En una primera mirada a la primera forma del apellido, que se constata en los documentos históricos, se aprecia un origen vasco.
Hay que tener en cuenta, que el apellido que se constata en el sigo XVI se pudo crear uno o dos siglos antes, a finales de la Edad Media.
Los lingüistas que han estudiado la historia del euskara, nos dicen que en el siglo X la zona vasco parlante se extendía desde el Cantábrico hasta el río Ebro, incluyendo zonas de Burgos y La Rioja. En el siglo XVI, en Vitoria-Gasteiz el pueblo llano era bilingüe y en las clases altas se hablaba en castellano. Así lo constata el diccionario de Landuchio1. Sin embargo, en los pueblos ubicados al rededor de la capital el euskara era el idioma predominante. El euskara que se hablaba era el dialecto occidental, también llamado vizcaíno. Aunque no tengamos datos certificados, podemos deducir que en Imiruri, a 11 kilómetros de Vitoria-Gasteiz, la población era bilingüe, y los antepasados de estos habitantes del siglo XVI fueron vasco parlantes.
Teniendo en cuenta la situación lingüística de esa época, y lo que nos sugiere en una primera mirada el apellido DE LEXOSTE, el análisis etimológico del apellido debe realizarse desde el euskara.
La composición del apellido DE LEXOSTE se puede dividir en tres partes: DE + LEX + OSTE
El prestigioso lingüista , ya fallecido, Koldo Mitxelena, en su libro Apellido Vascos, nos analiza el apellido ELEXOSTE. Lo divide en dos partes: ELEX (iglesia, en el dialecto occidental) y OSTE (detrás o parte trasera, en el dialecto occidental). La única diferencia de este apellido y el nuestro es la E inicial. La omisión de la E inicial se explica fácilmente cuando va precedida de la preposición DE, ya que la asimilación fonética E + E = E es muy común en otros apellidos. La perdida de la vocal E inicial se puede apreciar en estos apellidos vascos: (E)LEIZALDE, (E)LIZABARRIA, (E)REKALDE, (E)REKARTE …
Por lo que podemos deducir, con cierta certeza, que el apellido DE LEXOSTE proviene de DE + ELEX + OSTE y significa de + detrás + de la iglesia.
Debemos mencionar que en otros lugares de Álava, y en Vizcaya, existe el apellido ELEJOSTE, que procede de ELEXOSTE.
(1) Nicolao Landuchio, escritor italiano que compiló tres diccionarios: quizá el más relevante es el Dictionarium linguae cantábrica (Bocabularioa ezqueraz jaquiteco eta ezqueraz verba eguiteco) por estar escrito en el dialecto alavés del euskera (el primero en ese idioma), hoy extinguido. Se trata de un manuscrito escrito en 1562 que, sin embargo, no publicado hasta 1958 (ed. de Manuel Agud y Koldo Mitxelena) y que se conserva en la Biblioteca Nacional de Madrid. En él se recoge un vocabulario castellano-euskera (en su forma dialectal alavesa), en el que se aprecia una gran influencia del castellano, sin duda por tratarse de una variedad en estrecho contacto con el romance (zona bilingüe), pero, a la vez, se encuentran arcaísmos infrecuentes o desconocidos en otros dialectos del euskera. (Wikipedia)