald and Mourad E.H. Ismail, which arises in the proof of the infinite divisibility of the Student distribution. Moreover, at the end of this course Wilkins approach is presented on the proof of the so-called Nicholson integral representation for the sum [J_a(x)]^2+[Y_a(x)]^2, where J_a is the Bessel function of the first kind and Y_a is the Bessel function of the second kind.

Bibliography

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• M.E.H. Ismail: Bessel functions and the infinite divisibility of the Student t-distribution, Ann. Probability 5(4) (1977) 582–585.

• G.N. Watson: A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, New York, 1944. 

8. Első és másodfajú módosított Bessel függvények

Az első és másodfajú módosított Bessel-függvények az úgynevezett módosított Bessel-differenciálegyenlet lineárisan független sajátos megoldásai, amely egy másodrendű homogén közönséges differenciálegyenlet. Ezt az egyenletet a Bessel differenciálegyenlet-ből kapjuk, ha a változót tiszta képzetessé változtatjuk, és ugyanazokkal a szingularitásokkal rendelkezik, mint a Bessel differenciál-egyenlet. Ebben a kurzusban az első és másodfajú módosított Bessel-függvények tulajdonságaira helyezzük a hangsúlyt. Tárgyaljuk a sor és végtelen szorzatreprezentációját az elsőfajú módosított Bessel függvényeknek, rekurzív relációkat és integrál reprezentációkat mindkét módosított Bessel-függvényre, MacDonald integrál reprezentációját két másodfajú módosított Bessel-függvény szorzatára, Nicholson integrál reprezentációját két másodfajú módosított Bessel-függvény szorzatára, Grosswald-Ismail-féle integrál reprezentációt két másodfajú módosított Bessel-függvény hányadosára, ami a Student-eloszlás korlátlan oszthatóságának bizonyításában merül fel és amelyet Emil Grosswald és Mourad E.H. Ismail igazolt. Továbbá a kurzus végén Wilkins bizonyítását mutatjuk be a [J_a(x)]^2+[Y_a(x)]^2 összegre vonatkozó úgynevezett Nicholson-integrálreprezentációval kapcsolatban, ahol J_a az elsőfajú Bessel-függvény, Y_a pedig a másodfajú Bessel-függvény.

Szakirodalom

• G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge University Press, 1999.

• M.E.H. Ismail: Bessel functions and the infinite divisibility of the Student t-distribution, Ann. Probability 5(4) (1977) 582–585.

• G.N. Watson: A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, New York, 1944. 

9. Method of steepest descent

The method of steepest descent or saddle-point method is essentially a generalization of Laplace's method to integrals in the complex plane. According to the classical literature the method of steepest descent was first published by the physicist Peter Debye in 1909, who used it to estimate Bessel functions and pointed out that it occurred in the unpublished note by Bernhard Riemann about hypergeometric functions written in 1863. However, it was shown by Svetlana Petrova and Alexander Solovev that the method of steepest descent dates back to Augustin-Louis Cauchy and that, 25 years before Debye, the mathematician Pavel Nekrasov had already used this technique and extended it to more general cases. In this course I would like to present in details the method of steepest descent and to apply this method to Hankel functions in order to deduce the asymptotic expansion of Bessel functions of the first kind for large argument. 

Bibliography

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984.

• G.N. Watson: A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, New York, 1944. 

9. A legmeredekebb lejtő módszere

A legmeredekebb lejtő módszere vagy nyeregpont-módszer lényegében a Laplace-módszer általánosítása a komplex síkban lévő integrálokra. A klasszikus szakirodalom szerint a legmeredekebb lejtő módszerét először Peter Debye fizikus publikálta 1909-ben, aki Bessel-függvények becslésére használta, és rámutatott, hogy a módszer Bernhard Riemann 1863-ban írt, nem publikált jegyzetében fordul elő a hipergeometrikus függvényekről. Szvetlana Petrova és Alekszandr Szolovev azonban kimutatták, hogy a legmeredekebb lejtő módszere Augustin-Louis Cauchy-ra vezethető vissza, és hogy 25 évvel Debye előtt Pavel Nekrasov matematikus már alkalmazta ezt a technikát, és kiterjesztette általánosabb esetekre. Ebben a kurzusban szeretném részletesen bemutatni a legmeredekebb lejtő módszerét, és alkalmazni ezt a módszert Hankel-függvényekre, hogy levezessem az elsőfajú Bessel-függvények aszimptotikus kiterjesztését nagy argumentumokra. 

