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LINHAS DE TRANSMISSÃO

INTRODUÇÃO

Colegas, embora eu tenha afirmado que não inseriria conceituação matemática, na página que criei específica para nós radioamadores, o faço porque muitos conceitos que ouço nas conversas em rádio estão equivocados. O problema não reside em corrigir, mas ser focado em orientar baseado em fundamentos sólidos. Em algumas "rodadas técnicas", infelizmente, alguns colegas ultrapassam alguns limites ao fazer afirmações que sequer chegam estar erradas, de tão absurdas. Outros, se dizem professores universitários, e citando "conhecimentos" do Handbook, procuram desmoralizar aqueles que procuram simplesmente ajudar aos outros, guerra de egos. Assim eu estou inserindo um pouco sobre linhas de transmissão com fundamento matemático. Não é necessário acompanhar os conceitos matemáticos que publico, basta pular as equações, o texto é suficiente. Eu estou inserindo tais fundamentos como resposta para aqueles que pensam que pensam em desmoralizar outrem. É uma forma de, digamos, fazer descer de seu pedestal e ensiná-los a ser mais humildes, fazendo provar do próprio veneno. 
Não discorrerei no presente texto sobre a distribuição de sinais de televisão por cabo, linhas-tronco, roteamento de chamadas entre centrais telefônicas, conexões de rede de computador e de conexão de alta velocidade - barramentos de dados guias de onda, etc, deixarei para outro artigo específico

UM POUCO DE HISTÓRIA

A passagem de cabos transatlânticos iniciada em 1850 foi marcada por uma série de problemas. Os cabos submarinos muito longos geravam nos sinais fortes distorções, assim era necessária uma análise teórica dos processos antes de sua instalação, pois não se podia correr o risco de perdê-los por falta de previsibilidade de seu comportamento. Em 1855 William Thomson descreveu seu comportamento parcialmente. Em 1886 a partir de dados obtidos na prática, Oliver Heaviside desenvolveu a forma atual das equações que regem as Linhas de Transmissão e descobriu os problemas de distorção. Rudolf Franke, em 1891 usou a teoria dos quadripolos para as LT. Em 1900 Mihajlo Pupin usou as bobinas de carga para aumentar artificialmente a indutância que resolveu inclusive alguns dos problemas da linhas telefônicas de longa distância. Em 1903 George Ashley Campbell desenvolveu as linhas paralelas. Com o advento da tecnologia de alta freqüência no início do século 20 foi necessário tratar as chamadas linhas curtas, todas as aplicações até então foram baseadas em sinais senoidais. Durante a década de 1940 a técnica de pulsos (radares, etc) passou a ser desenvolvida e mais tarde a tecnologia de transmissão digital revolucionou o processo de transmissão de informação.

DEFINIÇÃO DE LINHA DE TRANSMISSÃO

As Linhas de transmissão são casos especiais de guias de onda utilizados para transportar energia eletromagnética de um ponto a outro sem que ocorram perdas por irradiação difrativos. São utilizadas em amplo espectro de frequência, desde a transmissão de potência em 60 Hz até a faixa das Microondas. São constituídas de dois ou mais condutores paralelos de maneira a suportar modos transversais eletromagnéticos (TEM). Usualmente chamados de guias de ondas os condutores ocos que não suportam modos TEM, somente TE e TM. Em um guia ou linha de transmissão deseja-se a propagação de um único modo (para evitar efeitos disper-sivos) em uma larga faixa de frequências, com baixa atenuação do sinal. Alguns tipos de linhas são condutores paralelos filamentares, guias coaxiais, guias planares e microfitas, a propaga-ção TEM nas linhas de transmissão ocorre sem uma frequência de corte, diferente dos guias ocos que tem sempre frequência de corte. O guia em microfita é muito utilizado em microondas na fabricação de circuitos de microondas, pois dado o dielétrico ε, pode-se reduzir as dimen-sões do circuito. 
Maxwell define o eletromagnetismo com quatro equações diferenciais:

∇ · E = 0

∇ · H = 0

∇ × E = −μ H/∂t

∇ × H = ε E/∂t

Como radioamador não vou me aprofundar nessas definições, e, para quem quiser deixarei link com as tais. Assim peço que seja aceito o que interessa, ou que a LT é composta por dois condutores que podem ser paralelos, em escada, cabo coaxial, etc e que, de forma simplista uma estação de radioamadorismo pode ser definida como um sistema utilizado para executar contatos à distância entre estações de transmissão e recepção. É composta por diversos componentes ou equipamentos interligados. Estes são um transmissor e receptor de radiocomunicações individuais ou integrados (Transceptor), a Linha de Transmissão e a antena. Esta "tríade" forma o "sistema irradiante/receptor" e primeiramente é necessário definir basicamente o que é uma Linha de Transmissão (LT), Figura 1.


