Minicursos
Luis Alías, U. de Murcia, España,
Título: Geometría diferencial global de hipersuperficies de curvatura media constante.
Resumen: Este mini-curso va dirigido a estudiantes de los últimos semestres de
licenciatura de matemáticas y a estudiantes de posgrado con interés en temas de
geometría diferencial. Nuestro objetivo es introducir a los estudiantes en diversas
técnicas del análisis geométrico y en sus aplicaciones al estudio de la geometría
diferencial global de hipersuperficies en los espacios de curvatura constante. En
particular, y tras una rápida introducción a las ecuaciones y al formalismo de la teoría
de hipersuperficies, nuestra idea es dedicar cada una de las 3 sesiones principales del
mini-curso a los 3 siguientes temas principales: 1) el estudio de la estabilidad y el
índice de hipersuperficies minimales y de curvatura media constante en la esfera
euclídea; 2) aplicaciones geométricas del principio del máximo de Omori-Yau al estudio
de hipersuperficies de curvatura media constante; y 3) el teorema de la curvatura
principal y sus aplicaciones a hipersuperficies de curvatura media constante en el
espacio euclídeo. Finalmente, la sesión de taller se dedicará a la resolución de
ejercicios y problemas. Todos estos temas forman parte del interés investigador
reciente del autor y de muchos de sus colaboradores con los que ha trabajado en los
últimos años.
(Descargar presentaciones abajo.)
Adrián Andrada, U. de Córdoba, Argentina,
Título: Introducción a la geometría hermitiana.
Resumen: Las variedades complejas, como las variedades diferenciables reales, son generalizaciones de curvas y superficies a dimensiones arbitrarias, pero con cartas coordenadas que toman valores en Cn y con cambios de coordenadas holomorfos. A pesar de la similitud formal entre las definiciones, la teoría de variedades complejas es mucho más profunda que la que se obtiene de la teoría de variedades diferenciables al reemplazar la palabra “diferencial” o “suave” por “compleja” u “holomorfa”. Para tener una idea de cómo se diferencian estas dos teorías, podemos considerar los siguientes hechos:
(1) Todas las variedades complejas son orientables y poseen una orientación canónica;
(2) Las únicas funciones holomorfas globales en una variedad compleja compacta son las funciones constantes;
(3) No existen subvariedades complejas compactas de Cn de dimensión positiva.
En este curso veremos conceptos básicos de la geometría diferencial de las variedades complejas. En muchos casos, variedades complejas interesantes pueden ser equipadas con métricas riemannianas especiales, y se pueden utilizar técnicas de la geometría riemanniana para distinguirlas. Esto se aplica particularmente a las variedades de Kähler, que se encuentran en la intersección de las geometrías riemanniana, algebraica y simpléctica. Estudiaremos propiedades fundamentales de las métricas de Kähler, así como también propiedades de métricas riemannianas compatibles más generales, en particular, la clasificación de métricas casi hermitianas de Gray-Hervella.
Gil Bor, Cimat-Guanajuato
Título: La geometría de las trayectorias de Kepler-Newton.
Resumen. Las "órbitas de Kepler" forman una familia de 3 parámetros de curvas en el plano; son las cónicas que comparten un foco (elípses, parábolas e hipérbolas). Estudiamos las simetrías de esta familia, tantas locales como globales, así como las de subfamilias de energía fija (en caso de elipses o hipérbolas, significa fijar la longitud de su eje mayor).
Una rica estructura emerge, con un grupo de simetrías 7-dimensional para la familia de todas las órbitas, un grupo 3-dimensional para cada familia de energia fija de elipses o hipérbolas, y un grupo 8-dimensional para las parábolas. Las familias de elipses e hipérbolas son localmente equivalentes, pero no globalmente.
Muchas de las simetrías son solamente locales por lo que quedan misteriosas. Veremos como se aclara la situación al encajar el plano euclideano en una superficie más grande, un cono en el espacio proyectivo 3-dimensional.