Szakirodalom

• J.D. Murray: Asymptotic analysis, Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1984. 

• G. Nemes: Aszimptotikus analízis, B. Sc. Szakdolgozat, Eötvös Lóránd Tudományegyetem, 2010.

10. Infinitely divisible distributions

In various real life situations some concrete models require a random effect to be the sum of several independent random components with the same distribution. In this kind of situations a very convenient way is to suppose the infinite divisibility of the distribution of these random effects. Similar situations may occur in biology, physics, economics and insurance. In this course I will introduce the class of infinitely divisible distributions as well as the class of self-decomposable distributions, generalized gamma convolutions and hyperbolically completely monotone densities. These class of distributions were introduced by Bruno de Finetti, Paul Lévy, Olof Thorin and Lennart Bondesson. I will also show that the Student distribution is infinitely divisible according to Emil Grosswald and Mourad Ismail, and the ratio of two independent gamma random variables (and in particular the Fisher-Snedecor disribution) is also infinitely divisible according to Mourad Ismail and Douglas Kelker. Moreover, by using the Stieltjes transform representation and inversion theorems I will present the Sieltjes transform representation (due to Mourad Ismail and Douglas Kelker) of the logarithmic derivative of Tricomi hypergeometric functions. 

Bibliography

• L. Bondesson: Generalized gamma convolutions and related classes of distributions and densities, Lecture Notes in Statistics, Vol. 76, Springer-Verlag, New York, 1992.

• M.E.H. Ismail, D.H. Kelker: Special functions, Stieltjes transforms and infinite divisibility, SIAM J. Math. Anal. 10(5) (1979) 884–901.

• F.W. Steutel, K. Van Harn: Infinite divisibility of probability distributions on the real line, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 259. Marcel Dekker, Inc., New York, 2004. 

10. Korlátlanul osztható eloszlások

Különböző valós élethelyzetekben néhány konkrét modell megköveteli, hogy a véletlen hatás több független, azonos eloszlású véletlen komponens összege legyen. Az ilyen helyzetekben nagyon kényelmes megoldás, ha feltételezzük e véletlen hatások eloszlásának korlátlan oszthatóságát. Hasonló helyzetek előfordulhatnak a biológiában, a fizikában, a közgazdaságtanban és a biztosításelméletben. Ebben a kurzusban bemutatom a végtelenül osztható eloszlások osztályát, valamint az önfelbontható eloszlások, az általánosított gamma konvolúciók és a hiperbolikusan teljesen monoton sűrűségek osztályát. Az eloszlások ezen osztályát Bruno de Finetti, Paul Lévy, Olof Thorin és Lennart Bondesson vezette be. Megmutatom továbbá, hogy a Student-eloszlás Emil Grosswald és Mourad Ismail szerint korlátlanul osztható, és két független gamma-véletlen változó hányadosa (és különösen a Fisher-Snedecor-eloszlás) szintén korlátlanul osztható Mourad Ismail és Douglas Kelker szerint. Továbbá a Stieltjes transzformált reprezentáció és az inverziós tételek segítségével bemutatom a Tricomi-féle hipergeometrikus függvények logaritmikus deriváltjának Sieltjes-transzformált reprezentációját (Mourad Ismail és Douglas Kelker nyomán).

Szakirodalom

• L. Bondesson: Generalized gamma convolutions and related classes of distributions and densities, Lecture Notes in Statistics, Vol. 76, Springer-Verlag, New York, 1992.

• M.E.H. Ismail, D.H. Kelker: Special functions, Stieltjes transforms and infinite divisibility, SIAM J. Math. Anal. 10(5) (1979) 884–901.

• P. Medvegyev: Bevezetés a valószínűségszámításba, Budapesti Corvinus Egyetem, 2017.

• F.W. Steutel, K. Van Harn: Infinite divisibility of probability distributions on the real line, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 259. Marcel Dekker, Inc., New York, 2004.  

