Reducción óptima en el problema espacial de los tres cuerpos

Leandro Ruiz (Universidad Nacional del Sur)

Viernes 5 de septiembre de 2025, 14:30 hs. 

Resumen: Las teorías de reducción en mecánica hamiltoniana son técnicas que utilizan las simetrías presentes en un sistema mecánico para disminuir las dimensiones de su espacio de fases, ofreciendo además un procedimiento para reconstruir las soluciones del sistema original a partir de las del sistema reducido.  

En el método clásico de reducción simpléctica (Marsden-Weinstein), a la acción del grupo de Lie que codifica la simetría del sistema se le asocia un mapa denominado aplicación momento standard, cuyo dominio es el espacio de fases y cuyo codominio es el dual del álgebra de Lie. Los conjuntos de nivel de este mapa son invariantes bajo la dinámica del sistema y constituyen el dominio  geométrico sobre el cual se construyen los espacios de fases reducidos. Existen muchas situaciones en las que tal construcción no es viable, y el procedimiento debe modificarse a costa de considerables complicaciones técnicas.

En 2002, Pablo Ortega y Tudor Ratiu definieron una nueva aplicación momento, denominada mapa de momento óptimo, que captura de manera más eficiente las simetrías de un sistema mecánico. Sus conjuntos de nivel tienen la propiedad de ser los subconjuntos más pequeños del espacio de fases, preservados por la dinámica asociada a cualquier función hamiltoniana invariante por la acción del grupo de simetría. Basados en este nuevo mapa, los autores desarrollaron el método de reducción óptima, que supera muchas de las limitaciones del método clásico.  

Durante la presentación, se expondrán algunos de los resultados que surgen de aplicar el método de reducción óptima al problema espacial de los tres cuerpos.  

Estabilidad de métricas de Einstein

Emilio Lauret (Universidad Nacional del Sur y CONICET)

Viernes 13 de junio de 2025. 

Resumen: Comenzaremos introduciendo el concepto de variedad Riemanniana de Einstein y de su estabilidad con respecto al funcional de la curvatura escalar (también conocido como funcional de Hilbert-Einstein) restringido a las métricas Riemannianas de volumen fijo.

A continuación, nos enfocaremos en variedades de Einstein estándar, donde la variedad diferenciable es de la forma G/H con G,H grupos de Lie compactos y la métrica está determinada por el opuesto de la forma de Killing del álgebra de Lie de G. En este contexto, veremos algunos avances recientes de la noción de estabilidad recién mencionada, como también de la noción de estabilidad lineal con respecto a la nu-entropía de Perelman. 

El problema inverso del cálculo de variaciones en presencia de simetrías

Gabriel Alejandro Jalil (Universidad Nacional del Sur)

Jueves 24 de abril de 2025. 

Resumen: El problema inverso del cálculo de variaciones consiste en preguntarse si dado un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden es equivalente al sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange para una función lagrangiana. En su trabajo, Douglas [1] presenta las condiciones de Helmholtz, las cuales son necesarias y suficientes para asegurar la equivalencia.

Si la trayectoria del sistema se da dentro de un grupo de Lie que además resulta una simetría del problema, se sabe que las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen a las ecuaciones de Euler-Poincaré [2]. Esta reducción da lugar al estudio del problema inverso en presencia de simetrías [3] y lleva a la simplificación de las condiciones de Helmholtz.

En esta charla presentaré estos temas, junto con una conjetura pensada junto a Santiago Capriotti y Eduardo García Toraño Andrés, en el marco de una beca EVC-CIN, sobre un método simplificado para obtener las condiciones de Helmholtz reducidas, siguiendo el enfoque de Douglas.

Referencias:
[1] Jesse Douglas. "Solution of the inverse problem of the calculus of variations". Transactions of the American Mathematical Society 50.1 (1941), 71-128.
[2] Darryl D Holm,  Tanya Schmah y  Cristina Stoica. "Geometric mechanics and symmetry: from finite to infinite dimensions". Vol 12. Oxford University Press, 2009.
[3] Mike Crampin y Tom Mestdag. "The inverse problem for invariant Lagrangians on a Lie group". arXiv preprint arXiv:0801.4735 (2008). 

Isospectralidad entre formas espaciales esféricas con grupo fundamental no cíclico

Mauro Colantonio (Universidad Nacional del Sur y CONICET)

Viernes 29 de noviembre de 2024, 14:30 hs.

Resumen: En la primera parte de la charla definiremos formas espaciales esféricas y cuándo dos de estas se dicen isospectrales, para luego probar algunos invariantes espectrales nuevos. Luego se probará que dos formas espaciales esféricas isospectrales con grupo fundamental no cíclico no necesariamente tienen grupo fundamental isomorfo. 

Espacios de Lentes Isoespectrales

Alfredo Álzaga (Universidad Nacional del Sur)

Viernes 8 de noviembre de 2024, 16:00 hs. 

Resumen:  Sea (M,g) una variedad riemanniana y Δ el laplaciano actuando sobre el espacio de las funciones suaves sobre M. El espectro de (M,g) es el conjunto de sus autovalores con sus multiplicidades de Δ.