Figura 1: Comportamento da RF numa LT (Clique na figura)
Fonte: Sbyrnes, R; 2014


A LT  é um sistema ou estrutura especializada para transportar energia elétrica que pode ser contínua, alternada, pulsante, etc. Em radiocomunicação a LT é definida como responsável pelo transporte de corrente alternada de frequência de rádio, ou correntes com frequência suficientemente elevadas para que a sua natureza de onda se propague em si, ou, são utilizadas para conectar transmissores e receptores de rádio com suas antenas, Figura 2.

Figura 2: Representações de LT
Fonte: Omegatron, R.; 2014


Os cabos elétricos comuns transportam corrente alternada de baixa frequência como energia elétrica e sinais elétricos de áudio sem problema, pois sua irradiação é de pequena ordem. No caso da RF a energia tende a irradiar fora do cabo como ondas de rádio, causando perdas de potência. Outro efeito é a reflexão a partir de descontinuidades no cabo em direção à fonte. ou seja, estas reflexões atuam como pontos de estrangulamento, impedindo que a potência do sinal de chegue à carga. Assim, as LT necessitam ser projetadas de forma a transmitir sinais eletromagnéticos com reflexões e perdas de energia mínimas. A característica distintiva da maioria das linhas de transmissão é sua dimensão de seção transversal uniforme ao longo do seu comprimento, isso dá-lhes impedância uniforme, chamada impedância característica. Existem diversas formas de construí-las que incluem linha paralela, linha em escada, par trançado, cabo coaxial, etc. Em microondas as perdas de energia são significativas ao se usar LT ordinária, assim as guias de onda são usadas e funcionam como "tubos" para limitar e guiar a RF.
A teoria da propagação de ondas mecânicas é muito semelhante ao eletromagnetismo matematicamente, assim, muitos estudos usam tal metodologia, de modo que as técnicas da teoria linha de transmissão também são utilizadas para construir estruturas para conduzir ondas acústicas, (e vice-versa), são as Linhas de Transmissão Acústicas (LTA), muito utilizadas por mim no LACEC (Laboratório de Construção de Equipamentos Científicos).
A análise matemática do comportamento de linhas de transmissão elétrica cresceu a partir do trabalho de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin e Oliver Heaviside . Em 1855, Lord Kelvin formulou um modelo de difusão da corrente em um cabo submarino, este previu corretamente o fraco desempenho do cabo. Em 1885 Heaviside publicou os primeiros trabalhos que descreviam sua análise de propagação em cabos e a forma moderna das "Equações do Telegrafista".
O comprimento dos fios que ligam os componentes em circuitos elétricos pode ser ignorado desde que os mesmos sejam de baixa frequência, a tensão sobre o fio num dado momento pode ser assumida como sendo a mesma em todos os pontos. No entanto, quando as variações de tensão em um intervalo de tempo são comparáveis ​​ao tempo que leva para que o sinal se propague pelo condutor, o comprimento do mesmo se torna importante e o fio deve ser tratado como uma linha de transmissão. Ou seja, o comprimento do fio é importante quando o sinal inclui componentes de altas frequências, com comprimentos de ondas correspondentes e comparáveis com o comprimento do fio.
O cabo ou o fio deve ser tratado como uma linha de transmissão se o seu comprimento comparável a 10% do comprimento de onda da energia por si propagada. Neste comprimento o atraso de fase e a interferência de quaisquer reflexões sobre a linha se torna importante e pode levar a um comportamento imprevisível de sistemas que não tenham sido cuidado-samente projetados usando a teoria de linhas de transmissão.