11. Classical orthogonal polynomials

In this course I will present the main properties of orthogonal polynomials like the three term recurrence relation, Heine integral representation, spectral theorem for monic orthogonal polynomials, Christoffel-Darboux identities and zeros of orthogonal polynomials. Moreover, in this course I will review the main properties of three most important classical orthogonal polynomials: Hermite polynomials, Laguerre polynomials and Jacobi polynomials. I will start with Hermite, Laguerre and Jacobi equations and their solutions, and then present the main properties of these classical orthogonal polynomials: Rodrigues formula, generating function, Christoffel-Darboux identities, upper bounds, recurrence relations, explicit expressions, integral representations and asymptotic expansions, by following the classical book of Gábor Szegő.  

Bibliography

• M.E.H. Ismail: Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

• G. Szegő: Orthogonal polynomials, American Mathematical Society, Providence, 4th edition, 1975. 

11. Klasszikus ortogonális polinomok

Ezen a kurzuson bemutatom az ortogonális polinomok főbb tulajdonságait, mint például a háromtagú rekurziós relációt, a Heine-integrál ábrázolás, a monikus ortogonális polinomok spektrális tételét, a Christoffel-Darboux azonosságokat és az ortogonális polinomok nullpontjaira vonatkozó eredményeket. Ezen kívül a kurzus során áttekintem a három legfontosabb klasszikus ortogonális polinom főbb tulajdonságait: Hermite-polinomok, Laguerre-polinomok és Jacobi-polinomok. A Hermite-, Laguerre- és Jacobi-egyenletekkel és azok megoldásaival kezdem, majd bemutatom e klasszikus ortogonális polinomok főbb tulajdonságait: Rodrigues-képlet, generáló függvény, Christoffel-Darboux azonosságok, felső korlátok, rekurzív összefüggések, explicit kifejezések, integrál ábrázolások és aszimptotikus kiterjesztések, Szegő Gábor klasszikus könyvét követve.

Szakirodalom

• M.E.H. Ismail: Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

• G. Szegő: Orthogonal polynomials, American Mathematical Society, Providence, 4th edition, 1975. 

12. Riemann-Hilbert problems for orthogonal polynomials

This course is an introduction to additive Riemann-Hilbert problems and its starting point is the observation of  Athanassios Fokas, Alexander Its and Alexander Kitaev that the orthogonal polynomials can be determined as solutions of certain matrix valued Riemann–Hilbert problems. I will follow the last two chapters of Mourad Ismail's book on classical an quantum orthogonal polynomials written by Walter van Assche and the book of Percy Deift on Riemann-Hilbert problems. I will show the Plemelj-Sokhotsky theorem on additive Riemann-Hilbert problems and the Fokas, Its and Kitaev theorem on matrix valued Riemann-Hilbert problems. Moreover, I will show how we can characterize through Riemann-Hilbert problems the very classical Hermite, Laguerre and Jacobi polynomials. The case of polynomials that are orthogonal with the respect to the modified Jacobi weight will be also mentioned, by following the work of Arno Kuijlaars, Kenneth McLaughlin, Walter Van Assche and Maarten Vanlessen.   

Bibliography

• P.A. Deift: Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann-Hilbert approach, Courant Lecture Notes in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 1999. 

• M.E.H. Ismail: Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

• A.B.J. Kuijlaars, K.T.-R. McLaughlin, W. Van Assche, M. Vanlessen: The Riemann-Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on [-1,1], Adv. Math. 188(2) (2004) 337-398. 

12. Ortogonális polinomokra vonatkozó Riemann-Hilbert feladatok

Ez a kurzus bevezetés az additív Riemann-Hilbert-problémákba, és kiindulópontja Athanassios Fokas, Alexander Its és Alexander Kitaev megfigyelése, hogy az ortogonális polinomok bizonyos mátrixértékű Riemann-Hilbert-problémák megoldásaként határozhatók meg. Követni fogom Mourad Ismail klasszikus és kvantum ortogonális polinomokról írt könyvének Walter van Assche által írt utolsó két fejezetét, valamint Percy Deift Riemann-Hilbert-problémákról szóló könyvét. Bemutatom az additív Riemann-Hilbert-problémákra vonatkozó Plemelj-Sokhotsky-tételt és a mátrixértékű Riemann-Hilbert-problémákra vonatkozó Fokas, Its és Kitaev-tételt. Továbbá megmutatom, hogyan jellemezhetjük a Riemann-Hilbert-problémákon keresztül a klasszikus Hermite-, Laguerre- és Jacobi-polinomokat. Arno Kuijlaars, Kenneth McLaughlin, Walter Van Assche és Maarten Vanlessen munkáját követve szó lesz a módosított Jacobi-súlyfüggvényre vonatkozó ortogonális polinomok esetéről is.