A pesar de ser uno de los temas más clásicos y estudiados en matemáticas, la mayoría de los resultados que veremos son nuevos. Intantaré mantener las pláticas accesibles a estudiantes sin conococimientos avanzados de geometría diferencial y proyectiva o grupos de Lie.
Adolfo Sánchez, CIMAT-Mérida
Título: ¿Qué es la recta supersimétrica?
Se dice, "se ha echado un palomazo" cuando, frente a un público, una persona ha interpretado música de manera improvisada y, en principio, lo ha hecho por el solo gusto de haberlo hecho. La expresión también se aplica en el mundo académico. La propuesta del mini curso "¿qué es la recta supersimétrica?" pretende ser un "palomazo"; es una oportunidad para hablar de la categoría de supervariedades diferenciales con un enfoque muy específico: los teoremas básicos del cálculo en una variable real, llevados a su más simple (pero no tirvial) versión dentro de la categoría 'súper'. Hay temas que resultan particularmente curiosos y arrojan resultados un poco diferentes a los que uno está acostumbrado a ver (y hasta dar por hechos) en la categoría de las variedades diferenciables. Por ejemplo, un campo vectorial en una variedad diferenciable, siempre da lugar, al menos en la vecindad de un punto, a la acción del grupo aditivo de los números reales. La recta real es un grupo bajo la suma y, con logaritmos y exponenciales, es isomorfo al grupo multiplicativo de los números reales no negativos. La recta supersimétrica admite tres estructuras de grupo aditivo en la categoría 'súper' que no son isomorfas entre sí; luego, el tema de los logaritmos y las exponenciales se vuelve curioso (por llamarlo de alguna manera) en esta categoría. Otro ejemplo: como en las variedades difereciables, integrar campos vectoriales en supervariedades es algo que siempre es posible, pero el flujo integral no siempre (y de hecho, casi nunca) define una acción de alguno de los supergrupos aditivos que se pueden definir en la recta supersimétrica. Otro tema interesante, y un poco (pero solo un poco) relacionado con el tema de integrar campos vectoriales, es abordar las integrales indefinidas desde el punto de vista del teorema fundamental del cálculo (Stokes). Resulta interesante saber que el conocido teorema del cambio de variable refleja la equivariancia de las integrales usuales ante la acción del grupo de difeomorfismos de la recta real. El problema de integrar en la recta supersimétrica se puede plantear desde este mismo punto de vista y se puede demostrar que algunas técnicas populares de integración en la categoría 'súper', no comparten esta propiedad, pero se pueda dar una clasificación completa de todas las posibles integrales que funcionan bien, pero esas integrales no son precisamente equivalentes entre sí. ¿Será curioso? El objetivo de este "palomazo" es abordar con suficiente detalle algunas de las curiosidades mencionadas. En particular, este resumen, por ejemplo, ha sido escrito a manera de "palomazo".
Pablo Suárez, IMATE-CU,
Título: Geometrías computacionales
Resumen:
1era sesión, Geometría Analítica Computacional: Accesible a alumnos de licenciatura de primer semestre. Veremos cómo los conceptos fundamentales de Geometría Analítica se implementan en python. Traer laptop para ejecutar los cuadernos escritos por Haydee Peruyero y Jose Crispín Ruiz Pantaleón (https://github.com/HaydeePeruyero/Geometria-Analitica-1). Estos cuadernos los estoy usando como ejercicios dentro del curso de Geometría Analítica 1 que imparto este semestre en la Facultad de Ciencias UNAM.
2a sesión, Análisis Geométrico Computacional: Junto con Eduardo Velazquez Richards definimos una variante del flujo de acortamiento de curvas en el plano. Este es un flujo geométrico para el cual demostramos propiedades de existencia de soluciones (https://arxiv.org/abs/1803.03724) . Este flujo lo discretizamos para definir un flujo numérico, implementado con python en paralelo (https://github.com/V3du4rd0/AMCF). Actualmente lo estamos usando para estudiar una base de datos de lesiones de cancer de piel. Las características geométricas de este flujo ayudan a construir clasificadores para apoyar el diagnóstico de estas enfermedades. Esta última parte es un trabajo en curso en colaboración con Prof. Vwani Roychoydhury (Electrical Engineering, UCLA), la Dra. Judith Dominguez (Jefa Departamento de Dermatología, Instituto Nacional Nutrición Salvador Zubirán) y varios estudiantes de posgrado.