O MODELO QUADRIPOLO



Figura 3: Quadripolo
Fonte: Omegatron, R.; 2014


No caso mais simples, uma rede é linear quando a tensão entre qualquer uma das entradas ou saídas, Port a ou B do quadripolo, Figura 3, é proporcional à corrente quando não existem reflexões, e ambas são permutáveis​​. Se a linha de transmissão é uniforme ao longo do seu comprimento, em seguida, o seu comportamento é descrito em grande parte por um único parâmetro chamado impe-dância característica , símbolo Zo. Esta é a razão entre o complexo de tensão de uma determinada onda de corrente para o complexo da mesma onda em qualquer ponto na linha. Os valores típicos de Zo são 50 ou 75 ohms para um cabo coaxial, cerca de 100 ohms para um par trançado de fios, e cerca de 300 ohms para linha paralela sem torção utilizada na transmissão de rádio. 
Quando a RF se propaga numa LT é desejável que a maior potência possível seja absorvida pela carga e que não seja refletida de volta para a fonte. Isto pode ser conseguido fazendo a impedância da carga igual a Zo, mas uma parte da potência que entra numa LT é perdida por causa da sua resistência ôhmica ou resistiva. Em altas freqüências, outro efeito são as perdas dielétricas que se somam às perdas resistivas. A perda dielétrica é causada quando o material isolante no interior da linha de transmissão absorve a energia do campo elétrico alternado e converte-o em calor. A LT é modelada por uma resistência (R), uma indutância (L) em série e uma capacitância  (C) e uma condutância (G) em paralelo, Figura 4. A resistência e a condutância contribuiem para a perda de uma linha de transmissão. A perda total de energia em uma linha de transmissão é freqüentemente especificada em decibéis por metro (dB / m), e geralmente depende da freqüência. O fabricante muitas vezes fornece um gráfico que mostra a perda em dB / m, a uma gama de frequências. A perda de 3 dB corresponde aproximada-mente a uma redução para metade da potência. As LT de alta frequência concebidas para comprimentos de onda mais curtos do que ou comparáveis ao comprimento da linha necessitam de aproximações para cálculos. Isso geralmente ocorre em microondas e sinais ópticos, filtros ópticos de malha de metal, e com os sinais encontrados nos circuitos digitais de alta velocidade, não discorrerei sobre isso aqui.

EQUAÇÕES DO TELEGRAFISTA

As equações do telegrafista (ou apenas equações do telégrafo ) são duas diferenciais lineares que descrevem a tensão e corrente em uma linha de transmissão elétrica com a distância e tempo. Foram desenvolvidos por Oliver Heaviside que criou o modelo de linha de transmissão, e são baseadas em equações de Maxwell.

Figura 4: Componentes da LT
Fonte: Omegatron, R.; 2014


Na figura 4 se vê a resistência R distribuído dos condutores representada por uma resistência em série que é expressa em ohms por unidade de comprimento. A indutância L distribuída devido ao campo magnético em torno dos fios, a auto -indutância , etc. é um indutor em série e dada por Henries por unidade de comprimento. A capacitância C entre os dois condutores é representada por um capacitor em paralelo e dada por Farads por unidade de comprimento. A condutância G do material dielétrico que separa os dois condutores é representada por uma resistência de derivação entre o fio de sinal e o de retorno é dada por Siemens por unidade de comprimento. Na LT da figura 5 a uma distância X para a linha, existe corrente I(x) que se desloca através de cada um dos fios, e não há uma diferença de potencial V(x) entre os fios. Se a tensão e corrente são provenientes de uma única onda (sem reflexão), em seguida, V(x)/I(x)=Zo , onde Zo é a impedância característica da linha .

Figura 5: LT, correntes e tensões
Fonte: Angeloleithold, 2006

O modelo consiste em uma série infinita de elementos mostrados na figura 4 e figura 5, e os valores dos componentes são especificados por unidade de comprimento. R , G , C , e G podem também ser funções de frequência, e também se usa como notação alternativa a utilização de R ' , G ', C ' ' e G ',  os valores são derivados com respeito ao comprimento e pode ser definidos como as constantes de uma linha primária distintas das constantes de linha secundária derivadas dela, sendo estas a constante de propagação, constante de atenuação e constante de fase, linhas de tensão V( x ) e corrente I (X ) expressos no domínio da frequência equações 1 e 2:


                                                                                      (1)




                                                                                    (2)



Quando o R e G são desprezíveis a LT é considerada como uma estrutura sem perdas . Neste caso, o modelo depende apenas de G e  C o que simplifica a análise. Para uma linha de transmissão sem perdas, as equações de segunda ordem no estado estacionário são eq. 3 e eq. 4:


                                                                                     (3)



                                                                                      (4)


DESENVOLVIMENTO


As equações de uma linha de dois fios lineares homogêneos pode ser derivada a partir do diagrama da figura 6.


Figura 6:Diagrama de circuito equivalente a LT bifilar
Fonte:Angeloleithold 1975



A figura 6 mostra o circuito equivalente de uma tal secção de linha do comprimento dx infinitesimal. Os tamanhos nele contidos são aqueles que têm o comprimento dx, a indutância por unidade de comprimento L ', a capacitância por unidade de comprimento C', a resistência por unidade de comprimento R ' e da condutância por unidade de comprimento G', conforme descrito anteriormente. A partir da tensão U (x, t) e a corrente I (x, t) no início da tensão U (+ dx x, t) e a corrente I (x + dx, T) na extremidade deste, surgem as equações diferenciais parciais  5 e 6 da linha homogênea:


                                                               (5)




                                                             (6)