Szakirodalom

• P.A. Deift: Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann-Hilbert approach, Courant Lecture Notes in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 1999. 

• M.E.H. Ismail: Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

• A.B.J. Kuijlaars, K.T.-R. McLaughlin, W. Van Assche, M. Vanlessen: The Riemann-Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on [-1,1], Adv. Math. 188(2) (2004) 337-398.

13. Suggested research articles for presentations

  Javasolt kutatási cikkek az előadásokhoz

• H. Alzer: Inequalities for the volume of the unit ball in R^n, J. Math. Anal. Appl. 252(1) (2000) 353-363.

• G.D. Anderson, R.W. Barnard, K.C. Richards, M.K. Vamanamurthy, M. Vuorinen: Inequalities for zero-balanced hypergeometric functions, Trans. Amer. Math. Soc. 347(5) (1995) 1713-1723. 

• G.D. Anderson, S.L. Qiu: A monotoneity property of the gamma function, Proc. Amer. Math. Soc. 125(11) (1997) 3355-3362. 

• G.D. Anderson, T. Sugawa, M.K. Vamanamurthy, M. Vuorinen: Hypergeometric functions and hyperbolic metric, Comput. Methods Funct. Theory 9(1) (2009) 269-284. 

• R.W. Barnard, K. Pearce, K.C. Richards: An inequality involving the generalized hypergeometric function and the arc length of an ellipse, SIAM J. Math. Anal. 31(3) (2000) 693-699. 

• A. Deano, N.M. Temme: On modified asymptotic series involving confluent hypergeometric functions, Electron. Trans. Numer. Anal. 35 (2009) 88-103. 

• Á. Elbert, A. Laforgia: On the square of the zeros of Bessel functions, SIAM. J. Math. Anal. 15(1) (1984) 206-212. 

• M.E.H. Ismail: Complete monotonicity of modified Bessel functions, Proc. Amer. Math. Soc. 108 (2) (1990) 353-361.

• M.E.H. Ismail, M.E. Muldoon: Monotonicity of the zeros of a cross-product of Bessel functions, SIAM J. Math. Anal. 9(4) (1978) 759-767. 

• M.E.H. Ismail, M.E. Muldoon: Bounds for the small real and purely imaginary zeros of Bessel and related functions, Methods Appl. Anal. 2(1) (1995) 1-21. 

• L.J. Landau: Bessel functions: monotonicity and bounds, J. London Math. Soc. 61(1) (2000) 197-215.

• J.T. Lewis, M.E. Muldoon: Monotonicity and convexity properties of zeros of Bessel functions, SIAM J. Math. Anal. 8(1) (1977) 171-178. 

• G. Nemes: New asymptotic expansion for the gamma function, Arch. Math. 95(2) (2010) 161-169. 

• S. Ponnusamy, M. Vuorinen: Asymptotic expansions and inequalities for hypergeometric functions, Mathematika 44(2) (1997) 278-301.

• J. Segura: Bounds for ratios of modified Bessel functions and associated Turán-type inequalities, J. Math. Anal. Appl. 374(2) (2011) 516-528. 

• J. Segura: Sharp bounds for cumulative distribution functions, J. Math. Anal. Appl. 436(2) (2016) 748-763.  

• N.M. Temme: Asymptotic and numerical aspects of the noncentral chi-square distribution, Comput. Math. Appl. 25(5) (1993) 55-63. 

• N.M. Temme, E.J.M. Veling: Asymptotic expansions of Kummer hypergeometric functions with three asymptotic parameters a, b and z, Indag. Math. 33(6) (2022) 1221-1235.