3a sesión, Geometría de Poisson Computacional: Las estructuras de Poisson aparecen en el estudio de mecánica clásica, tienen muchas aplicaciones y relaciones con otras áreas. Como parte de mi investigación, junto con varios colaboradores, hemos construido estructuras de Poisson para variedades de dimensión 3 y 4, y en dimensión 6 para una familia de variedades especiales. En dimensión 4 Luis García Naranjo calculó una forma normal para un bivector de Poisson que nos interesaba usando Mathematica (https://link.springer.com/article/10.1007/s11005-015-0792-8 ) y posteriormente Jonatán Torres Orozco generalizó esta técnica para otros tipos de estructuras de Poisson (https://link.springer.com/article/10.1007/s40590-015-0072-8). Posteriormente con Ramón Vera y Jonathan usamos los mismos métodos, en una versión más amplia en dimensión 6 (https://link.springer.com/article/10.1007/s10455-019-09651-2 ). Con Ramón, Jonatán y Miguel Angel Evangelista estudiamos foliaciones con singularidades específicas, de tipo Bott-Morse (https://journalofsing.org/volume19/article2.html). Para este último trabajo, Miguel Angel Evangelista implementó rutinas similares a las anteriores, ahora en python. Esto nos permitió tener mayor capacidad ya que Mathematica tiene ciertas restricciones que nos limitaban. En esta sesión daré un tutorial sobre un modulo de python que estamos escribiendo con Miguel Angel Evangelista y Jose Crispín Ruiz Pantaleón donde hemos implementado muchas funciones y objetos fundamentales para la geometría de Poisson.
Conferencistas Invitados
Pierre Bayard, Ciencias-UNAM
Título: Flujos de curvatura en el espacio de Minkowski
Resumen: Presentaré el problema que consiste en deformar una hipersuperficie del espacio de Minkowski en la dirección de su vector normal en cada punto, con una velocidad igual a una función simétrica de sus curvaturas principales en este punto. Este problema es un ejemplo de flujo geométrico. Presentaré brevemente el problema euclidiano, los resultados principales acerca de la curvatura media en el espacio de Minkowski (Aaron, Ecker, Huisken, Spruck y Xiao), y primeros resultados acerca de la curvatura escalar en este mismo espacio.
Alejandro Betancourt, CIMAT-Guanajuato
Título: Una formulación Hamiltoniana para solitones de Ricci
Resumen: Esta plática será una introducción al flujo de Ricci y nos enfocaremos en un tipo particular de solución llamado solitón de Ricci. Estos objetos son formalmente similares a las métricas de Einstein y han sido tema de mucho interés recientemente. Durante la plática veremos cómo se puede reformular la ecuación de soliton como un sistema Hamiltoniano utilizando una descomposición similar a la ADM en relatividad y veremos cómo utilizar este Hamiltoniano para encontrar superpotenciales para la métrica.
Angel Cano, IMATE-CU
Titulo: 3 aplicaciones de la geometria a los grupos Kleinianos
Resumen. En esta charla veremos como mediante el uso de teoremas y técnicas
de la geometría podemos obtener teoremas de rigidez para grupos discretos
de PSL(3,C), así como dar condiciones para garantizar la existencia de
conjuntos excepcionales para su dinámica.
Connor Jackman, CIMAT-Guanajuato
Titulo: Geometría diferencial y la fuerza fuerte en mecánica celeste
Resumen: La dinámica de N-cuerpos que interactúan sometidos a una fuerza inversamente proporcional al cubo de sus distancias mutuas, puede ser reformulada como un flujo geodésico -- que presenta propiedades agradables debido al exponente 3 de la fuerza. Por ejemplo, para algunas situaciones se puede describir a través de geodésicas sobre una superficie completa de curvatura no-positiva. En este charla explicaremos esta reformulación (la métrica de Jacobi-Maupertuis) y cómo aprovechar las propiedades de esta métrica para describir las órbitas de los cuerpos -- en particular las órbitas periódicas y con colisiones.
