校長的話

  各位同學、各位老師早晨。今天是新一年的第一個上課天，相信各位在剛過去的聖誕及新年假期有著充足的休息，並且已準備好好的迎來新一年學與教的活動。同學們在新一年首個的挑戰是本學年第一學期的考試。請大家善用這兩天的時間作最後準備，溫習期間遇到的難題，要盡快向老師求教。在本學年開學日我曾跟大家談到英國數學家懷爾斯解決費馬最後定理的故事，在解決這個三百年難題過程中充分體現懷爾斯的自發及堅毅。提開數學難題，今天我想跟大家談一談另一個數學話題。

  今年是2023年，2023 的質因數連乘式(prime factorization)是 7×172。7 是一個梅森質數(Mersenne prime)。梅森數是一個形如2n – 1 的數。若果一個梅森數亦是一個質數，則此數稱為梅森質數。而17 則是一個費馬質數(Fermat prime)。費馬數(Fermat number)是形如的整數，若一個費馬數又是一個質數就稱為費馬質數。這些數質數又有甚麼特別呢？原來它們跟一度2000年的數學難題有關！

  在二千多年前希臘的數學家已知道可以用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、四、五、十五邊形。早在紀元前三世紀時(~300 BC)，歐幾里得（Euclid）在他的名著 《幾何原本（Elements）中，就已經記載有邊數為 3、4、5 的正多邊形的尺規作圖法。至於由 3、4、5 所衍生的邊數為 2n 、 2n ×3 、 2n ×5 與 2n ×15 的正多邊形，其尺規作圖法也早為數學家所熟知。但其他邊數的正多邊形，哪些確定可以用尺規作圖、或有哪些確定不能用尺規作圖？這自然是備受關注的問題。可是這兩個問題在歐幾里得之後的兩千年間，數學家們一直無法給出完整的答案。

  1796年3月30日在德國哥庭根 ( Gottingen )大學讀二年班的高斯(Carl Friedrich Gauss 1777-1855)，在19歲生日前一個月利用代數的方法，解開了這道二千年的幾何難題。高斯用的方法是透過一連串二次方程的變換及求出那些二次方程的根式來判辨哪些正多邊形可以用尺規繪畫及那些是不可能。高斯的結論是：一個正n邊形可以用尺規畫出當且僅當n 是以下兩種形式之一：

1.  n = 2k，k = 1, 2, 3,…

2.  n = 2k m， m 是一個或多個費馬質數的乘積

  從高斯的結果得知，第一個不能只用尺規繪畫的是正7邊形。高斯是第一個能證明正17邊形是可以用圓規與直尺繪畫的。這裡要強調，高斯是用代數方式證明正17邊形可以用尺規作圖，高斯本人並沒有用尺規做出正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法是在1825年由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出。

  以尺規作圖原來是一度幾何的題目，二千年來都未能被破解，高斯則從代數及解方程方向取得突破，說明了多角度思考的重要性。解題過程中，「自發」與「堅毅」也擔當了重要角色，就以堅毅為例，大家可知道高斯的解法中，首先要處理的是解以下的方程：

 x16 +x15 + x14+ x13 + … + x2 + x + 1 = 0

  中間要經過多次的變換，許多人可能見到這方程就放棄，亦可能懷疑努力能否得到想要的結果…，最終得到解決的人都是堅毅不懈的。總之，要解決問題，堅毅是少不了的。期望大家在學與教、各項活動都能體現出自發與堅毅的態度。

  隨著特區政府於2022年底調整本地防疫抗疫措施，包括撤銷「疫苗通行證」要求、撤銷界定密切接觸者及發出檢疫令等，我預計本校將於下學期有更大的空間舉辦更多的課外活動，至於活動項目，歡迎同學向各負責的老師或學生會提出建議。還記得我在才藝表演後提及的「在適當時侯做合適的事情嗎」？不論是課堂學習還是聯課活動，我都期望全體師生認真投入，只要大家都能秉持認真堅毅的學與教，相信我們都有愉快而充實的一年。