AN430 Metodo Elementi Finiti

Insegnamento Metodo degli Elementi Finiti

Materiale Didattico a.a. 2019~2020

Orario (sempre via della Vasca Navale 84)

mercoledì: 13-15, aula 57

giovedì: 11-13, aula C

venerdi: 14-16 (a partire dall'8 novembre), aula C

Obiettivo dell'insegnamento

L'obiettivo dell’insegnamento è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, della meccanica dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.

L'insegnamento tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

Riferimenti bibliografici

Understanding and Implementing the Finite Elements Method, Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006

Cap. 1 Some model PDE’s

Cap. 2 The weak form of a BVP

Cap. 3 The Galerkin method

Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2)

Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Computational Science and Engineering, Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, 2007

Cap 3.1, page 236~241;

Cap. 7.2 Iterative methods, page 563~567

When functions have no value(s): Delta functions and distributions, Steven G. Johnson,

MIT course 18.303 notes, 2011

Dispense a cura del docente

The Integral Form at Glance

COMSOL

C01_Rod1D_traction. Esempio prototipo di problema ellittico. Introduzione alla forma integrale e al formato standard dei problemi di bilancio.

C02_Heat_Equation. Esempio di problema parabolico. Introduzione ai problemi non stazionari; nozione di flusso, legame costitutivo anisotropo. Dissipazione. Nozione di compatibilità delle sorgenti. Nozione di vincolo in forma integrale (weak constraint).

C03_Heat_Equation_Conductive_line. Primo esempio di accoppiamento multi-fisico; gerarchia delle strutture geometriche; associazione di un modello fisico ad un dominio

C04a_Heat_2D_Sphere. Primo esempio di dominio senza bordo: la sfera. Scompare la condizione al bordo; domino curvo: definizione delle derivate tangenti.

C04b_Heat_2D_Torus. Secondo esempio di dominio senza bordo: il toro.

C05_Laplacian_2D_Ellipsoid_Curvature. Terzo esempio di dominio senza bordo: l'ellissoide. La relazione costitutiva è definita in funzione delle curvature principali della superficie.

C06_L2_Norm. Studio della convergenza per un problema parabolico. Effetto delle funzioni di forma e della taglia del reticolo

C07_Iterative_Solver. Gestione degli algoritmi di soluzione dei sistemi lineari; solutori iterativi e tecniche di pre-condizionamento.

C08a_Wave_1D. Introduzione ai problemi non stazionari iperbolici. Conservazione energia e propagazione di onde elastiche

C08b_Wave_1D_InitialPulse. Equazione delle onde e risposta all'impulso.

C08c_Wave_2D. Propagazione di onde in 2D. Mezzo anisotropo.

C09a_Convection_Diffusion_1D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; instabilità delle soluzioni e metodi stabilizzanti

C09b_Convection_Diffusion_2D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; raffinamento automatico della griglia di calcolo

C10_Stabilization. Problema oscillazioni per problemi diffusione & convenzione; tecniche di stabilizzazione.

C11_Elastic_Solid. Problema ellittico 3D per un campo vettoriale: la meccanica dei solidi e le distorsioni.

C12_Nonlinear_Elastic_Solid. La meccanica dei solidi non lineare e le grandi distorsioni. Soluzione con tecniche di continuazione.

C13_Segregated_Solver. Problemi con accoppiamento unidirezionale e solutori segregati.

C14_Cylinder_Flow. Problema parabolico 2D per un campo vettoriale: la meccanica dei fluidi.

C15_Navier_Stokes_L_Junction _2D. Esempio di meccanica dei fluidi.

C16_Buoyancy_Free. Modello di trasporto con accoppiamento multi-fisico : calore trasportato da un fluido & fluido mosso da gradienti termici.

C17_Nematic_Liquid_Crystal. Esempio di problema con variabile di stato definita su una varietà curva. Accoppiamento campo nematico & campo elettrico

Mathematica

M01_Test_Function. Mathematica Notebook per lo studio delle funzioni di saggio

M07_Convection_diffusion. Mathematica Notebook per lo studio delle oscillazioni nel problema diffusione + convezione

1. Settembre 25 Presentazione dell’insegnamento; introduzione alla formulazione integrale e differenziale.
2. Settembre 26 Funzioni di saggio e distribuzioni.
3. Ottobre 2 Formulazione differenziale e integrale dei problemi tipici della fisica dei mezzi continui.
4. Ottobre 3 Esempio prototipo: l'equazione del calore. Formulazione integrale, variazionale e minimizzazione.
5. Ottobre 9 Problema ellittico 1D: propagazione del calore e meccanica della trave.
6. Ottobre 16 Problema ellittico 2D: equazione del calore stazionaria con diffusione anisotropa.
7. Ottobre 17 Problema iperbolico 1D: equazione del calore e separazione delle variabili.
8. Ottobre 23 Problema 2D non stazionario.
9. Ottobre 24 Accoppiamento multi-fisico: propagazione 2D-1D: strato conduttivo. Esempio non stazionario.
10. Ottobre 30 Problema parabolico 1D: equazione delle onde e separazione delle variabili. Esempio non stazionario
11. Ottobre 31 Equazione delle onde 2D: esempio non stazionario
12. Novembre 6 Spazi funzionali, prodotto interno, forme lineari e bilineari
13. Novembre 7 Teorema rappresentazione di Riesz, unicità soluzione, metodo Galerkin
14. Novembre 8 Problema 1D diffusione-convenzione, stabilità della soluzione EF
15. Novembre 20 Esempi problema diffusione-convenzione
16. Novembre 21 Griglie 2D; interpolazione polinomiale e funzioni di forma; stima errore
17. Novembre 22 Caratteristiche triangolazione; stime errore. Esempio L2-norm.
18. Novembre 27 Problemi tipici della meccanica dei solidi 3D.
19. Novembre 28 Problemi tipici della meccanica dei fluidi 3D.
20. Novembre 29 Esercitazione meccanica dei solidi.
21. Dicembre 4 Esercitazione meccanica dei fluidi
22. Dicembre 5 Soluzione sistemi lineari
23. Dicembre 6 Metodi diretti
24. Dicembre 11 Metodi iterativi
25. Dicembre 12
26. Dicembre 13
27. Dicembre 18
28. Dicembre 19
29. Dicembre 20
30. recupero