Програма вступного іспиту зі спеціальності Е7

ПРОГРАМА

вступного іспиту зі спеціальності

Е7 Математика

для вступників на навчання в аспірантурі

 Числа. Поняття числа. Дедекіндові перерізи. Дійсні числа. Комплексні числа.

Елементи теорії множин. Скінчені множини. Відображення множин. Еквівалентні множини. Порівняння потужностей. Зчислені множини. Теорема про потужності підмножин.

Функції. Властивості неперервних на компакті функцій. Диференційовані функції однієї та багатьох змінних, їх властивості. Формули Тейлора та їх застосування. Дослідження на екстремум і умовний екстремум функції багатьох змінних. Теорема про неявну функцію. 

Ряди. Числові та функціональні ряди, ознаки збіжності. Степеневі ряди та умови їх збіжності. Теореми Вейєрштраса про апроксимацію.

Визначені інтеграли. Умови існування. Зв’язок із невизначеним інтегралом. Застосування. 

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Теорема існування, заміна змінних і обчислення кратних інтегралів. Формули Гріна, Гауcа-Остроградського і Стокса. Умова незалежності криволінійного інтегралу від шляху інтегрування. 

Невласні інтеграли і інтеграли, що залежать від параметра. Ознаки збіжності, диференціювання і інтегрування за параметром. Ейлерові інтеграли.

Метричні і топологічні простори. Збіжність у метричних просторах, повнота та поповнення. Компакти. Критерій компактності. Стискаючі відображення. Основні поняття тополонічних просторів. Приклади.

Міра та інтеграл. Міри Лебега і Лебега-Стілтьєса. Побудова і властивості інтегралу Лебега, порівняння з інтегралом Рімана. Теореми про граничний перехід під знаком інтегралу. Добуток мір і теорема Фубіні. Функції обмеженої варіації і поняття заряду. Інтеграл Стілтьєса. Абсолютно неперервні фукції. Абсолютна неперервність і сінгулярність мір. Теореми Радона-Никодіма. Диференціювання монотонної функції. Похідна від інтегралу за верхньою межею. Інтеграли по довільних мірах.

Функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної. Умова аналітичності функції. Теорема і формула Коші. Принцип максимуму модуля. Розклад в ряд Тейлора і Лорана. Класифікація особливих точок. Приклади найпростіших конфoрмних відображень. Обчислення визначених інтегралів за допомогою лишків. Властивість єдиності аналітичних функцій. Аналітичне продовження. Поняття ріманової поверхні. Цілі функції, їх порядок і тип. Теорема Вейєрштраса. Мероморфні функції. 

Лінійні нормовані простори. Поняття лінійного нормованого і гільбертового просторів, приклади і основні властивості. Простори , їх повнота і щілині множини у цих просторах. Лінійні неперервні функціонали. Теорема Хана-Банаха. Спряжений простір, його властивості. Слабка збіжність лінійних функціоналів, теореми Хеллі. Слабка топологія в спряженому просторі. Ортонормовані системи векторів у гільбертовому просторі. Розклад вектора за ортогормованим базисом. Рівність Парсеваля. Ортогональні поліноми. Поліноми Якобі, Ерміта та Лагерра. Ряди Фур'є та їх зв'язок з розкладом вектора за ортонормованим базисом. Мінімальна властивість частинних сум ряду Фур'є. Умови поточкової збіжності рядів Фур'є за тригонометричною системою функцій.

Оператори. Поняття лінійного неперервного оператора, найпростіші властивості таких операторів. Простір лінійних обмежених операторів, теорема Банаха-Штейнгауза. Самоспряжені, унітарні та нормальні оператори. Ортопроектори. Резольвента і спектр оператора. Оператори Гільберта-Шмідта та інтегральні оператори. Компактні (цілком неперервні) оператори, їх властивості. Теорема Фредгольма про розв’язність рівнянь з компактними операторами. Інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду, теорія розв'язності. Оператори Вольтерра. Самоспряжені компактні оператори, їх спектральний розклад. Інтегральні оператори з ермітовим ядром, теорема про розклад за їх власними функціями. Інтегральні оператори з додатно означеним ядром. Функції від операторів.

Узагальнені функції. Поняття узагальненої функції. Основні операції над узагальненими функціями. Поняття про перетворення Фур’є. Перетворення Фур’є узагальнених функцій.