Los espacios de lentes son espacios de curvatura seccional positiva constante con grupo fundamental cíclico. En esta charla trataremos el problema de encontrar pares de espacios de lentes no isométricos que tengan el mismo espectro. Se caracterizarán estos espacios y utilizaremos la función generadora asociada al espectro de estos.

Método iterativo en paralelo para hallar soluciones en Teorías de Campo discretas

Guadalupe Quijón (Universidad Nacional del Sur)

Viernes 30 de agosto de 2024. 

Resumen: En esta charla veremos la implementación de un método de cálculo en paralelo de soluciones de Ecuaciones de Euler-Lagrange discretas en Teorías de Campo discretas.Para ello comenzaremos introduciendo la discretización en Teorías de campo que da lugar a las ecuaciones con las cuales vamos a trabajar y hablaremos de las condiciones de borde asociadas al tipo de mallado considerado, de tipo rectangular o cubical. Luego se explicará en qué consiste el método de cálculo iterativo paralelizado, basado en aplicar en cada paso un Jacobi-Newton y que aprovecha las capacidades de las CPU multinúcleo y las GPU, las cuales permiten aplicar una misma secuencia de operaciones sobre una colección de datos en forma simultánea. Debido a que para la convergencia del método se requieren condiciones, hablaremos de ellas también y de cómo se asocian a problemas EDP elípticos. Por último se mostrarán ejemplos concretos para los cuales se hicieron simulaciones numéricas utilizando la biblioteca de Python JAX.. 

Puntos conjugados en sistemas Lagrangianos discretos

Sebastián Ferraro (UNS y CONICET)

Martes 5 de diciembre de 2023. 

Resumen: Al intentar unir los polos norte y sur de una esfera mediante una geodésica, es claro que dicha geodésica no es única localmente, ya que todos los meridianos pasan por los polos. Esta situación se formaliza usando la noción de puntos conjugados. Al considerar familias uniparamétricas de geodésicas, o más generalmente, de soluciones de un sistema Lagrangiano, los campos de Jacobi son aquellos que corresponden a campos de velocidades transversales a una trayectoria dada, y están descriptos por las ecuaciones de Jacobi. Estos campos sirven para caracterizar a los puntos conjugados.

En el caso de sistemas Lagrangianos discretos, que aparecen por ejemplo al buscar soluciones numéricas de problemas mecánicos, se hace necesario obtener una noción análoga de puntos conjugados. Esto sirve para caracterizar la minimalidad o maximalidad de la solución discreta a un problema con condiciones de borde, para poder garantizar la unicidad de dicha solución, y para estudiar la convergencia de ciertos métodos iterativos. Se define para ello una ecuación de Jacobi discreta y campos de Jacobi discretos. Sin embargo, no todo par de puntos conjugados discretos lo son también del lado continuo. Por ejemplo, al tomar una secuencia discreta de puntos sobre un meridiano, podría no alcanzarse exactamente el punto antipodal al de partida; también necesitamos detectar dichas situaciones.

Ecuaciones de Hamilton para principios variacionales generales

Santiago Capriotti (UNS y CONICET)

Viernes 1 de septiembre de 2023. 

Resumen: ver en pdf. 

Estructuras casi complejas armónicas en solvariedades casi abelianas

Alejandro Tolcachier (Universidad Nacional de Córdoba)

Martes 13 de junio de 2023. 

Resumen: Una estructura casi compleja ortogonal en una variedad Riemanniana conexa $(M,g)$ de dimensión $2n$ es un tensor $J$ de tipo $(1,1)$ que satisface $J_p^2=-\operatorname{Id}$ para todo $p\in M$ y $g(J\cdot,J\cdot)=g(\cdot,\cdot)$. Un enfoque posible para detectar cuál es una estructura casi compleja óptima es analizar el funcional de energía $E$ propuesto por C. Wood definido por:

\[E(J):=\int_M ||\nabla J||^2 \, \operatorname{vol}_g,\] cuando $M$ es compacta. Los puntos críticos de $E$ son llamadas estructuras casi complejas \textit{armónicas}. Wood probó que una estructura casi compleja es ortogonal si y sólo si $[J, \nabla^* \nabla J]=0$, donde $\nabla^*\nabla J$ es el \textit{rough Laplacian} de $J$. En esta charla veremos la caracterización de estructuras casi complejas ortogonales armónicas invariantes a izquierda en grupos de Lie casi abelianos equipados con una métrica invariante a izquierda. Más aún, veremos múltiples ejemplos de solvariedades casi abelianas compactas que admiten estructuras casi complejas armónicas perteneciendo a diferentes clases de Gray-Hervella. La charla está basada en un trabajo en conjunto con Adrián Andrada, disponible en https://arxiv.org/pdf/2303.02231.pdf

Dinámica de fluidos compresibles en dimensión finita

Marcos Salvai (Universidad Nacional de Córdoba)

12 de mayo de 2023. 

