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Ecuación del centro y reducción al ecuador
Como ya indicamos en el apartado 1.7, al describir el Sol su órbita aparente de acuerdo con la ley de las áreas, no es uniforme la variación de su longitud. Aunque lo fuese, no lo sería la variación de su ascensión recta. Para poder utilizar las observaciones del Sol para la medida del tiempo y así llegar a definir el Sol medio, se impone estudiar con detalle tales hechos.
4.7.1 Ecuación del centro
Según vimos al principio de este capítulo, y continuando con la misma notación, en la órbita aparente del Sol se verifica (fórmulas (1.4) y (2.4)):
(32.4)
Llamamos ecuación del centro a la diferencia entre las longitudes verdadera y media del Sol:
(33.4)
y es, por tanto, la corrección que hay que aplicar a la longitud L de un sol ficticio para obtener la longitud V del sol verdadero.
Recordando la fórmula que suministra la anomalía verdadera en función de la media (apartado 3.6) :
(34.4)
Ceros de la ecuación del centro: Según (33.4) la ecuación del centro se anula en los extremos de la línea de los ápsides (perigeo y apogeo), puesto que en este caso M y V toman el mismo valor ( 0º y 180° respectivamente).
Máximos y mínimos de la ecuación del centro: De las fórmulas del movimiento elíptico se desprende inmediatamente que la ecuación del centro se mantendrá positiva entre el perigeo y el apogeo en la primera mitad de la elipse y negativa entre el apogeo y el perigeo en su segunda mitad. Pasará, por tanto, por un máximo en la primera mitad de la elipse y por un mínimo en la segunda, siendo simétricos respecto a la línea de los ápsides. Dichos valores extremos los podremos obtener suponiendo la anulación de la primera derivada de la ecuación del centro, teniendo en cuenta que
y la expresión de la ley, de las áreas , es decir:
Luego, en el máximo de la ecuación del centro:
(35.4)
O sea que el radio vector es media geométrica entre los semiejes mayor y menor. Comparando (35.4) con la ecuación polar de la elipse:
Y eliminando R entre ambas, tras sencillas operaciones se obtiene:
(36.4)
Análogamente, eliminando R entre (35.4) y la relación
R = a (1- e cos E)
fácilmente se obtiene:
(37.4)
Siendo, según (36.4) y (37.4) V > p/2 y E < p/2, la ecuación del centro pasa por su máximo en un punto de la órbita comprendido entre los extremos del parámetro y del eje menor. Dicho máximo puede calcularse, conocidas las correspondientes V y E por (36.4) y (37.4), buscando M por la ecuación de Kepler y efectuando la diferencia V- M.
Para el Sol, e = 0,0168, la aplicación de las fórmulas anteriores suministra los valores:
V = 90º 43' 30" ; E = 89º 45' 20" ; M = 88º 47' 35" ; C = 1º 55' 55"
4.7.2 Reducción al ecuador
Llamamos reducción al ecuador a la corrección que hay que aplicar a la longitud V del Sol verdadero para obtener su ascensión recta A, es decir:
(38.4)
Dividiendo la segunda por la primera de (5.4), poniendo V en lugar de I, obtenemos la fórmula
(39.4)
Y, dado que Q es siempre un ángulo muy pequeño, sustituyendo tanQ por Q y desarrollando el denominador en serie:
resulta:
(40.4)
desarrollo en serie que converge rápidamente puesto que
Ceros de la reducción al ecuador: Según (39.4) la reducción al ecuador se anula para tanV = 0 y tanV = ¥, es decir, cuatro veces en el transcurso de un año, para V = 0°, V = 90°, V = 180°, V = 270°, lo cual tiene lugar en los equinoccios y en los solsticios. Como Q es una función continua, ello implica la existencia de cuatro extremos (máximos o mínimos).
Máximos y mínimos de la reducción al ecuador: Para hallar los máximos y mínimos de Q con respecto a V, bastará hallar los de tanQ con respecto a tanV al ser la tangente una función monótona creciente. Derivemos, pues, respecto a tanV la ecuación (39.4) e igualemos a cero. Tendremos:
y, por tanto, Q pasa por un máximo para:
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