Seminario de Geometría UNS
Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, Argentina.
Instituto de Matemática de Bahía Blanca (INMABB), CONICET.
Este seminario recibe charlas de (usualmente) 60 minutos en donde se exponen temas relacionados con la geometría, ya sea por miembros del Departamento de Matemática de la Universidad Nacional del Sur, como de sus visitantes. Éste complementa a las charlas generales del Seminario de Matemática.
Las charlas usualmente son en el Aula 222 (al lado del Departamento de Matemática, 2do piso del Cuerpo A) o en el Aula de Robótica (2do piso del Cuerpo B, al lado del Aula 211), ambos en Av. Leandro Alem 1253.
Los anuncios se envían a la lista Semmat. Para suscribirse a ella, ingresar a esta página, seleccionar "semmat" y seguir las instrucciones.
Por cuestiones organizativas, comunicarse con emilio.lauret@uns.edu.ar.
Próximas charlas
Puntos conjugados en sistemas Lagrangianos discretos
Sebastián Ferraro (UNS y CONICET)
Martes 5 de diciembre de 2023, 15:30 hs. Sala de Profesoras Extraordinarias y Profesores Extraordinarios (modadlidad presencial).
Resumen: Al intentar unir los polos norte y sur de una esfera mediante una geodésica, es claro que dicha geodésica no es única localmente, ya que todos los meridianos pasan por los polos. Esta situación se formaliza usando la noción de puntos conjugados. Al considerar familias uniparamétricas de geodésicas, o más generalmente, de soluciones de un sistema Lagrangiano, los campos de Jacobi son aquellos que corresponden a campos de velocidades transversales a una trayectoria dada, y están descriptos por las ecuaciones de Jacobi. Estos campos sirven para caracterizar a los puntos conjugados.
En el caso de sistemas Lagrangianos discretos, que aparecen por ejemplo al buscar soluciones numéricas de problemas mecánicos, se hace necesario obtener una noción análoga de puntos conjugados. Esto sirve para caracterizar la minimalidad o maximalidad de la solución discreta a un problema con condiciones de borde, para poder garantizar la unicidad de dicha solución, y para estudiar la convergencia de ciertos métodos iterativos. Se define para ello una ecuación de Jacobi discreta y campos de Jacobi discretos. Sin embargo, no todo par de puntos conjugados discretos lo son también del lado continuo. Por ejemplo, al tomar una secuencia discreta de puntos sobre un meridiano, podría no alcanzarse exactamente el punto antipodal al de partida; también necesitamos detectar dichas situaciones.
Charlas anteriores
Ecuaciones de Hamilton para principios variacionales generales
Santiago Capriotti (UNS y CONICET)
Viernes 1 de septiembre de 2023.
Resumen: ver en pdf.
Estructuras casi complejas armónicas en solvariedades casi abelianas
Martes 13 de junio de 2023.
Resumen: Una estructura casi compleja ortogonal en una variedad Riemanniana conexa $(M,g)$ de dimensión $2n$ es un tensor $J$ de tipo $(1,1)$ que satisface $J_p^2=-\operatorname{Id}$ para todo $p\in M$ y $g(J\cdot,J\cdot)=g(\cdot,\cdot)$. Un enfoque posible para detectar cuál es una estructura casi compleja óptima es analizar el funcional de energía $E$ propuesto por C. Wood definido por:
\[E(J):=\int_M ||\nabla J||^2 \, \operatorname{vol}_g,\] cuando $M$ es compacta. Los puntos críticos de $E$ son llamadas estructuras casi complejas \textit{armónicas}. Wood probó que una estructura casi compleja es ortogonal si y sólo si $[J, \nabla^* \nabla J]=0$, donde $\nabla^*\nabla J$ es el \textit{rough Laplacian} de $J$. En esta charla veremos la caracterización de estructuras casi complejas ortogonales armónicas invariantes a izquierda en grupos de Lie casi abelianos equipados con una métrica invariante a izquierda. Más aún, veremos múltiples ejemplos de solvariedades casi abelianas compactas que admiten estructuras casi complejas armónicas perteneciendo a diferentes clases de Gray-Hervella. La charla está basada en un trabajo en conjunto con Adrián Andrada, disponible en https://arxiv.org/pdf/2303.02231.pdf
Dinámica de fluidos compresibles en dimensión finita
12 de mayo de 2023.
Resumen: En la primera parte de la exposición presentamos ejemplos de variedades riemannianas M con grupos grandes G. Es el caso cuando M es compacta, el grupo de isometrías actúa transitivamente y está contenido propiamente en un grupo de Lie G (de dimensión finita) no compacto de difeomorfismos de M. Tenemos los grupos G de las transformaciones conformes o proyectivas de M=S^m, de las de Möbius para M un grupo de Lie compacto clásico, de las proyectivas de la grassmanniana y de las bi-holomorfas de la cuádrica compleja. Después de comentar brevemente la teoría general, pasamos a estudiar la dinámica para los tres primeros. Suponemos que inicialmente hay en M una distribución de masa uniforme, y que las partículas pueden moverse solo de tal manera que dos configuraciones difieren en una transformación de G. Una curva en G se puede pensar como un movimiento de todas las partículas en M. Damos propiedades de la métrica en G asociada a la energía cinética y hallamos algunas geodésicas (o sea, movimientos libres de fuerzas); en particular, mostramos que G no es completo.