Jesús Núñez Zimbrón, CCM-UNAM-Morelia
Título: Funciones armónicas en puntos singulares de espacios con curvatura de Ricci acotada inferiormente.
Resumen: En el trabajo seminal de Lott-Sturm-Villani se introdujo el concepto de "espacio CD(K,N)", que da una noción sintética de "espacio con curvatura de Ricci acotada inferiormente por K y dimensión menor o igual a N". Esta clase de espacios es cerrada respecto a convergencia de Gromov-Hausdorff y contiene a todos los llamados espacios límite de Ricci (estudiados extensivamente por Cheeger-Colding) y a los espacios de Alexandrov (i.e. espacios métricos con curvatura seccional acotada inferiormente). La clase de espacios CD(K,N) además contiene variedades de Finsler de curvatura acotada por debajo; Para aislar a las estructuras riemannianas Gigli refinó el concepto de CD(K,N), resultando en la clase de espacios RCD(K,N), que mantiene las propiedades más importantes de aquellos.
En esta charla hablaré de un resultado en conjunto con Guido De Philippis (SISSA) en el que mostramos que el gradiente de cualquier función armónica se anula en una clase de puntos singulares de un espacio RCD(K,N). Este resultado tiene consecuencias sobre la continuidad de los gradientes de funciones armónicas no triviales en espacios RCD(K,N) y sobre el incumplimiento de ciertas desigualdades funcionales en variedades Riemannianas con curvatura seccional no negativa.
Jimmy Petean, CIMAT-Guanajuato
Título: Construyendo soluciones a la ecuación de Yamabe por métodos topológicos
Resumen: Encontrar métricas de curvatura escalar constante en una clase conforme de métricas Riemannianas es equivalente a resolver la ecuación de Yamabe, una ecuación en derivadas parciales elíptica en la variedad. Es un
problema variacional y métodos geométricos y topológicos se han usado para probar existencia y multiplicidad de soluciones. En la charla contare como usar la categoría topológica de Lusternik-Schnirelmann para probar multiplicidad de soluciones en ciertos ejemplos.
Pedro Solorzano*, IMATE-Oaxaca
Título: Submetrías y convergencia.
Resumen: El estudio de la convergencia de espacios métricos ha sido muy fructífera durante las última décadas. En el presente reporte, hablaremos de un concepto métrico muy natural, las subvertías. Éstas generalizan la idea de sumersión riemanniana a espacios métricos generales y además están ejemplificadas por doquier.
En esta charla repasaremos todos los conceptos clásicos y estudiaremos el problema de extender la convergencia a los dominios de sucesiones de submetrías dadas condiciones naturales en las bases y en las fibras.
Este trabajo generaliza un resultado previo del autor y dota de consistencia a muchas otras estructuras naturales a considerarse sobre de sucesiones convergentes de variedades riemannianas.
Ferrán Valdez, CCM-Morelia
Berenice Zavala, Ciencias-UNAM
Título. Representación espinorial de superficies en espacios homogéneos de dimensión 3
Resumen. Dados una superficie riemanniana (o lorentziana) M, un espacio homogéneo lorentziano 3-dimensional N, un haz vectorial E de rango 1 sobre M y B:TM x TM -->E una forma bilineal simétrica, se explicará bajo qué condiciones la existencia de un campo de espinores sobre M que satisface cierta ecuación de tipo Killing, es equivalente a que exista una inmersión de M en N, con haz normal E y segunda forma fundamental B, obteniendo una fórmula explícita para dicha inmersión.
Además, mediante tal fórmula se obtendrá la representación de Weierstrass en el espacio de Minkowski en términos de los componentes del campo de espinores. Otras aplicaciones que se presentarán son por un lado la correspondencia entre superficies mínimas en R^3 con superficies máximas en R^{1,2} y por otro lado una correspondencia entre superficies CMC de Minkowski con superficies también CMC en el espacio anti de Sitter.