Hindmanov teorem kaže da za svako 2-bojenje prirodnih brojeva postoji beskonačan skup čiji je

skup svih konačnih suma elemenata jednobojan. U ovom seminaru predstaviti ćemo dokaz Hindmanovog teorema pomoću topološkog prostora ultrafiltara i razmotriti neke generalizacije tog teorema.

U ovom seminaru promatramo slučajne grafove G(n, n-α) gdje je α iracionalan broj.  Koristeći Ehrenfeucht-Fraisseove igre, dokazat ćemo da niz slučajnih grafova G(n, n−α) zadovoljava 0-1 zakon,  to jest da svako svojstvo grafa prvog reda vrijedi gotovo uvijek ili gotovo nikad.

Szemerédijeva lema o regularnosti je temeljni rezultat u kombinatorici s brojnim primjenama u ekstremalnoj kombinatorici, teoriji brojeva, računarstvu i drugim područjima.

U ovom seminaru ćemo dokazati tu lemu pomoću teorije modela i ultrafiltera koristeći svojstva konačno aditivnih mjera.

In this talk, we will explore the Bunkbed Conjecture, posed by Kasteleyn in the 1980s. Given a finite graph G, the bunkbed graph of G is the product graph G×{0,1}, consisting of two copies of G, and in addition, for each vertex in G we connect its two clones. The conjecture states that for any vertex (u, 0) in the bunkbed graph, the probability that it is connected to (v,0) is at least the probability that it is connected to (v, 1), under standard Bernoulli-p bond percolation. In the last decade, this conjecture has been answered positively for certain classes of graphs and limiting regimes of p, and negatively for a generalisation to hypergraphs, before being refuted in a recent paper by Gladkov, Pak, and Zimin. 

The seminar is a part of the Probability Theory seminar at PMF-MO.

Abstracts tbc

1. Kolika je šansa da svih 600 vozača bacanjem kockice dobije 1?

Šansa (ili formalno vjerojatnost) je 600-struki umnožak 1/6 * 1/6 * ... * 1/6. Znači, da bi svi vozači dobili 1, morali bismo (u očekivanju) eksperiment ponoviti 10^450 puta. Ispis tog broja je 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 😊

2. Ukoliko imamo 12 mostova, kako bismo osigurali jednoliku raspodjelu automobila?

• • Moramo naći način da jedan vozač „izvuče“ slučajan broj između 1 i 12. To se može primjerice uz pomoć 12 karata, ili 12 loto kuglica, ili uz pomoć računala (pokušajte upisati u google "random number from 1 to 12"). Ako svih 600 vozača odabere nasumični most na taj način, dobit ćemo otprilike jednoliku raspodjelu.

  • Usput, jedno rješenje koje se nameće je da vozač baci dvije kockice i odabere njihov zbroj. No, taj način nije „jednolik“ jer, primjerice, nijedan vozač ne može dobiti 1.

3. Kolika je plava površina ispod krivulje u videu?

• • Krivulja je simetrična, pa je plava površina ispod krivulje jednaka bijeloj površini iznad krivulje. Ta površina iznosi 50cm^2.

4. Postoji li skup od devet karata bez tablić trojki?

• • Postoji, primjerice 8, 9, 10,...16.