Los temas corresponden en parte a artículos en conjunto con Marcela Lazarte, Adrián Will, Daniela Emmanuele y Francisco Vittone.
On a generalization of Ehresmann connections for mechanical systems and Finsler geometry
4 de noviembre de 2022.
Resumen: In this talk I will introduce the notion of a nonlinear splitting on a fibre bundle as a generalization of the concept of an Ehresmann connection. I will derive its basic properties and I will show how it appears in the contexts of reduction of a Lagrangian system with a symmetry group, nonholonomic mechanical systems, and submersions between Finsler spaces. This talk is based on joint work with Sandor Hajdu.
Estructuras complejas en space forms euclidianas
Walter Reartes (Universidad Nacional del Sur)
9 de septiembre de 2022.
Resumen: En la primera parte de esta charla se mostrará que el fibrado cotangente de una variedad riemanniana solo admite una estructura compleja compatible si la métrica subyacente es flat. Luego se caracterizarán las variedades de este tipo, con especial énfasis en las de dimensión tres que son relevantes en cosmología. También se mostrará que aprovechando esta estructura compleja se puede construir una cuantización basada en espacios de Hilbert de funciones holomorfas (del tipo de espacio con kernel reproductor). Finalmente se utilizarán estas estructuras para proponer una fórmula para la integral de Feynamn apropiada para space forms euclidianas.
Reducción simpléctica y generalizaciones
Eduardo García-Toraño Andrés (Universidad Nacional del Sur)
Jueves 14 de julio de 2022.
Resumen: Uno de los resultados más importantes en geometría simpléctica es el Teorema de reducción de Marsden-Weinstein. Vamos a repasar en qué consiste, y discutir algunas generalizaciones del mismo que tienen aplicación en teoría de campos.
Sobre el diámetro de esferas no redondas
Martes 2 de mayo de 2022.
Resumen: Usaremos resultados de geometría espectral para mostrar que el diámetro de una métrica Riemanniana homogénea en las esferas de dimensión impar no se realiza necesariamente entre polos opuestos.
Formalismo de Skinner y Rusk para teoría de campos.
Lunes 17 de febrero de 2020.
Resumen: En esta charla veremos en qué consiste la formulación geométrica para sistemas dinámicos de Skinner y Rusk, que engloba los formalismos lagrangiano y hamiltoniano clásicos en mecánica. El mismo ha sido aplicado por varios autores y extendido a varios contextos. Mostraremos cómo se extiende este formalismo a la teoría clásica de campos.
Para ello, haremos una breve introducción de la teoría de campos, como una generalización de la mecánica clásica, introduciremos el formalismo hamiltoniano y su versión equivalente en el nuevo contexto definido.
Métricas de curvatura escalar constante en productos riemannianos
9 de diciembre de 2019.
Resumen: El problema clásico de Yamabe consiste en mostrar que toda variedad riemanniana compacta sin borde, admite una métrica conforme con curvatura escalar constante. Gracias a los esfuerzos combinados de Yamabe, Trudinger, Aubin y Schoen el problema fue completamente solucionado.
Estas métricas pueden ser caracterizadas como puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein sobre las clases conformes. El mínimo de este funcional en una clase conforme es único. Sin embargo, en muchos casos podemos encontrar una gran variedad de métricas de curvatura escalar constante que no son necesariamente minimizadores. Por esta razón, es muy interesante encontrar clases conformes donde el problema de Yamabe tiene múltiples soluciones y un método clásico para obtener nuevas soluciones de una EDP a partir de soluciones aproximadas conocidas es el uso de las técnicas de reducción de Lyapunov-Schmidt.
En esta charla construiremos soluciones al problema de Yamabe en productos riemannianos de la forma (M × X, g+th) utilizando la técnica de reducción de Lyapunov-Schmidt, donde (X, h) es una variedad riemanniana con una curvatura escalar positiva constante y (M, g) una variedad riemanniana compacta y sin borde.
Simetrías y grupoides
28 de octubre de 2019.
Resumen: El concepto de grupoide es una extensión del de grupo. Esencialmente, sólo está definido el producto para pares de elementos que cumplen cierta condición. Veremos cómo los grupoides nos permiten estudiar las simetrías de un embaldosado y capturar aspectos que un grupo no. En el contexto de variedades diferenciales, definiremos los grupoides de Lie y los algebroides de Lie.