Resumen: En la primera parte de la exposición presentamos ejemplos de variedades riemannianas M con grupos grandes G. Es el caso cuando M es compacta, el grupo de isometrías actúa transitivamente y está contenido propiamente en un grupo de Lie G (de dimensión finita) no compacto de difeomorfismos de M. Tenemos los grupos G de las transformaciones conformes o proyectivas de M=S^m, de las de Möbius para M un grupo de Lie compacto clásico, de las proyectivas de la grassmanniana y de las bi-holomorfas de la cuádrica compleja. Después de comentar brevemente la teoría general, pasamos a estudiar la dinámica para los tres primeros. Suponemos que inicialmente hay en M una distribución de masa uniforme, y que las partículas pueden moverse solo de tal manera que dos configuraciones difieren en una transformación de G. Una curva en G se puede pensar como un movimiento de todas las partículas en M. Damos propiedades de la métrica en G asociada a la energía cinética y hallamos algunas geodésicas (o sea, movimientos libres de fuerzas); en particular, mostramos que G no es completo.

Los temas corresponden en parte a artículos en conjunto con Marcela Lazarte, Adrián Will, Daniela Emmanuele y Francisco Vittone.

On a generalization of Ehresmann connections for mechanical systems and Finsler geometry

Tom Mestdag (University of Antwerp)

4 de noviembre de 2022. 

Resumen: In this talk I will introduce the notion of a nonlinear splitting on a fibre bundle as a generalization of the concept of an Ehresmann connection. I will derive its basic properties and I will show how it appears in the contexts of reduction of a Lagrangian system with a symmetry group, nonholonomic mechanical systems, and submersions between Finsler spaces. This talk is based on joint work with Sandor Hajdu.

Estructuras complejas en space forms euclidianas

Walter Reartes (Universidad Nacional del Sur)

9 de septiembre de 2022. 

Resumen: En la primera parte de esta charla se mostrará que el fibrado cotangente de una variedad riemanniana solo admite una estructura compleja compatible si la métrica subyacente es flat. Luego se caracterizarán las variedades de este tipo, con especial énfasis en las de dimensión tres que son relevantes en cosmología. También se mostrará que aprovechando esta estructura compleja se puede construir una cuantización basada en espacios de Hilbert de funciones holomorfas (del tipo de espacio con kernel reproductor). Finalmente se utilizarán estas estructuras para proponer una fórmula para la integral de Feynamn apropiada para space forms euclidianas. 

Reducción simpléctica y generalizaciones

Eduardo García-Toraño Andrés (Universidad Nacional del Sur)

Jueves 14 de julio de 2022. 

Resumen: Uno de los resultados más importantes en geometría simpléctica es el Teorema de reducción de Marsden-Weinstein. Vamos a repasar en qué consiste, y discutir algunas generalizaciones del mismo que tienen aplicación en teoría de campos.

Sobre el diámetro de esferas no redondas

Emilio Lauret (Universidad Nacional del Sur, CONICET)

Martes 2 de mayo de 2022.

Resumen: Usaremos resultados de geometría espectral para mostrar que el diámetro de una métrica Riemanniana homogénea en las esferas de dimensión impar no se realiza necesariamente entre polos opuestos. 

Formalismo de Skinner y Rusk para teoría de campos.

Guadalupe Quijón (UNS-CONICET)

Lunes 17 de febrero de 2020. 

Resumen: En esta charla veremos en qué consiste la formulación geométrica para sistemas dinámicos de Skinner y Rusk, que engloba los formalismos lagrangiano y hamiltoniano clásicos en mecánica. El mismo ha sido aplicado por varios autores y extendido a varios contextos. Mostraremos cómo se extiende este formalismo a la teoría clásica de campos.

Para ello, haremos una breve introducción de la teoría de campos, como una generalización de la mecánica clásica, introduciremos el formalismo hamiltoniano y su versión equivalente en el nuevo contexto definido.

Métricas de curvatura escalar constante en productos riemannianos

Carolina Rey (Universidad de Buenos Aires-CONICET).

9 de diciembre de 2019.

Resumen: El problema clásico de Yamabe consiste en mostrar que toda variedad riemanniana compacta sin borde, admite una métrica conforme con curvatura escalar constante. Gracias a los esfuerzos combinados de Yamabe, Trudinger, Aubin y Schoen el problema fue completamente solucionado. 

Estas métricas pueden ser caracterizadas como puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein sobre las clases conformes. El mínimo de este funcional en una clase conforme es único. Sin embargo, en muchos casos podemos encontrar una gran variedad de métricas de curvatura escalar constante que no son necesariamente minimizadores. Por esta razón, es muy interesante encontrar clases conformes donde el problema de Yamabe tiene múltiples soluciones y un método clásico para obtener nuevas soluciones de una EDP a partir de soluciones aproximadas conocidas es el uso de las técnicas de reducción de Lyapunov-Schmidt.

En esta charla construiremos soluciones al problema de Yamabe en productos riemannianos de la forma (M × X, g+th) utilizando la técnica de reducción de Lyapunov-Schmidt, donde (X, h) es una variedad riemanniana con una curvatura escalar positiva constante y (M, g) una variedad riemanniana compacta y sin borde.