Na figura 6 imaginemos a tensão e corrente u i introduzidas respectivamente para baixo ou para a direita (+ x). A solução deste sistema de equações diferenciais para as condições iniciais e de contorno de várias aplicações técnicas práticas, determinando desse modo o curso de tensão U (x, t) e a corrente I (x, t) na linha, dependendo do localização x e o tempo t. A tensão e a corrente puramente sinusoidais vistas como transiente de corrente complexa alternada será aplicado e as equações de linha se reduzem a um sistema de equações diferenciais ordinárias para o existente na linha a partir do local X-dependente  de amplitude complexa u (x) e I (X) resultam num caso especial para correntes alternadas conforme as equações 7 e 8 que são frequentemente referidas na literatura como equações de linha. Com relação linear dos dois terminais de um cabo fechado e uma solução das equações de linha pode ser determinada:


                                                                                (7) 



                                                                               (8)


Esta linha de equações pode ser feita sem qualquer restrição de R ', L', C 'e G'  para as considerações avançadas como matriz numérica, com base nas leis de Kirchhoff para alta freqüência, como a tensão e ganho de corrente de entrada e impedância de saída, os parâmetros de difusão são generalizados, quer para cálculo numérico quanto literal e as equações de linha são simplificadas em 9 e 10:


                                                                                          (9)


                                                                                        (10)



Se um se converte este sistema em uma única equação diferencial parcial obtém-se o a equação da onda unidimensional a clássica equação da onda. Na linha não ocorre atenuação nem distorção, assim a condição Heaviside é "automaticamente" satisfeita. Estas equações em muitos casos podem ser facilmente resolvidas e as soluções resultantes podem ser interpretadas com clareza. Os resultados desta idealização, no entanto, fornece um comportamento essencial se uma linha está correta e também é a "entrada para a teoria da linha de transmissão.


 
 
 
 
Bibliografia:
 
  1. Steinmetz, Charles Proteus, "The Natural Period of a Transmission Line and the Frequency of lightning Discharge Therefrom". The Electrical world. August 27, 1898. Pg. 203 - 205.
  2. Electromagnetism 2nd ed., Grant, I.S., and Phillips, W.R., pub John Wiley,
  3. Fundamentals Of Applied Electromagnetics 2004 media edition., Ulaby, F.T., pub Prentice Hall,
  4. Radiocommunication handbook, page 20, chaper 17, RSGB,
  5. Naredo, J.L., A.C. Soudack, and J.R. Marti, Simulation of transients on transmission lines with corona via the method of characteristics. Generation, Transmission and Distribution, IEE Proceedings. Vol. 142.1, Inst. de Investigaciones Electr., Morelos, Jan 1995. 1350-2360
  6. Ernst Weber and Frederik Nebeker, The Evolution of Electrical Engineering, IEEE Press, Piscataway, New Jersey USA, 1994
  7. Annual Dinner of the Institute at the Waldorf-Astoria. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, New York,, (Honoring of Guglielmo Marconi, January 13, 1902)
  8. Avant! software, Using Transmission Line Equations and Parameters. Star-Hspice Manual, June 2001.
  9. Cornille, P, On the propagation of inhomogeneous waves. J. Phys. D: Appl. Phys. 23,(Concept of inhomogeneous waves propagation — Show the importance of the telegrapher's equation with Heaviside's condition.)
  10. Farlow, S.J., Partial differential equations for scientists and engineers. J. Wiley and Sons, 1982, p. 126.
  11. Han, Hsiu C., Transmission-Line Equations. EE 313 Electromagnetic Fields and Waves.
  12. Kupershmidt, Boris A., Remarks on random evolutions in Hamiltonian representation. Math-ph/9810020. J. Nonlinear Math. Phys. 5 (1998), no. 4, 383-395.
  13. Pupin, M., U.S. Patent 1,541,845, Electrical wave transmission.
  14. Transmission line matching. EIE403: High Frequency Circuit Design. Department of Electronic and Information Engineering, Hong Kong Polytechnic University.
  15. Wilson, B. (2005). Telegrapher's Equations. Connexions.
  16. John Greaton Wöhlbier, ""Fundamental Equation" and "Transforming the Telegrapher's Equations". Modeling and Analysis of a Traveling Wave Under Multitone Excitation.
  17. Agilent Technologies. Educational Resources. Wave Propagation along a Transmission Line. Edutactional Java Applet.
  18. Transmission Line Parameter Calculator
  19. C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, New York: Wiley, 1989.

  20. A good source on transmission lines is: H. B. Bakoglu, Circuits, Interconnections and Packaging for VLSI. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990.

    Star-Hspice Manual - Release 2001.2 - June 2001