Лінійна алгебра. Лінійні простори і лінійні відображення. Операції з лінійними просторами (пряма сума, фактор-простори). Спряжений простір. Власні вектори та власні значення лінійних операторів. Жорданова нормальна форма матриці лінійного оператора. Лінійні простори зі скалярним добутком. Евклідові простори. Ортогональні, унітарні та самоспряжені оператори. Симплектнчні простори. Геометрія квадратичних форм. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Теорія груп. Визначення групи, підгрупи, нормального дільника, фактор-групи. Розклад групи за нормальним дільником. Приклади скінченних, нескінченних, абелевих, неабелевих, циклічних груп. Гомоморфізми груп. 

Криволінійні координати в п-вимірному просторі. Визначення криволінійної регулярної системи координат. Метрична форма евклідового простору в криволінійних координатах.

Теорія кривих. Кривина та скрут кривої. Формули Френе. Теорема про визначення кривої в просторі за допомогою кривини та скруту.

Теорія поверхонь. Перша та друга квадратична форма поверхні. Середня та гауссова кривина поверхні. Теорема Гаусса-Бонне. Геодезичні лінії на поверхні. Мінімальні поверхні. Метрики сталої кривини.

Тензори. Визначення. Алгебраїчні операції над тензорами. Диференціальні операції з тензорами, коваріантне диференціювання. Тензор кривини.

Загальна топологія. Топологічні і метричні простори. Аксіоми відокремленості та зліченості. Неперервні відображення. Лема Урисона. Компактні простори і їх властивості. Зв'язність та лінійна зв’язність. 

Теорія ймовірності. Аксіоми теорії ймовірності. Випадкові величини, функції розподілу, числові характеристики випадкових величин. Розподіли: біноміальні, пуасонівські, нормальні. Закон великих чисел. Центральна гранича теорема. Ланцюги Маркова з дискретним часом і скінченою множиною станів. Пуасонівський процес. Процеси розмноження та смерті.

Методи оцінювання параметрів розподілів (метод моментів, метод максимальної правдоподібності). Властивості оцінок (незміщенність, самостійність, ефективність).

Звичайні диференціальні рівняння. Теорема Пікара існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Основні класи рівнянь, які інтегруються в квадратурах. Рівняння Рікатті. Особливі точки. Диференціальні рівняння n-го порядку. Рівняння Ейлера.

Системи диференціальних рівнянь. Загальний розв’язок. Теореми існування та єдиності, а також неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових даних та параметрів.

Теорія лінійних рівнянь п-го порядку. Розв’язок лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Основні властивості розв’язків. Однорідні та неоднорідні лінійні рівняння. Метод варіації довільних сталих.

Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами. Фундаментальна матриця розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля. Перші інтеграли системи диференціальних рівнянь, їх існування та застосування.

Крайові задачі. Функція Гріна. Задача Штурма-Ліувілля. Власні значення та власні функції.

Диференціальні рівняння в частинних похідних. Лінійні однорідні та неоднорідні рівняння в частинних похідних першого порядку. Геометрична інтерпретація. Загальний розв'язок. Зв’язок з розв’язком систем звичайних диференціальних рівнянь. Постановка і розв’язок задачі Коші.

Класифікація лінійних рівнянь в частинних похідних другого порядку. Постановки задач для еліптичних, гіперболічних і параболічних рівнянь. Коректність постановки задач.

Типові представники еліптичних, гіперболічних і параболічних рівнянь, їх фундаментальні розв'язки та знаходження розв’язків простих граничних задач (інтеграл Пуасона для рівнянь теплопровідності, функція Гріна теорії потенціалу для кругу та шару, задача Коші для хвильового рівняння, формула Д’Аламбера, функція Рімана. Змішані задачі для гіперболічних і параболічних рівнянь, розв’язок рівняння коливання струни. Метод Фур’є. Задачі на власні значення для еліптичних рівнянь.

Моделі матеріальних систем: матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, система матеріальних точок. Поділ механіки на кінематику, статику і динаміку.

Кінематика. Три способи задання руху точки. Траєкторія точки. Швидкість руху точки. Векторний спосіб визначення швидкості. Складний рух точки. Абсолютна, відносна і переносна швидкості точки. Теорема про додавання швидкостей. Прискорення руху точки. Визначення прискорення руху точки векторним способом. Натуральний координатний трьохгранник і натуральні координати. Теорема про додавання прискорень.

