Contents
1 Introduction 3
2 Vortex Filaments and where to Find Them 15
2.1 Hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Planetary Atmospheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Aerodynamic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Bathtub Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Deep Ocean Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Quantized vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Bose-Einstein Condensates (BECs) . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Magnetohydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Atmospheric Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Solar Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4 Astrophysical Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.5 Two-dimensional One-component Coulomb Plasma . . 33
2.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Statistical Mechanics 37
3.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 The Variational Approach . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 The Integral Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Statistical and FluidMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Parallel Filaments 59
4.1 The Point Vortex Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Negative Temperature States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 The guiding center model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Continuous vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Curved Filaments 77
5.1 Motion of a vortex filament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1 The curvilinear formulation . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 A small example ofmatched expansion . . . . . . . . . 82
5.1.3 Matched Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Nearly Parallel Vortex Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Filament crossing and reconnection . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Quantum Fluids 91
6.1 Bose-Einstein Condensates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1 Modeling quantized vortex lines in BECs . . . . . . . . 92
6.2 Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Plasmas 103
7.1 Magnetohydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Confined 2D Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Quasi-2D electron columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.1 Amean-field approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.2 A variational approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Interpretation of negative specific heat . . . . . . . . . . . . . 120
8 Computational Methods 125
8.1 Numerical PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Canonical Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.1 Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.2 Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.3 Path IntegralMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Microcanonical Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.1 Demon Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.2 Hamiltonian Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9 Quasi-2D Monte Carlo in Deep Ocean Convection 139
9.1 The Nearly Parallel Vortex Filament Model’s Entropy-Driven
Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.2 Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.3 MathematicalModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 A Mean-field Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.3 Solving for R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3.1 Harmonic Oscillator approach . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3.2 Spherical method approach . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.4 Monte Carlo Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5 RelatedWork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10 Conclusion 159