Diario delle lezioni

03/06 - In streaming. Esercitazione.

27/05 - In streaming. Estensioni dei campi p-adici.

26/05 - In streaming. Lemma di Hensel Versione 2. Estensioni dei campi p-adici.

20/05 - In streaming. Campi p-adici e interi p-adici. Rappresentazione unica di un elemento di un campo completo rispetto a una valutazione discreta come

serie in un uniformizzante a coefficienti in un insieme di rappresentati del campo residuo. Lemma di Hensel Versione 1.

19/05 - In streaming. Esercitazione.

13/05 - In streaming. Anello degli interi

-adici, unità e ideali. Campo residuo. Costruzione del completamento di un campo con valutazione.

12/05 - In streaming. Fine dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat.

Valutazioni: definizione ed esempi.

06/05 - In streaming. Fine dimostrazione del Teorema di Dirichlet. Ultimo Teorema di Fermat: enunciato del primo caso per primi regolari, inizio dimostrazione.

05/05 - In streaming. Teorema delle unità di Dirichlet: enunciato e inizio dimostrazione.

29/04 - In streaming. Conclusione della dimostrazione sulla finitezza del gruppo delle classi.

28/04 - In streaming. Esercitazione.

22/04 - In streaming. Enunciato del Teorema sui rappresentanti degli elementi del gruppo delle classi di un campo di numeri. Esempi di calcoli del gruppo delle

classi. Immersioni dell'anello degli interi come reticolo in uno spazio euclideo.

21/04 - In streaming. Geometria dei numeri: reticoli, Lemma di Blichfeldt e Teorema di Minkowski.

15/04 - In streaming. Dimostrazione della legge di reciprocità quadratica.

08/04 - In streaming. Campi ciclotomici: definizione e proprietà (anello degli interi, discriminante e unico numero primo che ramifica).

Reciprocità quadratica: Enunciato e prime proprietà del simbolo di Legendre.

07/04 - In streaming. Esercitazione.

01/04 - In streaming. Fine dimostrazione. Campi di numeri monogenici, esempi. Numeri primi che ramificano in un campo di numeri. Un numero primo che

non divide un certo indice ramifica in un campo di numeri se e solo se divide il discriminante.

31/03 - In streaming. Fattorizzazione dei numeri primi: se conosciamo i primi che dividono un ideale principale generato da un numero primo conosciamo tutti

gli ideali primi di O_K. Indice di ramificazione e grado residuo. Metodo per fattorizzare gli ideali principali ed applicazione per i campi quadratici. Inizio

di dimostrazione.

25/03 - In streaming. Applicazione: non esistono interi x, y tali che .

24/03 - In streaming. Se la norma di un ideale è un numero primo allora quell'ideale è primo. Moltiplicatività della norma di ideali. Calcolo della norma di un

ideale tramite la scelta di una base come Z-modulo. La norma di un ideale principale è il valore assoluto della norma di un generatore.

19/03 - In streaming. Esercitazione.

13/03 - In steaming. L'insieme degli ideali frazionari col prodotto è un gruppo abeliano e quello degli ideali frazionari principali è un suo sottogruppo. Gruppo

delle classi: definizione ed esempi. Digressione sul gruppo delle classi dei campi quadratici.

Massimo comun divisore tra ideali e Teorema Cinese dei resti.

12/03 - In streaming. Fine della dimostrazione della fattorizzazione unica. "To divide is to contain". Ideali frazionari e ideali frazionari principali: definizioni.

11/03 - In streaming. Domini di Dedekind: definizioni ed esempi. L'anello degli interi in un campo di numeri è un dominio di Dedekind. Nei domini di Dedekind

gli ideali si decompongono in modo unico in prodotto di ideali primi: enunciato ed inizio della dimostrazione.

10/03 - In streaming. Un sotto-modulo di K che è finitamente generato come O_K-modulo è uno Z-modulo libero di rango [K:Q]. O_K è un anello noetheriano.

O_K quozientato con un ideale non-nullo è un anello finito. Definizione di norma di un ideale.

04/03 - Moduli noetheriani. Discriminante di una tupla: definizione e metodi alternativi per calcolarlo.

Il discriminante di una tupla che genera un campo non è zero.

03/03 - Esercitazione.

27/02 - Anelli degli interi nei campi di numeri: definizione e proprietà. Caratterizzazione degli anelli degli interi per i campi quadratici.

26/02 - Norma e traccia di un elemento di un campo rispetto a un suo sottocampo.

Moduli: definizione, esempi e teorema di struttura per i gli Z-moduli finitamente generati.

25/02 - Introduzione al corso: L'ultimo Teorema di Fermat come motivazione per lo studio della Teoria algebrica dei Numeri.

Richiami su anelli, campi ed estensioni di campi.