Найпростіші рухи твердого тіла. Швидкість поступального руху. Кутова швидкість. Формули Ейлера. Додавання поступальних рухів. Пара обертань і її еквівалентність поступальній швидкості. Додавання миттєвих поступальних рухів і миттєвих обертань

Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки. Кути і параметри Ейлера. Миттєва вісь обертання і миттєва кутова швидкість. Скінченні повороти твердого тіла. Додавання скінченних поворотів.

Статика. Поняття в’язей і реакцій в’язей. Сила тертя ковзання. Поняття про тертя кочення. Рівновага невільного твердого тіла. Система твердих тіл. Рівняння рівноваги системи тіл. Центр ваги тіл. Координати центра ваги. Центр мас і його координати.

Голономні і неголономні в’язі. Число степенів вільності. Можливі переміщення. Робота сил на елементарному переміщенні. Принцип можливих переміщень. Рівняння рівноваги системи в незалежних координатах і з множником Лагранжа.

Поняття стійкості рівноваги. Рівняння рівноваги в декартових координатах і в натуральній формі.

Динаміка точки. Рівняння руху. Поняття перших інтегралів. Методи інтегрування. Теореми про кількість руху і моменту кількості руху. Теорема про зміну кінетичної енергії. Прямолінійний рух точки. Основні види руху.

Гармонічний осцилятор. Поняття фазової площини та фазового портрету. Вимушені коливання. Резонанс, поняття параметричного резонансу.

Динаміка системи. Моменти інерції матеріальної системи відносно нерухомої осі і нерухомої точки. Теореми Штейнера. Тензор інерції. Головні осі інерції.

Принцип Даламбера-Лагранжа для системи матеріальних точок з ідеальними в’язями. Загальні рівняння динаміки кількості руху (рух центра мас), моменту кількості руху, енергії.

Рівняння Лагранжа руху голономної системи в узагальнених координатах. Перші інтеграли рівнянь руху, інтеграл енергії. Рівняння Рауса. Стаціонарні рухи. Рівняння Лагранжа для відносного руху.

Стійкість руху. Визначення Ляпунова. Теорема Ляпунова про стійкість за першим наближенням. Основні теореми другого методу Ляпунова. Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги.

Рух тіла навколо нерухомої точки. Кінематичні і динамічні рівняння Ейлера. Рівняння Пуасона. Перші інтеграли рівнянь руху важкого твердого тіла навколо нерухомої точки.

Принцип Гамільтона. Функція дії і її властивості. Принцип найменшої дії в формі Якобі і в формі Лагранжа. Принцип найменшого примусу Гауса.    

Теорія керування. Поняття керованості динамічних систем. Принцип максимуму Понтрягіна та його застосування для задач оптимального керування. Поняття про метод динамічного програмування Белмана. Зв’язок принципу максимума з методом динамічного програмування. Проблема оптимальної стабілізації систем керування. Теорема Н.Н. Красовського.

Принципи математичного моделювання та поняття обчислювального експерименту. Похибки обчислень.

Чисельні методи лінійної алгебри. Методи факторизації матриць розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, LU та QR методи. Похибка розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (метод Зейделя та простої ітерації). Метод розв’язання задачі на власні значення (степеневий метод, метод скалярного добутку, метод Віландта).

Чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь. Метод бісекції. Метод Ньютона. Модифікації методу Ньютона.

Інтерполяція функцій. Формули Лагранжа та Ньютона. Похибка поліноміальної інтерполяції. Інтерполяція сплайнами.

Чисельні методи інтегрування функцій. Похибка інтегрування. Формули Ньютона-Котеса, Чебишева та Гауса. Апостеріорна оцінка похибки.

Методи розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь. Метод послідовних наближень, ламаних Ейлера, Рунге-Кутта. Багатокрокові методи. Апостеріорна оцінка похибки розв’язання задачі Коші. Автоматичний вибір кроку. Жорсткі задачі.

Методи розв'язування крайових задач. Зведення до задач Коші. Метод стрільби. Метод скінченних різниць. Проекційно-варіаційні методи. Метод скінченних елементів.

Розв’язування систем нелінійних рівнянь і задач оптимізації. Метод Ньютона розв’язування нелінійних рівнянь. Методи спуску. Розв’язування стаціонарних задач за допомогою методу встановлення.