2o Encontro USP-UFBA em Lógica e Fundamentos
Minicurso de pós-graduação: Forcing e Aplicações
Ministrantes: Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva (UFBA), Ms. Diego Lima Bomfim (Doutorando UFBA), Bel. Marcelo Oliveira Dias (Mestrando UFBA)
Duração: 5 sessões de 100 minutos
Resumo:
Neste minicurso faremos um rápido repasse dos principais tópicos iniciais do forcing (técnica avançada de Teoria dos Conjuntos que permite obter resultados de consistência e independência em Matemática).
O minicurso está baseado no curso regular do Doutorado UFBA-UFAL, de mesmo título, ministrado em 2023.2 pelo prof. Samuel para os alunos Diego e Marcelo.
Neste minicurso veremos: relativização de fórmulas e absolutividade, modelos transitivos enumeráveis de fragmentos de ZFC, nomes e valorações, extensões genéricas, o Lema do Forcing e o Lema da Verdade, forcing c.c.c. e a consistência da negação da Hipótese do Contínuo, forcing enumeravelmente fechado e preservação/consistência da Hipótese do Contínuo.
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1o Encontro USP-UFBA em Lógica e Fundamentos
(1) Minicurso de pós-graduação: "Aplicações de Ultrafiltros em Matemática" (2 créditos, 8hs)
Ministrante: Samuel Gomes da Silva, professor IME-UFBA
Data e horário: 17 a 20 de abril, das 10hs às 12hs.
Local: Sala 132, Bloco A, IME-USP (Rua do Matão, 1010, São Paulo, SP, Brasil)
Resumo:
O propósito deste curso é o de introduzir as noções de filtros, ideais e ultrafiltros e suas aplicações em diferentes áreas da Matemática (com maior ênfase para a Análise e a Topologia). Ultrafiltros possuem, por exemplo, conexão profunda com as noções de compacidade e de convergência, e essas conexões são exploradas com detalhe no curso. São apresentadas também várias demonstrações de resultados profundos onde os ultrafiltros podem aparecer inesperadamente, como no celebrado Teorema da Impossibilidade de Arrow, trabalho ganhador do Prêmio Nobel de Economia em 1972.
Filtros e ideais podem ser entendidos como formalizações, em Teoria de Conjuntos (ou, mesmo mais abstratamente, em Álgebras Booleanas e estruturas assemelhadas) das noções de maioria e minoria, respectivamente; os elementos de filtros são conjuntos "grandes", enquanto que os elementos de ideais são conjuntos "pequenos". A existência de ultrafiltros - e, mais precisamente, de ultrafiltros livres - é reconhecida como sendo um princípio maximal, e sob esse ponto de vista é frequentemente encarada como sendo uma versão estritamente mais fraca do Axioma da Escolha. Ultrafiltros possuem aplicações profundas em quase todas as áreas da Matemática. Neste minicurso, vamos focar em questões relacionadas à Topologia e à Análise, com um ponto de vista bastante topológico/combinatório. A noção de convergência de filtros e ultrafiltros nos permite definir, construir e verificar as propriedades da compactificação de Stone-Cech do espaço discreto dos naturais; a noção de convergência de ultrafiltros também caracteriza a compacidade em espaços topológicos, tarefa que a convergência de sequências não é capaz de fazer – e ultrafiltros são, ainda, capazes de testemunhar tal incapacidade. Também é comum que os ultrafiltros livres desempenhem, por si sós, papel decisivo em certas questões que são mais normalmente associadas a aplicações do Axioma da Escolha: exemplos disso incluem a prova da existência de subconjuntos da reta com propriedades especiais (não-mensuráveis, não-determinados, etc.), ou mesmo a prova do Teorema de Ramsey para conjuntos infinitos em geral. Finalizaremos com uma aplicação de ultrafiltros em Ciências Sociais - e ganhadora do Prêmio Nobel de Economia em 1972 -, demonstrando que, sob um determinado e preciso ponto de vista, é impossível que eleições de candidatos em uma lista sejam completamente justas e reflitam, fiel e necessariamente, as opiniões da maioria dos votantes.
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(2) Minicurso no Workshop: "Introdução à Análise Não Standard: principais abordagens e algumas aplicações no Cálculo." (4hs)
Ministrantes: João Paulo Cirineu de Jesus e Geovani Pereira Machado, pós-graduandos em Matemática IME-USP
Data e horário: 17 a 20 de abril, das 17hs às 18hs.
Local: Auditório Jacy Monteiro, Bloco B, IME-USP (Rua do Matão, 1010, São Paulo, SP, Brasil)
Resumo:
No início da década de 1960, A. Robinson apresentava, em um de seus célebres artigos, a formulação de sua Análise Não Standard (NSA) com o uso de técnicas da Teoria dos Modelos para estabelecê-la e, com isto, dar uma solução completa e satisfatória para a fundamentação rigorosa da noção de número infinitesimal (e de número infinitamente grande) – utilizada cerca de três séculos antes por G. W. Leibniz nos primórdios do desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. Desde a publicação desse artigo, os métodos da NSA foram aplicados em diversas áreas da Matemática Pura e Aplicada – com bastante sucesso nas seguintes áreas: Teoria das Probabilidades, Análise Funcional, Análise Estocástica e Física Matemática. Este minicurso tem por objetivo introduzir alguns conceitos e métodos da NSA e será dividido em duas partes. Na primeira, apresentaremos tanto a abordagem conjuntista (segundo a qual Robinson apresentou originalmente a NSA) quanto a axiomática (da Teoria Interna dos Conjuntos de E. Nelson, apresentada no final da década de 1970) com um breve comentário sobre a abordagem categorial (em topos elementares, introduzida por A. Kock no início da década de 1970). Na última, faremos aplicações de métodos da NSA para apresentar provas não standard de alguns resultados clássicos do Cálculo.